1、2009研究生數(shù)值分析試題和答案-石家莊鐵道大學石家莊鐵道學院2009級碩士研究生考試試卷課程名稱數(shù)值分析任課教師王亞紅 2009年一2010年度第丄學期姓名 學號 評分時間 120分鐘題號-一-二三四五合計分值3016201618100得分一填空(30分)000 1. A= 0 21x=(1,2,3)t，貝訃劇辺二_00-2 丿2. f (x) = 4x3 3x22,則 f 2,4,6,8 丄_12 3丄3. 用Gauss列主元消去法解方程組24 5 = *1 ,第一次選的列主元-3 5 6 _8 j為.4. 設(shè) f(x) Ca,b, P(x)是多項式，則 f(x)-P(x)： , 5. 滿

2、足P(0) = P (0)0,P(1) =1,P(2) =12的不高于3次的插值多項式為，其余項為16. 為使兩點數(shù)值求積公式：.(x)dx、f(%廠f(X2)具有最高的代數(shù)精度， 貝卩其求積節(jié)點 捲 =, x2二.7. 用G-S迭代法解方程組丿x1 +&卷=4 ，其中a為實數(shù)，G-S迭代法收2 a% + x2 = -3斂的充要條件是a滿足 8. 寫出用牛迭代法求方程 x2 =117的正根、117的迭代公式/2 1 、9.將 A =1 2 1做 Cholesky分解，L=、1 2丿1 ft10.設(shè) U =1龐,d=d2，Ux=d1優(yōu)丄14丿的求解公式為12111（16分）方程組3 12x =6

3、1.1 2 2 一15_1請用直接三角分解（LU分解）解此方程組； 2寫出解此方程組的Jacobi迭代法的分量形式（20分）已知數(shù)據(jù)X-1123Y-30481請作出差商表，求三次牛頓均差插值多項式；2.試用y =ax b擬和這組數(shù)據(jù)。四（16分）1 .設(shè)Xi為等距節(jié)點，寫出滿足L（xi） = f （Xi） （ 0,1,2）的插值多項式 L2（x）;并利用L2（x）,試推導f（x。）的插值型求導公式.2.能否用（x,Xi）, L2（x）的值作為f （x）的近似值？為什么？五（18分）1.取0為I。八2的三位有效數(shù)字1.41,計算序列譏油勺遞推公 式為：I n =10人4 -1,門=1,2/，則I

4、10的誤差多大？這個算法穩(wěn)定嗎？2.設(shè)方程組Ax二b，若實際求的近似解為x ,47T 口口X X|b - Ax1證明二cond(A)X|b若|AxAx已很小，能否說明x已很近似Ax = b的精確解x嗎?石家莊鐵道學院2009級碩士研究生考試試卷參考答案及評分標準課程名稱數(shù)值分析任課教師王亞紅一.(1-6題 2分/空;7-10題 3分/空)1.3， 32. 43.-34. max f (x) - P(x)11 / 65.2x (-x 2),f(4)()4!2x2(x -1)(x -2) 6.,X27.a18.Xk 1 =Xk-Xk “17,k =0,1,2,9.2Xk,3/2,2/3Xn =dn

5、xk= dk - k xk 1-二(16 分).1.解:1 -1=3/2 1/21/21/2-32.Jacobi迭代法計算公式:初始向量x(0)12解 Ly =b,得 y = 06解Ux二y,得x-x3k)/2k =0,1,2,16.1.（10分）差商表XY一階差商二階差商三階差商-1-3103/22445/63840-5/247N3(x) = f(Xo) fXo,Xi(X -Xo)f Xo,Xi,X2(X_Xo)(X_Xi)f Xo,Xi,X2,X3(X -Xo)(X -Xj(X -X2)355-(X 1)-(X 1)(x-1) (x 1)(x-1)(2)26241o分32.(10分)根據(jù)最

6、小二乘原理l=v (axj -b)-yj2最小，一2分i T；：l c0；:b；:l 0；:a4Z Xi 丫b、七yi、運 Xi Z X2 a 丿運yi Xi即，解得 b=1.2857, a=2.8286擬合曲線 y =2.8286x 1.2857 10分L(x) =f(X。)(x -X1)(X -X2)(Xo -X1)(Xo -X2)四(16分)f(X1)(X Xo)(x-X2)(X1 -Xo)(X1 -X2)(x x0)(x X1 )+ f(X2)0計算 L (Xo) -3f Xo 4 f X1 ；f X29分2hf(Xo) : L(Xo)1= 3f x04 f x1 - f x212 分

7、2h6 分(X2 Xo)(X2 X1)2. X (Xo,Xi), f(x) ： L2(x), f(X)二 L2(x) (ni(x)(n +1)!f(n 1)()(7T nl(x),與x有關(guān) x，(xo,xi)f(x)丄(x)無法估計.當x不是插值節(jié)點時 丄2(x)的值不能作為f (x)的近似值.16分1 2五.解 1. (8 分)|0 1.41 =0.004蘭一漢 102 分2 1 211 丨1 =1010 1 (1010 1) = 10(1。一 I)0 蘭 10 汶一X 104 分22 1 2丨2 丨2=10丨1 1 (1011 1) =10(丨1 丨1)蘭10 江一02-in1q1p2 26 分計算到丨1。時，誤差限為初始I。的誤差限的1010倍，每遞推一次誤差擴大 10倍，所以這個計算過程是不穩(wěn)定的。8分2. （10分）證明因Ax =b,所以有 b = Ax 一 A x類推有 110 110 =1019 1 (1019 1) =1019 丨9 蘭 10 漢一漢 10=漢 101 .|A廠b(1)3 分x -x| 二 A(Ax - Ax)| a b- Ax|由(1),(2)得蟲 cond(A)乞b-Axb(2)6 分8分若Ax - A：已