1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流第三章 向量空間(熊維玲版).精品文檔.第三章 向量空間§3.1 n維向量及其運算一、N維向量的概念 1定義1定義1 個有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為維向量，這個數(shù)稱為該向量的個分量，第個數(shù)稱為第個分量.記為 ，出可以寫成一列的形式，前者稱為行向量，而后者稱為列向量.行向量可看作是一個矩陣，故又稱行矩陣；而列向量可看作一個矩陣，故又稱作列矩陣.因此它們之間的運算就是矩陣之間的運算，從而符合矩陣運算的一切性質(zhì).向量之間的運算只涉及到線性運算和轉(zhuǎn)置運算.為敘述方便，我們約定：用小寫黑體字母 等表示列向量，用表示行向量.也可用來表示一個列向量

2、。即是一種很覺的表述。在不特別聲明時我們說到的向量均為列向量，行向量視為列向量的轉(zhuǎn)置. 例如：二維向量可以表示平面上一個點的坐標(biāo)。三維向量可以表示空間里的一個點的坐標(biāo)。四維以上的向量，四維以上的向量，沒有具體的幾何意義。但在研究中是常見的向量。2幾個特殊的向量及與向量相關(guān)的概念（1）分量全為實數(shù)的向量稱為實向量.分量不全為實數(shù)的向量稱為復(fù)向量.（2）分量全為零的向量，稱為零向量。記為O。（3）相等向量：二個向量與當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r候，（4）方程組的矩陣表示式中的向量：，方程組的解通常也直接表示成：等。（5）向量的加法： （6）向量的數(shù)乘：（7）負向量。（8）向量的減法。二、n維向量的線性運算 1、定

3、義2設(shè)有向量,則向量與向量的線性運算定義如下:2、運算律 (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 例1 設(shè)，求及.解 三、n維向量空間：數(shù)域P上的n維向量的全體以及定義在它們上面的線性運算，構(gòu)成數(shù)域P上的一個n維向量空間。記為：§3.2 n維向量組及其線性組合1、向量組的定義 定義1 由若干個同維數(shù)的列(行)向量構(gòu)成的集合是一個向量組.例1 矩陣的個維行向量可構(gòu)成一個行向量組矩陣的行向量組，反過來，任給一組維行向量，可以構(gòu)成一得矩陣，因此它們構(gòu)成一一對應(yīng).稱為A的行向量組。類似地，矩陣的個維列向量構(gòu)成的列向量組也與構(gòu)成一一對應(yīng)，故我們也用大寫字母表示向量組為：

4、.稱為A的列向量組。例2 維向量組成的一個向量組，稱之為維基本單位坐標(biāo)向量組.（默認是列向量組，也可以根據(jù)需要用行向量組） 2、向量組的線性組合定義2 給定向量組：，對于任何一組實數(shù)，稱向量為向量組A的一個線性組合，稱為這個線性組合的系數(shù).定義3 給定向量組：和向量，若存在一組實數(shù)，使得則稱向量是向量組的一個線性組合，或稱向量可由向量組A線性表示.注任一個維向量都可由維單位向量組線性表示:向量可由向量組:線性表示方程組有解有解（二個矩陣中階梯形中非零行的行數(shù)一樣,概念以后再說明）零向量都可以由任何一個向量組線性表示。例3 設(shè)問向量是否能由向量組線性表示？解：因為：可見，所以向量不能由向量組線性

5、表示例4設(shè)問向量是否能由向量組線性表示，并試求出其表達式。解：因為（行階梯形）可見，=3，所以向量可以由向量組線性表示。 求表達式的方法： （行階梯形） 可求出：，該表達式唯一。例5 設(shè)證明向量能由向量組線性表示，并求出表示式.解 向量能由向量組線性表示，表達式是：* 方程的通解為() (其中，可任意取值) *待講完線性方程組才可以理解此解。*小結(jié)：對于判斷一個向量是否可以由另一個向量組表示，只需要判斷由矩陣與矩陣的行階梯形中的非零行數(shù)是否一樣。若一樣，則可表示。若不一樣，則無法表示。具體該怎么表示，待講線性方程組的解的表示時就知道該如何表示了。【本節(jié)小結(jié)】1、向量的概念2、向量組及其線性組合

