1、X1X2X31X1X22x332x1X2X34先把第1個方程的-1-2倍分別加到第x1x2X312x2X343x23x36把第3個方程兩邊同乘-1/3并且和第2個方程換位置:第三章線性方程組本章包含兩個內容：向量和線性方程組研究線性方程組的解是?線性代數?的最主要的任務，用矩陣方法來討論線性方程組的解的情形和求解線性方程組，用向量表示線性方程組的 解和表達解之間的關系§1線性方程組定義3.1由m個方程n個未知量組成的線性方程組的一般形式:a1 Xa2Xa 22 X2a1nXna2nXnbi b2am1X1am2X2amnXnbm矩陣形式是：Axb其中矩陣a11a12a1nb1X1a2

2、1a22a2nb2X2Ab =Xam1am2amnbmXm分別稱為系數矩陣，常數項矩陣和未知量矩陣,稱Ab為增廣矩陣，滿足線性方程組的有序數組xnx2,人稱為線性方程組的 解，線性方程組的全部解組成解集，求解的過程稱為 解線性方程組.對方程進行適當變化而解不變，叫做同解變換.顯然，以下三種變換是同解變換：(1) 交換兩個方程的位置；(2) 用一個非零數同乘某個方程的兩邊；(3) 把一個方程乘以某個數加到另一個方程上2線性方程組的消元解法線性方程組的消元解法就是利用上述的三種同解變換，逐步消去未知量化為一元一次方程,得到這個方程中的未知量的解，再逐步回代得出其它未知量的解。也就是兩個過程：消元和

3、回 代。觀察下面的例子，體會同解變換和消元法：12，3個方程上去，消去2X1X2X31X2X3232X2X34再把第2個方程的2倍加到第3個方程上:去，消去x2X1X2X31X2X3243X30在中學時，我們一般從第3個方程得到x3回代到第2個方程得到X2，再把X2和X3回代到第1個方程中，得到Xi。現在我們把第3個方程乘1/3，再將其-1丨倍加到第1, 2個方程上去，捲 x21X22 5X30然后把第2個方程的-1倍加到第1個方程上去，得到X-I1x22 6X30以上的解法中，方程組1變化到4的過程是消元，后面 2個步驟是回代。無論是消元還 是回代，都只是未知量的系數和常數項參與了運算，未知

4、量本身并未改變；而且對方程組所作 的三種同解變換對應矩陣的三種行初等變換。因此解線性方程組相當于增廣矩陣的行初等變換。通過對消元法解線性方程組的觀察和分析可以寫出每個過程對應的矩陣，我們必須建立以下的觀念：線性方程組和增廣矩陣一一對應，矩陣的每一行相當于一個方程；在變換的過程中，所有的矩陣都是等價的，每一個矩陣都對應一個線性方程組，這些方程組都是同解方程組也可以叫做等價方程組！消元：通過初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣；回代：通過初等行變換把階梯形矩陣化為行最簡形矩陣；解線性方程組只能用初等行變換，不可以用列變換！對增廣矩陣 Ab作行初等變換，可以化為矩陣B :cl1C12C1 rC1 nd

5、10022C2rC2nd2a11厲2a1n b1a?1A b21a22a2n b2r00CrrCrndrBrA U0000dr 1am1am2amn bm000000 0000觀察到dr 1 0方程組無解；dri0方程組有解。并且dr1 0R(A) r,R(A b) r 1，即 R(A)R(A b)；dr1 0R(A) R(Ab) r進一步地分析,當R(A)R(A b) r n時，方程組有唯一解；當 R(A) R(A b) r n 時,方程組含有n r個自由未知量xr 1, xn，可以任意取值，方程組的解有無窮多個。因此我們 得到下面的定理。定理 非齊次線性方程組宀/ b有解的充分必要條件是R

6、(A b) R(A)，并且R(Ab) R(A) n時有唯一解，R(A b) R(A) n時有無窮多解。定理3.2齊次線性方程組 Am nx 0有非零解的充分必要條件是R A n , Ax 0僅有零解的充分必要條件是R A n.推論1當m n時，齊次線性方程組 AmnX 0有非零解.這是因為當m n時，齊次線性方程組 Am nX 0的系數矩陣的秩一定小于 n.推論2當m n時，齊次線性方程組 AmnX 0有非零解的充要條件是A 0 ；僅有零解的充要條件是A 0。要清楚以上定理中的n是未知量的個數，m是方程的個數。但是判斷解的情形總是根據矩陣 的秩而不是方程的個數或未知量的個數。3線性方程組的消元

