1、 離散型隨機變量的分布離散型隨機變量的分布 兩點分布兩點分布均勻分布均勻分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布幾何分布幾何分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布1010.p,n 兩點分布兩點分布1 n回回 顧顧 一、分布函數的概念一、分布函數的概念二、分布函數的性質二、分布函數的性質三、例題講解三、例題講解四、小結四、小結第三節第三節 隨機變量的分布函數隨機變量的分布函數 對于隨機變量對于隨機變量X, 我們不僅要知道我們不僅要知道X 取哪些值取哪些值, 還要知道還要知道 X 取這些值的概率取這些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道道 X 在任意有限區間在任意有限區間(a,b)內取值

2、的概率內取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函數函數 ).()(12xFxF ?一、分布函數的概念一、分布函數的概念例如例如內的概率內的概率落在區間落在區間求隨機變量求隨機變量,(21xxX1.概念的引入概念的引入 2.分布函數的定義分布函數的定義說明說明(1) 分布函數主要研究隨機變量在某一區間內取值分布函數主要研究隨機變量在某一區間內取值的概率情況的概率情況.)(,的分布函數的分布函數稱為稱為函數函數是任意實數是任意實數是一個隨機變量是一個隨機變量設設定義定義XxXPxFxX .)()2(的一個普通實函數的一個普通實函數是是分布函數分布函數

3、xxF 實例實例 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求隨機變量求隨機變量 X 的分布函數的分布函數.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0時時當當 x, 0 0)( xXPxF 0 1x,10時時當當 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1時時當當 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得 );,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 證明證明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,

4、)(22xXPxF 二、分布函數的性質二、分布函數的性質 , 0)(lim)()3( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo; 1)(lim)( xFFx證明證明,越越來來越越小小時時當當 x,的的值值也也越越來來越越小小xXP 有有時時因因而而當當, x(, ),(,)XxxX 同樣,當時必然落在內 ).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函數處處即任一分布函數處處右連續右連續. ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxF. 1lim)(lim xXPxFxx所以所以xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1 重要公式重要

5、公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 證明證明,bXaaXbX 因為因為, bXaaX,bXaPaXPbXP 所以所以).()(aFbFbXaP 故故 ,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 因此分布律為因此分布律為818383813210pX解解則則三、例題講解三、例題講解.31,5 . 5,31, XPXPXPXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函數的分布律及分布函數求求出現的次數出現的次數三次中正面三次中正面表示表示將一枚硬幣連擲三次將一枚硬幣連擲三次例例1,反面反面正面正面設設 TH ;218381 ,0時時當當 x,10時時當當

6、 x求分布函數求分布函數)(xXPxF x o 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 iaip)(xXPxF 1iaip0 XP1 XP; 0 ,21時時當當 x ,32時時當當 x;87838381 ,3時時當當 x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0 XP1 XP2 XPx o 1 2 3. 1 3ixip0 XP1 XP2 XP3 XP 31 XP313P XP XP X) 1 () 3(FF 41188 . 3 , 1, 32 ,87, 21 ,84, 10 ,81, 0 , 0)(xxxxxxF所所以以3P X3.8 5 . 5 XP5 . 51 XP31 XP 13

7、XPXP) 1 () 3(FF 5 . 55 . 51 XPXP418 1.2011 . 0 的分布律為的分布律為設隨機變量設隨機變量 XXkp321 412141解解)(,3 , 2 , 1xXPxFxX 且且處取得概率值處取得概率值只在只在由于由于例例2.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函數的分布函數求求 . 3, 1, 32,21, 21,1, 1, 0)(xxXPXPxXPxxF得得 . 3, 1, 32,43, 21,41, 1, 0)(xxxxxF即即 )(xXPxF 由由,41 )23()25(2523FFXP .214143 2)2()3(32 XPFFXP

8、)21(21FXP 得得21431 .43 請同學們思考請同學們思考不同的隨機變量不同的隨機變量,它們的分布函數一定也不相它們的分布函數一定也不相同嗎同嗎?答答 ., 1;, 1., 1;, 121出反面出反面出正面出正面出反面出反面出正面出正面XX不一定不一定.例如拋均勻硬幣例如拋均勻硬幣, 令令 . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函數函數但它們卻有相同的分布但它們卻有相同的分布同的隨機變量同的隨機變量是兩個不是兩個不則不同則不同在樣本空間上的對應法在樣本空間上的對應法與與,21XX xxkkpxXPxF)(分布函數分布函數分布律分布律kkxXPp 離散型隨機變量分布律與分

9、布函數的關系離散型隨機變量分布律與分布函數的關系 例例3 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2米的圓盤米的圓盤,設擊中靶上任設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,并設射擊都能中靶并設射擊都能中靶,以以X表示彈著點與圓心的距離表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量試求隨機變量 X 的分布函數的分布函數.解解,0時時當當 x,是不可能事件是不可能事件xXP 02,x當時222024xxPXx; 0)( xXPxF于是于是設設x為同心圓盤的半徑為同心圓盤的半徑 于是于是)(xXPxF ,2時時當當 x故故 X 的分布函數為的分布函數為 . 2,

