1、103013摘要我們首先對原先需要考慮多方面因素的列車在彎道行駛的模型進行了簡化，忽略了外部環境對列車軌道系統的影響， 不計一切磨損。 然后我們對于簡化后的列車軌道系統在通過彎道時進行受力分析，再結合列車與軌道的幾何形狀，對系統的幾個主要參數例如軌距、 超高、彎道半徑等之間的關系進行了計算與討論。本文的一大特點就是理論計算與實際驗證很好的結合在了一起。 鐵路提速是一個關系著中國鐵路運輸業命運的大問題，所以理論計算要能經的起實踐的檢驗，才能真正體現提速的重大意義?；谶@個想法， 我們在前期搜集資料時找到了中國鐵道部于07 年 4 月 1 日起執行的鐵路技術管理規程 1（以下簡稱新技規），該規程適

2、用于 07 年 4 月 18 日的第六次鐵路大提速。 所以利用新技規中的數據來驗證我們的模型既可信， 又利于對進一步提速的可行性作出較合理的分析。問題一中，我們從四個方面考慮了與彎道設計和列車安全運行有關的因素之間的關系，包括彎道段軌距變大、彎道段外軌超高、過渡段的軌距和超高、列車通過彎道時的速度補償作用。在討論問題二時， 我們利用問題一中已得出的各個因素之間的關系式， 代入問題中給出的數據，將得到的結果與新技規中的規定作比較，以驗證問題一中我們研究的模型的合理性。問題三中，對于列車最高最低允許速度的計算， 針對我國目前大部分鐵路是客貨混合模式的現狀， 我們將彎道設計標準從問題二中列車的安全性

3、轉移到旅客的舒適度上來，使得參數的設置以舒適度為最優先考慮項，同時與新技規的標準規定比較。最后，我們利用 Matlab 分別做出了彎道半徑、外軌超高與最大允許速度、最小允許速度的三維圖像， 從而在對圖像的分析中對進一步提速的可行性進行分析。最后，我們對問題做了拓展性的定性討論， 即對簡化的模型做了適度的復雜化，考慮到在列車在地球這個勻速轉動系中做相對運動會受到科里奧利力的作用。同時，針對第六次大提速以及今后鐵路的發展， 我們引入國內近期研制成功的新型擺式列車，用于分析今后中國鐵路提速的潛力和發展方向。關鍵詞：軌距加寬、 彎道半徑、外軌超高、欠超高、過超高、允許速度、過渡段、穩定系數、乘客舒適度

4、。鐵路大提速下的彎道設計103013一問題概述我國經濟飛速發展，客運、貨運量日益上升，為了滿足運輸市場需求，我國鐵路自 1997 年以來先后已進行了次大提速，從以前的最高時速60 公里 / 小時至 80 公里 / 小時，到 2004 年 4 月 18 日的第次提速后，最高時速達到了160公里 / 小時至 200 公里 / 小時，其中京滬、京廣、京九、京哈等路段的最高時速已達到或超過 200 公里 / 小時。但提速要確保列車的安全運行，安全是第一位的。鐵路彎道的設計是保證列車高速安全運行的關鍵問題之一。 本文就影響列車在彎道上運行的因素進行研究和討論， 以確保在列車安全行駛的前提下其速度能夠得到

5、提升。二變量說明以下是對文中常見參數的定義。軌道方面：R 彎道曲率半徑；Dg 軌距；彎道段軌道面傾角；H g 彎道段外軌超高距離；列車方面：m 列車重量； v 列車速度；L 列車轉向架固定軸距；Dl 輪對寬度；dly 輪緣厚度；dlb 輪背內側距離；三模型建立與分析求解1 問題一1.1問題闡述分析研究與彎道設計和列車安全運行有關的因素之間的關系。1.2問題分析在實際設計彎道時， 研究人員往往要考慮多方面因素， 包括軌道所處的水文條件、地理條件、氣象狀況以及列車的物理動力學分析、數學幾何外形、車體振動等。為了便于計算和討論， 論文中我們只考慮與彎道設計和列車安全運行有關的物理受力和數學幾何方面的