7、解法步驟解非齊次線性方程組 AmnX b的步驟：(1) 寫出Am nX b對應的增廣矩陣(A b)；(2) R(A b) R(A)?假設不相等，得出無解的結論，假設相等就進行下一步；(3) 繼續初等行變換把矩陣化為行最簡形，R(A b) R(A) n時可直接寫出它的唯一解,R(A b) R(A) n時，進行下一步；(4) 根據行最簡形寫出等價方程組，令其中的n r個自由未知量非首元所在列為任意常數：C|,C2, ,Cn r，并把其它未知量首元所在列用 G,Q, ,Cn r表示.增廣矩陣對應原始方程組，階梯形矩陣用于判斷線性方程組有沒有解和有多少解，行最簡 形矩陣用于求解.解齊次線性方程組 Am

8、 nX 0的步驟：(1)寫出Am nX 0對應的系數矩陣A ；R(A) n?假設R(A) n ,得出僅有零解的結論，假設R(A) r n進行下一步；(3)繼續初等行變換把矩陣化為行最簡形，寫出等價方程組，令其中的n r個自由未知量非首元所在列為任意常數：c1,c2, , cn r，并把其它未知量首元所在列用g,c2,r表示.無論非齊次還是齊次線性方程，判斷解的情形只需化為階梯形矩陣，而求解必須化為行最 簡形矩陣.例3.1解下面的線性方程組4x1 2x2 x323x1 x2 2x310421 232121338(Ab)312 1012312101130 80006c 11338231. 0101

9、134000611 x-i 3x28解對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換化為階梯形矩陣:3，說明秩不相等，所以方程組無解得到 R(A) 2, R(Ab)例3.2解線性方程組2x1X23x333x-iX25x304x1X2X33X13x26X31解對增廣矩陣作初等行變換化為階梯形矩陣：2 1 3 3r3 r23 15 0 D r1 一(Ab)14 92128312 63136 1r2 r114 92bA06175r4r10231071511 361149242'12442023106175 13 £ 04620002921 1347 3 r 074 293 0290492124

10、0110004 1 1 3r1 r42 2319314 0010001000發現R(A) R(Ab) 3，說明有唯一解，因此繼續初等行變換，化為行最簡形矩陣:710 0 12* 42 亠 0 10 21 *00110 0 0 0 0得到解:X11X22X31k值時方程組的通解例3. 3 k為何值時，下面的齊次線性方程組有非零解？求最小5 k x-i 2x2 2x3 02x16 k x202xi (4 k)X305k22t2220 t1r3AA26k02t 10rrt22204 k20r2t 1r32t 1020t1 20t 122tA1 22G2>02-(t2t4)» 04(t

11、t 4)r3r22320t 11t0t 11 t解對方程組的系數矩陣作初等行變換，化為階梯形矩陣.為了計算的方便，令5 k t，0 t 124(tt 4)130(t 9t)40或t3，即k2或 k2021 c1B042 -21 24000令!(t39t)0，得 t4線性方程組有非零解.當 k 2 時，t 3，A等價方程組：5或 k1 00 10 08時,1120R(A)23，齊次X1 X301門x2x302 2 3令自由未知量x3 c， c為任意常數，得到全部解:x1c1x2c2X3 c如果方程組的系數或常數項中含有未知參數，在對矩陣作初等行變換時，要注意運算的可一 一 2行性.在本例中，如果

12、不先換行，而作變換：r2r1使(2,1)元化為零，是不可以的，因為不能確定是否t 0作初等行變換，有時計算比擬難，如果方程的個數和未知量的個數相同時，可以克萊姆法那么，再用矩陣的初等行變換用行列式是否為零來判斷解的情形和確定未知參數的值 消元法求出解本例可以采用這種克萊姆法那么和消元法結合的方式:5 k 2令 A 26 k2 0得t 0或t 3，即k 當k 2時，3 2A 2 42 02t2202 t 104 k20 t 12或k5 或 k 8 ；21 0 1A0r0 1 -220 0 0t39t記 5 k tXiX2X3得到方程組的解:c1 c2c3.2向量及其運算1向量的定義定義3.2 n