6、向量可由向量組:線性表示方程組有解有解§3.4 矩陣的秩（要求做筆記，先講矩陣的秩的概念和性質(zhì)，再講向量組的線性相關(guān)性。）一、階子式定義1 在矩陣中，任取行與列()，位于這些行列交叉處的這個元素，按原位置次序構(gòu)成的階行列式，稱為矩陣的一個階子式.例如 矩陣，取行及列得其一個3階子式.注 矩陣共有個階子式.二、秩的定義定義2 設(shè)在矩陣中有不為0的階子式，而所有的階子式(若存在的話)均為0，則稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣的秩，記作. 并規(guī)定.注 矩陣的秩就是所有非零子式的最高階數(shù)， 只要不是零陣，就有；若為矩陣，則；若有一個階子式不為0，則；若所有的階子式都等于0，則；若階方陣的

7、行列式，則的最高階非零子式就是，所以，故稱為滿秩矩陣；若，則稱為降秩矩陣. 例1 求矩陣與的秩，其中解 有2階子式，且只有一個3階子式，即有3階子式，由于的第4行元素均為0，故的4階子式均為0注當(dāng)矩陣的行、列數(shù)都較高時，用定義求秩是困難的，定義主要具有理論價值；的秩較好求是因為它是一個行階梯形陣，顯然行階梯形陣的最高階非零子式就是其非零行的第一個非零數(shù)所在的行與列所構(gòu)成的子式，即階梯形陣的秩就等于其非零的行數(shù)！自然的想法是：能否將矩陣化為行階梯形陣來求其秩？即問題是等價矩陣的秩是否相等？ 三、矩陣的秩的求法定理1 若，則.證明 設(shè)，且的某個階子式. 因為，故可經(jīng)初等變換變?yōu)椋郑钥蓛H就行變

8、換的情形給出證明：(1) 先證經(jīng)一次初等行變換后，當(dāng)或時，則中與相對應(yīng)的子式必滿足或，或，從而有，因此；當(dāng)時，分兩種情形討論: 若不含第行，或同時含第行和第行，則0，所以； 若中含第行但不含第行，則有若0，則0Þ；若0，則就是的不含第行的階子式，由知，綜合以上知，經(jīng)一次初等行變換后.(2)再證經(jīng)一次初等行變換后：因為初等行變換均可逆，即經(jīng)一次初等行變換后亦可變?yōu)椋?1)的證明知；綜合以上知經(jīng)有限次初等行變化后，. 注 由定理1知，初等變換不改變矩陣的秩.故可先用初等行變換將化為行梯形陣，階梯形陣的非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例2 設(shè)，求，并試找出的一個最高階非零子式.解 由于的行階梯

9、形有3個非零行，所以.由上知，的最高階非零子式是3階的，故只需找的一個不為零的三階子式.又的行階梯形有一個最高階非零子式：，與它相對應(yīng)的是的1、2和4三列，只需在這三列構(gòu)成的矩陣中找個三階的非零子式.因為3階子式：，所以它就是的最高階非零子式.例3 設(shè)，求矩陣及的秩.解 注 上面只作了初等行變換，故它們對應(yīng)的方程組是同解方程組，而的行階梯形所對應(yīng)的方程組含有矛盾方程 (矩陣第3行所對應(yīng)的方程)，所以對應(yīng)的非齊次線性方程組無解，問題個關(guān)鍵是造成的.事實上Þ在的行最簡形陣中的最后一個非零行對應(yīng)出現(xiàn)矛盾方程0 =1Þ方程組無解.這個具體問題不禁讓我們猜想：一個線性方程組有沒有解應(yīng)

10、與它系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩的關(guān)系有關(guān)？這個問題將在下一節(jié)討論.四、秩的性質(zhì)性質(zhì)1 若為矩陣，則；性質(zhì)2 ；性質(zhì)3 若，則；性質(zhì)4 若可逆，則；性質(zhì)5 ；性質(zhì)6 ；性質(zhì)7 ；性質(zhì)8 若，則.*余下的內(nèi)容留講第三節(jié)的時候再講。§3.3 向量組的線性相關(guān)性一、向量組線性相關(guān)的概念定義1 給定向量組，若存在不全為零的數(shù)，使則稱向量組是線性相關(guān)的.否則稱它為線性無關(guān).注向量組線性無關(guān)Û當(dāng)且僅當(dāng)時，才有； 任意一個包含有零向量在內(nèi)的向量組必線性相關(guān). 如果一個向量組僅含有一個向量，則當(dāng)，則該向量組線性相關(guān)；當(dāng)，則該向量組線性無關(guān).如果一個向量組僅含有二個向量，則這兩個向量線性相關(guān)的充要