10、 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其圖形為一連續曲線其圖形為一連續曲線 ., 0, 20,2)(其它其它若記若記tttf.d)()(ttfxFx 則則,()()(上的積分上的積分在區間在區間恰是非負函數恰是非負函數xtfxF.為連續型隨機變量為連續型隨機變量此時稱此時稱 X注意注意 兩類隨機變量的分布函數圖形的特點不兩類隨機變量的分布函數圖形的特點不一樣一樣. .)( xxkipxXPxF2.分布律與分布函數的關系分布律與分布函數的關系1.離散型隨機變量的分布函數離散型隨機變量的分布函數四、小結四、小結 一、概率密度的概念與性質

11、一、概率密度的概念與性質二、常見連續型隨機變量的分布二、常見連續型隨機變量的分布三、小結三、小結第四節連續型隨機變量及其概第四節連續型隨機變量及其概率密度率密度 性質性質. 0)()1( xf. 1d)()2( xxf證明證明 .d)()(1xxfF .,)(,d)()(,),(簡稱概率密度簡稱概率密度率密度函數率密度函數的概的概稱為稱為其中其中為連續型隨機變量為連續型隨機變量則稱則稱有有使對于任意實數使對于任意實數非負函數非負函數存在存在的分布函數的分布函數如果對于隨機變量如果對于隨機變量XxfXttfxFxxFXx 一、概率密度的概念與性質一、概率密度的概念與性質1.定義定義 xo)(xf

12、11d)( xxfS1SxxfSxxd)(211 )()()3(1221xFxFxXxP xxfxxd)(21 xxfxd)(2 證明證明.d)(21xxfxx )()(1221xFxFxXxP xxfxd)(1 1x 2x ).()(,)()4(xfxFxxf 則有則有處連續處連續在點在點若若)(aFaXP ,d)(xxfa 1aXPaXP xxfxxfad)(d)( )(1aF xxfxxfad)(d)( .d)(xxfa 同時得以下計算公式同時得以下計算公式 注意注意 對于任意可能值對于任意可能值 a ,連續型隨機變量取連續型隨機變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP證

13、明證明aXP . 0 由此可得由此可得xxfxaaxd)(lim0 連續型隨機變量的概率與區間的開閉無關連續型隨機變量的概率與區間的開閉無關bXaP bXaP bXaP .bXaP . 0 aXP若連續型隨機變量若連續型隨機變量 X=a 是不可能事件是不可能事件,則有則有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X=a 為離散型隨機變量為離散型隨機變量, 注意注意連連續續型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX .271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函數的分布函數求求確定常數確定常

14、數其它其它具有概率密度具有概率密度隨機變量隨機變量設設解解, 1d)()1( xxf由由例例1 的概率密度為的概率密度為知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 03030,0,d ,03,6( )d(2)d ,34,621,4.xxxttxF xttttxx( )( )dxF xf tt由得 . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 .)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的

15、概率密度的概率密度隨機變量隨機變量的值的值系數系數求求的分布函數為的分布函數為設連續型隨機變量設連續型隨機變量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例2 ),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因為因為 X 是連續型隨機變量是連續型隨機變量, )(lim)(xFaFax ,)(連續連續所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解之得解之得 )2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(

16、xFxf 的概率密度為的概率密度為隨機變量隨機變量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa 二、常見連續型隨機變量的分布二、常見連續型隨機變量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX記記為為區區間間上上服服從從均均勻勻分分布布在在區區間間則則稱稱其其它它具具有有概概率率密密度度設設連連續續型型隨隨機機變變量量定定義義 1. 均勻分布均勻分布xo)(xf a b概率密度概率密度函數圖形函數圖形 均勻分布的意義均勻分布的意義,),(Xba變量變量上服從均勻分布的隨機上服從均勻分布的隨機在區間在區間.),(性是相同的性是相同的內的可能內的可能中任意等長度的子區間中任意

17、等長度的子區間落在區間落在區間baxo)(xf a bab 1 lablp l ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數分布函數xo)(xF a b 1 例例3 設電阻值設電阻值R是一個隨機變量是一個隨機變量, 均勻分布在均勻分布在900歐歐1100歐歐.求求R的概率密度及的概率密度及R 落在落在950歐歐1050歐的概率歐的概率.解解由題意由題意,R 的概率密度為的概率密度為 ., 0,1100900),9001100(1)(其其它它rrf故有故有1050950 RP. 5 . 0d20011050950 r 例例4 設隨機變量設隨機變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從