13、個有序的數a1,a2, ,an組成的數組稱為 n維向量，n稱為向量的 維數，這n個 數稱為該向量的 n個分量，第i個數a,是第i個分量，每個分量都是實數的向量稱為 實向量， 分量中有復數的向量稱為復向量.本課程僅討論實向量.向量可以寫成一列或寫成一行，分別稱為列向量或行向量，記作：aia2、或(ai, a2, an)一個行向量的轉置是一個列向量，一個列向量的轉置是一個行向量 一個列行向量可以看成一個列行矩陣對于向量，我們有以下的說明：(1 )行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；(2 )行向量和列向量都按照矩陣的運算法那么進行運算；(3 )當沒有明確指明是行向量還是列向量時，都當作列向量定義

14、3.3每個分量都是零的向量稱為 零向量，記作0;將向量 的每個分量變成相反數得到的向 量稱為 的負向量，記作有不同維數的零向量定義3.4假設干個維數相同的向量組成的集合稱為向量組.線性方程組的一個解是一個向量，稱為解向量，解的集合稱為 解向量組向量組：1T(1,0, ,0), 2T(0,1,0),同維數的初始單位向量組(0,0,1)稱為初始單位向量組，有不2向量的線性運算定義3.5當且僅當兩個向量的維數相同且對應的分量相等時稱這兩個向量相等，記作:ai4a?b2即：假設有2 ,2，那么ai b (i 1,2,n)anbn下面我們定義向量的加法和數乘運算，暫時不作向量的乘法運算(1)加法a1b1

15、a1b1設有兩個n維向量：a2與b,稱向量a2b2為與和，記作:anbnanbn即：a1b1a2b2an bn數乘aikai設有n維向量a?kap和數k,稱向量為數k與向量 的乘積，記作k ，即:ankankaika2kkan根據負向量和數乘運算的定義，我們得到向量的減法：a1 b|a2 b2an bn行向量的線性運算類似上述列向量的運算定義3.6向量的加法和數乘運算統稱為線性運算既然向量可以看成列矩陣或行矩陣，那么向量的線性運算與矩陣的加法和數乘運算完全相 同，也就具有相同的算律，這里不再重復 3向量與矩陣、方程組的關系一個矩陣Am n的每一行元素可以構成一個向量，得到m個n維的行向量，稱為

16、矩陣 An的行向量組.每一列元素可以構成一個向量，得到n個m維的列向量 1, 2, , n，稱為矩陣Amn的列向量組用分塊矩陣的觀點看，矩陣珞n以列向量為子塊：A ( 1 2n)，也可以以行向量為子塊A ( i 2m)T.如果矩陣A ( 1 2n)是n階方陣，那么它的行列式可以寫成 |A | j 2 n .線性方程組它的每個未知量的系數組成一個列向量，得到(j 1,2,n)，常數項也組成一個 m維列向量1Xl2X2nXnn個m維列向量j(aij,a2j,2呵)丁，用向量的線性運算表示為：Sii xi812X2aln Xnbia2i X|玄22 X2a2n Xnb2am1X1am2X2am nX

17、nbm那么齊次線性方程組可表示為1X1 2X2nXn0在方程組中1, 2,n是未知量 X1, X2,xn的系數，而在向量的運算中，可以把例3.4向量12,1, 0,3,20, 2,3,5,31,5,3,1，求一個向量使得2 1 2 343成立.解先將所求向量用向量1 , 2,3表示出來，再作向量的線性運算 .由于2123431 2 124 3所以2 2,1,0,30,2, 3,541, 5,3,1520, 15,150,4, 3, 35例3.5向量2, a, 0 ,1, 0, b ,c, 5, 4，且0.求：a, b,c的值解2, a,01, 0, b c, 5, 41 c, a5, b 40

18、根據向量相等的定義1c 0, a 50, b 40a5, b4, c1Xi,X2, ,Xn看成是向量 1 , 2,n的系數這在向量關系的討論中很重要§ 3.3向量組的線性相關性1線性組合線性組合研究一個向量與一個向量組的關系定義3.7對于給定的向量組成立，那么稱向量1, 2 , n線性表示，等式k1 1 k2k1, k2, ,kn之間的關系。n和向量，如果存在一組數 k1, k2,kn n是向量組 1, 2, , n的一個線性組合，或者說向量 數k1, k2, ,kn稱為組合系數。2kn n表達了向量組一般有兩類問題：n和一組數k1, k2, ,kn，求向量n和向量，求一組數k1,k