6、因素。鐵路大提速下的彎道設計11030131.3問題求解完整的彎道應該分為五個部分： 進入彎道前和駛出彎道后的兩段直道段， 其軌距不變，軌道無外軌超高； 銜接直道和彎道的兩段過渡段， 其軌距和外軌超高距離從直道段到彎道段逐漸變大； 處于兩過渡段之間的彎道段， 其軌距恒定且比直道段略大，其外軌超高距離恒定。彎道段軌距變大我們首先討論彎道段軌距與其他參數間的關系。列車在彎道行駛時自由內接通過彎道， 即列車轉向架外側最前位的外輪輪緣與外軌軌距線接觸，其它各輪輪緣不與軌距線接觸地在軌道上自由行駛。列車自由內接通過彎道示意圖由圖可得，DgDl maxDDl max 為最大輪對寬度，其中12DgD g2D

7、gDg2DL2RLRRR122222DgR2由于 LR ， DgR，我們有如下近似，D gDgL2L2L2D RR12Dg2R22Dg2 R2 R22鐵路大提速下的彎道設計2103013代入 Dg 中，得L2D gDl max2R以我國目前客車主型轉向架為例，L2.4m ，Dl max1424mm ，取 R350m ，代入上式，得D g14242.421000 1432.2mm2350而根據新技規規定，直線軌距標準規定為1435mm ，所以當彎道曲率半徑 R 350m 時軌距不需要加寬。新技規中規定了加寬距離0R350mD g5mm300mR 350m 。15mmR300m為了確保列車車輛不因

8、壓在軌道面上的寬度太小而掉道， 接下來我們對彎道的最大軌距進行計算?？紤]最壞情況， 即列車在彎道行駛時， 當輪對一端的車輪輪緣貼緊鋼軌， 另一端車輪踏面的 1:10 斜坡段部分應全部在軌頭頂面上滾動。彎道段容許的最大軌距圖中， Dg max 為最大軌距； dly min 為最小輪緣厚度，取作22mm ； dlb min 為最小輪背間內側距離， 取作 1350mm ; dlp 為輪背至踏面斜度為1: 20 和 1:10 的變坡點的距離，取作 100mm ； d gd 為鋼軌頂面圓角寬度，取作12mm 。鐵路大提速下的彎道設計3103013又Dg maxdly min dlb min dlp d

9、gd代入上述數據得到 Dg max 1460mm，此時車輪支承在鋼軌頂面上的1:10 斜坡度的寬度為 Dg max Dl max36mm ，可保證車輪不會掉道。彎道段外軌超高列車在彎道段行駛時， 其向心加速度的大小與速度的平方成正比， 而與彎道段的曲率半徑成反比。當火車過彎速度較大時， 相應的慣性離心力也會增大。 對于列車，若離心力過大則會產成出軌或側翻的情況； 而對于乘客，若座位產生的靜摩擦力不足以提供所需的向心力時， 人就會滑離座位。 所以對于鐵路提速安全運行， 彎道向心力是要考慮的重要因素之一。為了提高列車過彎時的向心力， 可以采用設置外軌超高的方法， 即把鐵軌彎道段外軌適當提高， 利用

10、車廂重力 G 平行于軌道斜面的分力提供向心力， 從而達到內外兩股鋼軌受力均勻， 使旅客不因離心加速度而感到不適， 提高列車過彎橫向穩定性，保證行車安全，另外使內外車輪與軌道的磨耗均勻。當列車在曲線段行駛時，其慣性離心力為m v2fc對列車過彎進行受力分析，如下圖R列車通過彎道段時的受力分析圖為簡化受力模型， 我們假定所有的力均作用于車輛的平面內，重力作用在車體的重心上，把fc 和列車重力 G 分別分解為與軌道面平行和垂直的兩個分力。鐵路大提速下的彎道設計4103013為使兩股鋼軌上所受的壓力相等，應有fc cosG sin因為 DgH g ，所以有近似cos1 ， sinH gtanDg代入上

11、式，得f cH gmgH gGD gDg又由 fcm v2，我們得到外軌超高為R2vHDgggR由此可見對于一定曲率半徑的彎道段，其超高與列車速度的平方成正比。當然，軌道超高的設置既要保證提供足夠的向心力， 還要考慮到列車的穩定性以免側翻，即超高應該有上限值和下限值， 用以保證旅客的舒適度和列車的安全性。鐵路超高 H g 表達式中的 v 是行駛的平均速度v0 ，然而通過彎道段的列車速度一般不會恒定， 而當實際列車的速度大于或小于超高設計的平均速度v0 時，就會產生未被平衡的橫向加速度。 當列車的速度大于 v0 時，由于超高不足， 使外軌壓力加載，內軌減載，未被平衡的離心加速度為acv 2gH