11、條件是其對應(yīng)分量成比例. 即存在一個非零系數(shù)k,使得。對于一個向量組，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)；兩向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的幾何意義是兩個向量共線；三個向量線性相關(guān)的幾何意義是三個向量共面.維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)的。例1證明維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān).證明：設(shè)，則由知，故維單位向量組是線性無關(guān).三、向量組線性相關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及線性相關(guān)性的判斷方法（一）有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)1 若向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示，且表示方式是惟一的.證明 記.由于若向量組線性無關(guān)，故，故；又由向量組線性相關(guān)知.于是，所以，方程組有唯一解.這表明向量可由向量組線性表示，且表示方式是惟一的. 注

12、：也可像書上用定義證明。說明向量前的系數(shù)不能為零就可以了。性質(zhì)2若向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)；反之， 若向量組也線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).反言之，線性無關(guān)的向量組的任何非空的部分向量組都線性無關(guān).注 性質(zhì)2的結(jié)論可以簡述為：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān).證明 記，則.由于若向量組線性相關(guān)，故，于是，從而向量組線性相關(guān).例2 設(shè)向量組線性相關(guān)，而向量組線性無關(guān)，證明 (1) 能由線性表示； (2) 不能由線性表示. 證明 (1) 向量組線性無關(guān)； 向量組線性無關(guān) 又 向量組線性相關(guān)； 能由線性表示 (2) 設(shè)能由線性表示，由（1）知，能由線性表示，故設(shè)能由線性表示，這與條件

13、線性無關(guān)相矛盾.故不能由線性表示.性質(zhì)3 若維向量組線性無關(guān)，則維向量組也線性無關(guān).注 性質(zhì)3可簡述為：無關(guān)組添加分量后仍無關(guān)；反言之，相關(guān)組減少分量后仍相關(guān).證明 記，則.由于向量組線性無關(guān)，故，于是，從而向量組線性無關(guān).性質(zhì)4 當(dāng)時，個維向量線性相關(guān).注 性質(zhì)4可簡述為：向量個數(shù)大于維數(shù)時必線性相關(guān).證明 記個維向量構(gòu)成矩陣，則，故向量組 線性相關(guān).（二）判斷有關(guān)向量組線性相關(guān)的方法定理1 向量組線性相關(guān)Û中至少有一個向量可由其余向量線性表示.證明 設(shè)向量組線性相關(guān)，則有不全為零的數(shù)使不妨設(shè)，則，即可由線性表示；反之，設(shè)向量組中有一個向量可由其余個向量線性表示，不妨設(shè)為，則存在實

14、數(shù)使 ，故.因為 這個數(shù)不全為零，所以向量組線性相關(guān).定理2 向量組線性相關(guān) Û有不全為零的數(shù)使Û齊次線性方程組有非零解Û ，其中推論1 向量組線性無關(guān)Û齊次線性方程組只有零解Û ，其中推論2 個維向量組線性相關(guān)Û ，其中；反之：個維向量組線性無關(guān)Û例3 已知討論向量組的線性相關(guān)性.解：記 向量組向量組線性相關(guān).例4 設(shè)向量組線性無關(guān)，討論向量組的線性相關(guān)性.解法一 設(shè)存在使，即亦即 線性無關(guān) (1) 方程組(1)只有零解， 向量組線性無關(guān).*解法二 記，設(shè)的列向量線性無關(guān)又 向量組線性無關(guān).*解法三 記 向量組線性無關(guān) 向

15、量組線性無關(guān).三、向量組的等價1、定義4 設(shè)有兩個維向量組，若向量組中每個向量都可由向量組線性表示，則稱向量組可由向量組線性表示；若向量組與向量組可以互相線性表示，則稱這兩個向量組等價.也記為：。注 向量組的等價是一種等價關(guān)系，即向量組的等價具有: 自反性、對稱性、傳遞性. 2、向量組等價的條件定理3 的列向量組可由的列向量組線性表示Û存在矩陣，使.證明 由于一個向量可由向量組線性表示可等價地表示成方程，那么若向量組可由組線性表示，則對組的任意向量有注 稱矩陣為這個線性表示的系數(shù)矩陣或表示矩陣.推論1 的行向量組可由的行向量組線性表示Û存在矩陣，使.證明 的行向量組可由的行