19、2, ,kn.1,2, ,k11k22n和向量,kn使得()可以由向量組以及組數前一個是向量的線性運算問題，后一個是求線性組合的系數問題 可以認為()式是一個線性方程組，它以k1,k2, ,kn為未知量, 常數項，顯然線性方程組的解就是組合系數。因此有 定理向量是向量組 量的矩陣的秩和以1 > 2 > 丨 R 1 2判斷向量 是否是向量組 組是否有解及求解的步驟相同 表示法不唯一。.如何求組合系數呢？1, 2, n為系數，為n的一個線性組合的充分必要條件是以 為列向量的矩陣的秩相等，即：R 12n2, n的一個線性組合并求出組合系數，和判斷線性方程1, 2, n為列向.如果方程組有

20、唯一解，表示法唯一；如果方程組有無窮多解，那么注意：求組合系數時，應把所有的向量寫成列向量組成矩陣，并且作初等行變換，不可以 作列變換！定義3.8設有兩個向量組：(A) 1, 2, , s, (B) 1, 2, , t，如果(A)組的每個向量都可 以由(B)組線性表示，稱(A)可由 侶)線性表示；如果(A)與(B)可以互相表示，那么稱 向量組(A) 與向量組(B)等價.等價向量組的性質： 自反性：每個向量組與自身等價；2 對稱性：假設向量組(A)與向量組(B)等價，那么(B)與(A)等價; 傳遞性：假設向量組 設向量組(A)(A)與(B)等價，且向量組(B)與(C)等價，那么向量組(A)與(C

21、)等價. S可由向量組即：存在矩陣其中，A ( 數矩陣。更簡單地說,k“ 1(kij )t s 使得BK2 , s), B矩陣方程 A陣。ktj,t線性表示，那么存在k1j, kj使得1,2, ,s(B)t)。稱K為向量組(A)由向量組(B)線性表示的系BX有解，那么向量組 A由向量組B線性表示，其解X為表示矩例3.6問向量 8,2, 5, 9能否由向量組：131,1,1, 21,1, 1,3, 31,3, 1,7線性表示？假設能，寫出其表示式。3118101一21132 ,7解1 ,2 ,3 ,01211152000013790000R 1 ,2,3,R1 , 2,3可由向量組 1, 2,

22、3線性表示，且有一 1 7 2 0 3。2 22線性相關與線性無關線性相關和線性無關研究一個向量組與零向量的關系定義3.9對于給定的向量組1, 2, , n，如果存在一組不全為零的數ki,k2, ,kn使得kn n 0成立，稱向量組那么稱1, 2,n線性相關；如果當且僅當k1 k2(3.3.2)kn0時(3.3.2)式成立,n線性無關.對于給定的向量組1, 2, , n，如何判斷是否有一組不全為零的數k1,k2, , kn使k1 1 k2 2kn n 0呢？如何求出這組數呢？可以將(3.3.2)式看成一個齊次線性方程組，它以k1,k2,kn為未知量，1, 2, , n為系數，那么就變成了討論齊

23、次線性方程組是否有非零解因此得到下面的定理：定理3.4向量組1, 2,n線性相關的充分必要條件是R 12nn，線性無關的充分必要條件是R 12nn.推論1 n個n維向量1,2, n線性相關的充分必要條件是12n0,線性無關的充分必要條件是1 2 n 0.推論2 n k(k N)個n維向量一定線性相關，即向量組中所含向量個數大于維數時必定線 性相關.根據上面的討論，n個m維向量組成的向量組當m n時，一定線性相關;當m n時，可用行列式1 2 n是否為零判斷其線性相關性;無論n和m哪個大，都可以用初等變換求秩來判斷是否線性相關，與判斷齊次線性方程 組是否有非零解的步驟相同.求線性關系式的一組系數

24、 k1,k2, ,kn，就是要求出相應的齊次線性方程組的任一組非零 解。下面是一些關于線性組合和線性相關的簡單有用的結論： 一個零向量線性相關，一個非零向量線性無關； 含有零向量的向量組線性相關；兩個向量線性相關的充要條件是對應分量成比例； 初始單位向量組線性無關； 任何向量可由初始單位組線性表示； 零向量是任何向量組的線性組合；向量組中的任何一個向量可以由該向量組線性表示定義3.10由向量組中的一局部向量組成的新向量組稱為原向量組的局部組定理3.5 一個向量組線性無關，那么它的任何局部組線性無關；如果向量組的一個局部組線性相 關，那么原向量組線性相關例3.7證明：兩個向量線性相關的充要條件是