12、gRD g為保證安全和平穩，未被平衡離心加速度應有一個上限值ac0 。設 vmax 為最高行車速度，則vmax2gH gac0RDgvmax2DgH gac0Dg ，這里 H 為超高差，這里H 為正值，記可得 HggR為欠超高H q 。若列車的速度小于v0 時，由于超高過大，上式改寫成鐵路大提速下的彎道設計5103013vmin2DgH gac0D gHggR此時H 為負值，記為過超高H g雖然增加超高可以提高更多的向心力，但其上限應該保證列車在低速行駛時，不至于由作用在列車上的重力與離心力的合力導致向軌道內側傾覆。 受力示意圖如下列車受重力與離心力合力作用示意圖在過超高的情況下 ( 例如低速

13、行駛 ) ，若合力作用 F 指向 O 則表明列車恰好處于絕對穩定狀態。 但通常情況下， F 并非恰好指向 O ，而是向內側偏離一定距離，我們稱其為偏心距dp 。若 dp 過大并超過內側軌道支點則必定會產生車體傾覆，此時 d p D g 。這里我們引入穩定系數n 的概念 2 ，將其定義為 Dg，用來22d p表示列車的穩定程度。容易得到，當 d p 0 ，n時，車輛處于絕對穩定狀態； 當 d p D g，n 12時，車輛處于臨界穩定狀態；當d p D g， n 1時，車輛喪失穩定而傾覆；當2鐵路大提速下的彎道設計61030130d pD g ， n 1 時 , 車輛處于穩定狀態， n 越大，車輛

14、越穩定。2下面我們再來討論d p 與欠超高H q 的關系。dp 與欠超高H q 關系示意圖由上圖的幾何關系可知，O COABA，所以O CO 與ABA 相似，由此可得OO ' AA'COBA這里 OO'dp ， COhG ， hG 為車輛重心至軌距中點的高度， AA' H q ,BA Dg ，代入上式得到偏心距 d p 與欠超高H q 的關系d phGH qDg所以我們又得到了穩定系數n 的表達式nD g22hGH q最后，我們已經得到了外軌超高、 軌距、列車速度和曲率半徑這四者之間的關系式，即H gDgv 2gR鐵路大提速下的彎道設計7103013為了便于之后

15、的計算，我們將已知數據代入上式。通常列車速度 v 的單位是 km / h ，先轉化成國際標準單位v(km / h)3.6v(m / s)我們取重力 加速度 g 9.8m/ s2。 Dg取兩軌頭中心線間距 離，略大于Dg max 1460mm，這里我們取 Dg1500mm 3 ，代入 H g 得到H g1500v211.8 v23.629.8RR這里 H g 的單位是 mm。過渡段的軌距和超高在整個曲線段中， 曲率半徑不變的彎道段只是一小部分， 其余部分是彎道段與直道段之間的過渡段。對于過渡段的參數設置， 我們認為應該滿足下述原則。 首先，當車輛自直道段進入彎道段或從彎道段進入直道段時， 在車輛

16、上產生的慣性離心力不應突然出現或消失，而應在過渡段范圍內逐漸地增加或減小， 即要求過渡段的曲率半徑應漸變，以保證行車平穩而不在過渡段的始、終點產生振動沖擊；第二，過渡段的外軌超高應逐漸遞增，使因超高而產生的列車重力的向心力分量與離心力相適應；最后，對于曲率半徑較小的彎道， 彎道段上的軌距加寬也應在過渡段范圍內完成。以下我們過渡段的超高進行討論。在過渡段始點處超高為零， 在過渡段終點處超高為 H g ，兩者之間應以順坡方式連續變化。我們考慮了兩種順坡方式：一種是直線型順坡，如圖所示直線型順坡另一種是曲線型順坡，如下圖鐵路大提速下的彎道設計8103013曲線型順坡對于直線型順坡，其在過渡段起點和終