18、均勻分布, 現現對對 X 進行三次獨立觀測進行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值試求至少有兩次觀測值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函數為的分布密度函數為 ., 0, 52,31)(其它其它xxf設設 A 表示表示“對對 X 的觀測值大于的觀測值大于 3 的次數的次數”,解解即即 A= X 3 . 2 YP.2720 因而有因而有設設Y 表示表示3次獨立觀測中觀測值大于次獨立觀測中觀測值大于3的次數的次數,則則.32,3 bY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x ,0,( )0,0.0,.xXexf xxX定義設連續型隨機變量的概率密度

19、為其中為常數 則稱服從參數為 的指數分布2. 指數分布指數分布記為：記為：XE() 某些元件或設備的壽命服從指數分布某些元件或設備的壽命服從指數分布.例如例如無線電元件的壽命無線電元件的壽命 , 電力設備的壽命電力設備的壽命, 動物的壽動物的壽命等都服從指數分布命等都服從指數分布.應用與背景應用與背景分布函數分布函數1,0,( )0, 0.xexF xx 例例5 設某類日光燈管的使用壽命設某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數為服從參數為=1/2000的指數分布的指數分布(單位單位:小時小時)(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時以小時以上的概率上的概率.

20、 (2) 有一只這種燈管已經正常使用了有一只這種燈管已經正常使用了1000 小時以小時以上上,求還能使用求還能使用1000小時以上的概率小時以上的概率. . 0, 0, 0,1)(20001xxexFxX 的分布函數為的分布函數為解解 1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP 1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指數分布的重要性質指數分布的重要性質 :“無記憶性無記憶性”. ).,(,)0(,21)(22)(22NX

21、XxexfXx記為記為的正態分布或高斯分布的正態分布或高斯分布服從參數為服從參數為則稱則稱為常數為常數其中其中的概率密度為的概率密度為設連續型隨機變量設連續型隨機變量定義定義 3. 正態分布正態分布(或或高斯分布高斯分布) 正態概率密度函數的幾何特征正態概率密度函數的幾何特征;)1(對稱對稱曲線關于曲線關于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值時時當當 ; 0)(,)3(xfx時時當當;)4(處有拐點處有拐點曲線在曲線在x ;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時的大小時改變改變當固定當固定xxf;)5(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲

22、線以 x=-2 .,)(,)7(圖形越矮越胖圖形越矮越胖越大越大圖形越高越瘦圖形越高越瘦越小越小而形狀在改變而形狀在改變不變不變圖形的對稱軸圖形的對稱軸的大小時的大小時改變改變當固定當固定xf 正態分布的分布函數正態分布的分布函數texFxtd21)(222)( 正態分布是最常見最重要的一種分布正態分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產的產品尺寸正常情況下生產的產品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態分布高度等都近似服從正態分布.正態分布的應用與背景正態分布的應用與背景 正態

23、分布下的概率計算正態分布下的概率計算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函數不是原函數不是初等函數初等函數方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計算軟件包計算(演示演示)方法二方法二:轉化為標準正態分布查表計算轉化為標準正態分布查表計算 ).1, 0(,1, 0),(2NN記為記為態分布態分布的正態分布稱為標準正的正態分布稱為標準正這樣這樣時時中的中的當正態分布當正態分布 標準正態分布的概率密度表示為標準正態分布的概率密度表示為,21)(22 xexx 標準正態分布標準正態分布標準正態分布的分布函數表示為標準正態分布的分布函數表示為.,d21)(22 xtexxt 標準正態分布的

24、圖形標準正態分布的圖形 .225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例6 . 0828. 0 見見P240P240，附表，附表3 3 ).1 , 0(),(2NXZNX 則則若若引理引理證明證明的分布函數為的分布函數為XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故 解解xedcxd21222)( ,ux 令令ueudcd2122 dXcP ueudcd2122 .),(2dXcPNX 求求已已知知例例7 d ueudd

25、2122 ueucd2122 )()(cFdFdXcP 因因而而. cd . c . cddXcP 即即 例例8 證明證明).(1)(xx xexxxd21)(22 xexxd2122 xexd2122 xexxd2122 ).(1x 證明證明 (1) 所求概率為所求概率為89 XP)2(5 . 09089 )2(1 9772. 01 .0228. 0 解解例例9002.,(),( ,0.5 ).(1)90,89.(2)800.99,?d CXCXN ddXd將一溫度調節器放置在貯存著某種液體的容器內調節器設定在液體的溫度以計是一個隨機變量 且若求小于的概率若要求保持液體的溫度至少為的概率不低于問 至少為多少 99. 080)2( XP99. 0801 XP99. 0)80(1 F99. 05 . 0801 d ,01. 099. 015 . 080 d 327. 20.5-80 d即即.1635.81 d 分布函數分布函數概率密度概率密度三、小結三、小結2. 常見連續型隨機變量的分布常見連續型隨機變量的分布 xttfxFd)()(. 1 連續型隨機變量連續型隨機變量均勻分布均勻分布正態分布正態