16、向量組線性表示Û矩陣的列向量組可由的列向量組線性表示Û存在矩陣，使(由定理1)Û存在矩陣，.推論2 (1)如果，則的列向量組與的列向量組等價；(2)如果，則的行向量組與的行向量組等價.推論3 向量組可由向量組線性表示Û存在矩陣，使Û矩陣方程有解Û推論4向量組與向量組等價Û.例5 設(shè)，證明向量組與向量組等價. 解 向量組與向量組等價.注：其他例子待講到線性方程組和解和矩陣的秩的時候再講。目前只介紹向量組的線性表示及其相關(guān)概念。定理4 假設(shè)與是二個向量組。如果（1）向量組可以由向量組線性表示。（2）。則向量組必線性相關(guān)。推論1：

17、如果向量組可以由向量組線性表示，且向量組線性無關(guān)，則必有：。推論2：任意一個向量個數(shù)大于n的n維向量組必線性相關(guān)。推論3：二個等價且線性無關(guān)的向量組，其所含的向量個數(shù)必相等。四、向量組的最大無關(guān)組以及向量組的秩（一）向量組的最大無關(guān)組1、定義設(shè)有向量組，若在中能選出個向量，滿足向量組線性無關(guān)；中任意個向量(若有個向量的話)都線性相關(guān).則稱向量組是向量組的一個最大線性無關(guān)組，簡稱最大無關(guān)組，最大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩，記為.注 只有一個零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它有秩為0； 向量組的最大無關(guān)組一般不是惟一.例如向量組和都是它的最大無關(guān)組； 最大無關(guān)組的另一等價定義：設(shè)有向量組，

18、若在中能選出個向量，滿足向量組線性無關(guān)；中任何向量都可由線性表示.則稱向量組是向量組的一個最大無關(guān)組 任何一個線性無關(guān)的向量組，其最大無關(guān)組就是它自身。 任何一個向量組的最大無關(guān)組都與向量組本身等價。向量組的任意二個最大無關(guān)組之間都是等價的，并且他們所含的向量個數(shù)相同，都等于向量組的秩。例6 全體維向量所構(gòu)成的向量組記作，求的一個最大無關(guān)組及的秩.解 因為維單位向量組是線性無關(guān)，又中含個向量的任何向量組都線性相關(guān)，故維單位向量組就是的一個最大無關(guān)組，從而.例2 設(shè)齊次線性方程組的全體解向量所構(gòu)成的向量組為，稱這個向量組為該方程組的解空間。求的一個最大無關(guān)組及的秩. 解 原方程組的同解方程為，即

19、 令自由未知數(shù)得方程的通解為 記，則方程組的全體解向量可記為.由于方程組的每個解向量可由線性表示，又容易驗證線性無關(guān).故為的最大無關(guān)組，且它的秩為2.（二）矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系定理5 矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩.*證明 ，并設(shè)的階子式，則所在的個列向量線性無關(guān)；又由于中所有的階子式均為零，所以的任意個列向量線性相關(guān)，從而所在的個列就是的列向量組的一個最大無關(guān)組，即的列向量組的秩等于. 同理可證，矩陣的行向量組的秩也等于. 注 由定理4知，如果，則). 由定理4的證明可看出：的最高階非零子式所在的列就是列向量組的最大無關(guān)組，所在的行就是行向量組的一個最大無關(guān)組.因

20、此可借鑒求最高階非零子式的方法求最大無關(guān)組.（三）向量組的最大無關(guān)組的求、向量組的秩的求法以及用最大無關(guān)組來表示向量組的其余向量的方法。1、將向量組的每個向量為一列作出矩陣； 2、對施行初等行變換將之化為行階梯形矩陣； 3、=R（B）=的非零行行數(shù)； 4、從中找出一個非零的階子式，中與所對應(yīng)的子式為，則為的一個最高階非零子式，所在的列對應(yīng)的向量構(gòu)成向量組的一個極大無關(guān)組.例3 設(shè)有向量組，求（1） 向量組的秩。（2） 向量組的一個最大無關(guān)組（3） 把不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示出來.解：記A=，對A施行行初等變換，化為A的行初等矩陣：A所以易求出：（1）=3 （2）就是A的一個最大無關(guān)組。 （3）例4 設(shè)矩陣，求矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不