17、點處均有一個折角 ，列車通過時會產生沖擊。其中dhtandl因為 h 11.8v0211.8v02 k ，又由于平均速度 v0 是一個常值，令 E11.8v02 ，R則 h Ek ，這表示在過渡段上任一點的超高與曲率成正比。 顯然，只要滿足曲率要求，也就滿足超高要求。既然直線型順坡有折角，所以由上式得dhdEkdktanEdldldl下面我們來計算直線型順坡的過渡段曲線長度。機車車輛行駛在過渡段上， 若不計軌道彈性和車輛彈簧的作用， 則轉向架上的車輪可能形成如圖所示的三點支承。轉向架受三點支承示意圖為保證列車的安全運行， 應使內側車輪輪緣不爬越內軌頂面。外軌超高順坡傾角為，最大固定軸距為Lma

18、x ，則車輪踏面離開內軌頂面的高度為Lmax tan。當懸空的高度大于輪緣最小高度hl min 時，車輪就有可能形成的三點支承脫軌的危鐵路大提速下的彎道設計9103013險。因此，必須保證Lmax tanhl minhl min , tanLmax對于直線形超高順坡的過渡段，其長度l 0 應為l0H gtan式中， H g 即為彎道段外軌超高距離。對于曲線形超高順坡的過渡段，外軌超高的最大坡度也應滿足前面對tan的要求。曲線形順坡的傾角是變化的。所以必須求其最大值，所以有tandhE dkdldld tand 2 kdl0dl 20對曲線形順坡的過渡段來說， tan最大值出現在過渡段中點。 該

19、處的 tan等于tan maxdh11.8v02 dkdl ll0dl ll022列車通過彎道時的速度補償作用因為列車的車軸是整軸，任何時刻同一車軸上的兩個輪子轉速l 是一致的。車輪踏面是一個由1: 20 和 1:10 斜坡度組成的斜面，當通過彎道時，由于離心作用，車體要向彎道外側偏移， 此時外側車輪和軌道接觸面的圓周長變大，內側車輪則變小，內外車輪的線速度分別是l rn 和l rw ，其中 rn rw 。同時，內外車輪行駛的彎道的曲率半徑不一樣， 分別為 R 和 RDl ，列車通過彎道的角速度為l 。在列車速度比較大或彎道曲率半徑比較大時，近似有l rnrnRl R，這就是列車通過彎道時的速

20、度補償作用。l rwrwR Dll R Dl但是如果列車速度比較低或者彎道曲率半徑太小，這種補償作用就不明顯。比如在列車通過道岔的時候 ( 此時可以看作列車行駛在小半徑曲線上 ) ，就會聽到摩擦聲。在彎道上由于外軌超高， 所以列車重力力距和外軌車輪受到的支持力力矩同向，造成內側車輪載荷增加，其滾動摩擦力變大，外側車輪的滾動摩擦力變小，鐵路大提速下的彎道設計10103013從而內側車輪帶動外側車輪，外側車輪發生滑動摩擦，噪聲來自外側車輪。2 問題二2.1問題闡述如果客貨車的重量一定，按我國鐵路目前的這種客貨列車混合運行的模式，要保證貨車時速在 60 80km / h ，客車時速在 160 200

21、km / h 運行，則應該如何來設計彎道（即彎曲度和傾斜度如何） ，才能保證列車的安全運行？2.2問題分析設計彎道段時最重要的兩個因素就是彎道的曲率半徑R 和外軌超高 H g 。以下我們就這兩者與行車速度v 的關系進行討論。2.3 問題求解由問題一 1.3.b，我們推導得出了曲率半徑 R 、外軌超高 H g 、行車速度 v 三者的關系式： H g11.8v 2，其中 v 單位是 km/ h ， H g 單位是 mm。R根據新技規規定，超高 H g 不得超過 150mm （之后問題三的求解會給出這個數值的合理性分析） ，行車速度 v 應為平均速度 v0 ，根據題意1）貨車由題意知平均速度 v07

22、0km/ h ，則計算得出 R385.5m ；2）客車由題意知平均速度 v0180km / h ，則計算得出 R2548.8m 。從計算得到的 R 的范圍，說明客、貨車的情況都符合題目給出 “彎道半徑最小不得少于 350 米”的國家標準規定。又因為我國目前的鐵路大部分是客貨混合運行的模式， 貨車和客車在駛過彎道段時所需要的超高因為兩者速度不同而有較大差距。 且一旦設置彎道段實際超高 H g 后，使得列車通過彎道時的向心力等于離心力的列車速度只有一個，即平均速度 v0 ，所以為了綜合解決這兩個問題，我們在此設計的外軌超高所對應的速度為客、貨車的平均速度v0(70180) / 2125km / h

23、在此情況下，我們認為設計的彎道半徑R1229.2m 。然而設計軌道的彎道半徑 R 與建造成本和困難度密切相關， 所以希望當在列車運行安全的范圍內，所需的半徑 R 越小越好。在時速達到 200km / h 的題目要求的提速條件下，軌道超高達到國家規定的150mm 的最大值，并且處于欠超高的臨界狀態（欠超高的定義在問題一鐵路大提速下的彎道設計11103013中已詳細論述）。新技規規定，未被平衡的欠超高一般不應大于 90mm ，過超高不大于 50mm （之后問題三的求解同樣會給出取值的合理性） ，所設計的半徑值最小為2002R 11.81966.7 m15090這雖然遠大于題目提供的 350m 的數

24、值，但是根據新技規規定的客貨共線、級鐵路線路區間線路最小半徑表（見下圖）鐵路等級路段設計行車速度 (km/ h)20016012012080一般 ( m)3500200012001200600特殊困難 (m)28001600800800500我們發現，所求的彎道半徑極限值R 1966.7 m 仍然遠小于國家規定的最小半徑值。例如， 200km / h 對應 R3500m ，此時超高值和欠超高將遠小于國家規定的最大臨界值 H q 150mm、 H q90mm。按照新技規的參數規定來軌道設計，可使列車的安全系數更高，也使客車乘客感覺的舒適度更高。關于過超高問題，由于超高H g軌距 Dg ，所以在低

25、速時主要由重力產生的偏心距 d p 會遠小于 D g （當 d pD g時為側翻臨界狀態，此時穩定系數n 1），22總在側翻、傾覆的安全范圍內， 所以過超高的討論主要在于客車乘客感到的舒適度，關于這個問題我們主要放在接下來的問題三中進行討論。3 問題三3.1問題闡述按照以上的設計方案， 對列車的最低允許速度、 最高允許速度和相應的可靠性，以及進一步提速的可行性進行討論。3.2問題分析問題一中我們就列車速度同其他因素之間的定量關系進行了討論， 所以我們認為列車的最低最高允許速度與彎道段曲率半徑的范圍、 外軌超高的范圍之間也同樣存在一定的聯系。 至于這些參數范圍的設置， 應該是以列車安全性和乘客舒

26、適度來衡量，從而在這些前提下對我國列車進一步提速的可行性。3.3問題求解在彎道段已設超高的情況下， 列車通過該彎道段的最高允許速度受欠超高的限制，而最低允許速度受過超高的限制。鐵路大提速下的彎道設計12103013現來討論最高允許速度。 由 H g11.8 v2，我們現將已設超高 H g 替換成 H g 與R欠超高 H q 的和，而 v 用最高允許速度 vmax 替換H gH q11.8vmax2H gH q R，vmaxR11.8vmax 的單位是 km/ h 。下面我們先來討論欠超高H q 的設置。因為我國大部分鐵路是客貨混合模式， 加上我國客運需求越來越大， 對乘客旅行舒適條件應逐漸提高

27、， 所以欠超高的設置除了滿足安全性外， 應該以旅客舒適度為最優先的考慮方面。在問題一中，我們已得到了最大允許速度與未被平衡的離心加速度之間的關系v2gHgmaxac0RDg將 g 9.8m / s2 ， Dg1500mm， vmax (km/ h)3.6vmax (m / s) 代入上式，得到H q 11.8 vmaxH g153ac0R4我國通過實測得到的未被平衡離心加速度與旅客舒適度的關系表如下ac0 ( m / s2 )多數旅客的舒適程度0.40基本感覺不出，意識不到在曲線上運行0.50有感覺，但能適應0.60感覺有橫向力，但尚能克服0.73明顯感覺有橫向力，但尚能克服0.87感覺有較大

28、橫向力，需有意識保持平衡，走路難1.00感覺有很大橫向力，站立不穩，不能行走根據新技規規定，允許的欠超高H q 在一般情況下為 75mm ，此時相應的 ac 0 0.5m / s2 ；特殊情況下為 90mm , 此時相應的 ac0 0.59m / s20.6m / s2 。我們認為這些設置是以乘客舒適程度來定的，所以這些設置是合理的。我們再來設置超高H g 的范圍?；仡櫼幌聠栴}一的穩定系數 n 的表達式nD g22hGH q鐵路大提速下的彎道設計13103013關于車輛重心至軌距中點的高度hG ，我國貨車為 2220 mm，客車為 2057 mm 。以下是穩定系數 n 在允許的欠超高H q 下

29、的取值貨車穩定系數 n客車穩定系數 nH q75mm6.87.3H q90mm5.16.1我們考慮最不利情況， 即當列車停在彎道段上時， 外軌超高就等于過超高就是過超高H g ，這時要保證穩定系數n3 ，所以H g maxDg2150022nhG169mm2 3 2220根據新技規規定，最大實設超高雙線地段不得超過 150mm , 單線地段不得超過 125mm 。這是穩定系數為Dg215002n3.32hG H g2 2220 150能夠保證足夠的穩定性。再來看vmaxH gH q R11.8雙線地段取H g150，H q90mm，代入上式得到mmvmax4.5 R單線地段取 H g125mm

30、 ，H q90mm ，代入上式得到vmax4.3 R同理，對于最低允許速度vmin ，類似的有vminH gH g R11.8要注意的是，這里H g 為負值，取 75mm 。為了直觀的表達出vmax 和 vmin 與超高 H g 和彎道段曲率半徑 R 之間的關系，我們以 v 、 H g 和 R 為坐標軸利用 Matlab 作出了三維圖像，如下鐵路大提速下的彎道設計14103013vminRH g 圖vmaxRH g 圖最后我們將 vmin 和 vmax 放在一張圖中作為比較。鐵路大提速下的彎道設計15103013vmin / vmaxRH g 圖從圖中可以看出，要想進一步提速，有兩種方法：一是

31、擴大彎道半徑，二是增加外軌超高。 但從實際操作上來說， 我國已經進行過的大提速都是在既有線上進行的，所以擴大彎道半徑就缺乏可操作性。 而改造既有線， 使已設置的外軌超高更高能夠使列車速度得到進一步提升。但是對于客貨混合模式的既有線來說，抬高外軌畢竟不能同時滿足強調安全性但速度較慢的貨車和強調舒適性且速度較快的客車的提速。所以針對列車自身的設計勢必會成為今后鐵路發展的重點，例如目前國內已研制成功并且在不久的將來會大面積投入使用的擺式列車， 成功解決了自動調節車身超高的問題，使得進一步提速成為可能。四問題的拓展與討論當列車在客貨兩用軌道過彎時，一般都處于欠超高狀態（特別是客車） ，且當列車通過半徑

32、小于 1500 m 5 的曲線時，底盤的轉向架第一輪對的外輪輪緣總是貼靠外軌運行的， 由于導向力和沖角的原因， 外軌軌頭的側磨將會非常嚴重。 所以關于問題三的提速過彎的可行性分析， 由于過彎線速度較大， 在考慮設計軌道在欠超高狀態下的外軌側面磨損時， 我們還應考慮到科里奧利力對外軌磨損的影響，科里奧利力的表達式為fcor2mvv 為列車相對地球轉動的速度（近似運行速度），為地球轉動角速度雖然當列車在沿直線行駛時也受到科里奧利力引起的磨損， 但由于設計列車高速過彎時， 涉及到欠超高、 離心力臨界狀態以及安全因素的影響， 所以在過彎設計時，我們更應考慮到科里奧利力的偏壓磨損因素。另外，對于我們討論的列車提速問題，由于列車在直線上無論跑多快，通過鐵路大提速下的彎道設計16103013彎道時都需減速，影響全程速度（否則離心力作用導致脫軌） ，因而列車提速的關鍵在于提高過彎道時的速度。 對于本題我們討論的方法是采用較傳統的增