25、對應分量成比例證明必要性：設向量a1, a2 ,an和d,b2, ,bn線性相關，即存在不全為零的數 k1,k2，使得k1k2 =0不妨設匕0，那么由k1k2 =0k2k1，即有ak2 .aibik1(i 1,2,n)成立，即對應分量比例.充分性：如果 ，對應分量比例成比例，就是存在數k使得ai kb(i 1,2,n)即kk 0記k, 1，k2k，那么存在不全為零的數 K, k2使得&k20即，線性相關。例3.8設向量組,2, 3線性無關，證明：向量組 1 2 2, 23, 1 2 3線性相關證明 證明向量線性相關，一般用定義或用矩陣的秩，也有用其它相關定理的。下面我們給出 兩種常用方

26、法的證明過程，希望同學們掌握.(一 )用定義證明設有數k1, k2, k3使得3k31 2 30k1k302k1k20k22k3010 1其系數行列式21 00，根據克萊姆法那么，這個齊次線性方程組有非零解，即存在不全01 2為零的數k1, k2 ,k3使得k1 12 2k223k31230k312k22k330由于1, 2, 3線性無關，根據線性無關的定義上式成立的條件是2Kk1k2根據線性相關的定義，向量組1 2 2 ,23,12 3線性相關。(二)用矩陣的秩證明對向量組122 , 23,123組成的矩陣作初等變換1 1 2 2231235 '2( 23)231235 2C2(0

27、23123那么，R 1 2 2,23,123R 0231232 3所以，向量組 122 , 23,123線性相關例3.9設有向量組A：10,2,1,1 , 2 2, 1,0,1 , 31,0,1,0，向量組B15, 0, 2,1 , 25,3,4,2問向量組A是否線性相關?向量組B能否用向量組A線性表示？表示式是什么？解 對向量組人和B組成的矩陣進行初等行變換:02155210 0310124110 1232 2 a4r3r15110 10 10 20 1130 2 15216511 0 1A 4210 010 12021511012110 132010214 3010 22200115001

28、 1400113000 01001112010210011300002由此可知：R1233，向量組:A：123線性無關；231232152R 1示，表示式為3，所以1可以由向量組A：13線性表R 1性表示.因此，向量組例3.10 k為何值時,B向量組33，所以2不能由向量組A：A線性表示11,1,1,kT,21,1,k,1T,31,2,1,1T不能用向量組解對給出的向量組成的矩陣A進行初等行變換：11 1111112riA001A1231k10k 1B0k11i 2,3,4k 100(1)顯然，k 1時，有一個三階子式0010k1 0k120k100所以R B 3，即R1,2 ,33，那么1,

29、2,3線性無關；而k 1時，R B2，即R1,2,32，此時1 ,2,3 B作初等行變換，化為行最簡形：111110ri1001001B000i 2,3,4000000000得到線性關系式：12030.3線性組合與線性相關有關定理定理3.6向量組1, 2, n線性相關的充分必要條件是1, 2, , n中至少有一個向量是其余n-1個向量的線性組合.定理3.7如果向量組1, 2, , n線性無關，添加一個向量后1, 2, , n,線性相關，那么可由1,2, n線性表示，且表示式唯一 定理3.8如果向量組(A) 1, 2, s可由向量組(B) 1, 2, t線性表示，且S t，那么向量組(A)線性相

30、關推論1如果向量組(A) 1, 2, S可由向量組(B) 1, 2, , t線性表示，且向量組(A)線性無關，那么s t.此推論即是上面定理的逆否命題.推論2如果兩個向量組(A) 1, 2, , S與(B) 1, 2, , t可以互相表示，且向量組(A)和(B)都線性無關，那么 s t 即兩個線性無關的等價向量組所含向量個數相同定理3.9矩陣A經過初等行變換化為 B，那么矩陣 A與B的行向量組等價；對應位置的列向 量局部組具有相同的線性相關性.也就是矩陣 A與B的行向量組可以互相表示；而在A與B中取相同列的向量，A中的幾個向量與B中相同位置的幾個向量，要么都線性相關，要么都線性無關為下一節求最

31、大無關組和求表示式提供了依據.定義3.11在m維向量組(A)的每個向量后面或者前面添加k個分量，得到m+k維的向量組(A'), 稱(A')是(A)的加長向量組.定理3.10如果向量組線性無關那么其加長向量組也線性無關，如果加長向量組線性相關那么原 向量組也線性相關.§向量組的秩和最大線性無關組1最大無關組最大無關組研究的問題是：一個向量組中有沒有一局部向量是線性無關的？最多有多少個 向量是線性無關的？定義3.12設 i2, ir是向量組!, 2, n中的r個向量r n，如果i1,i2,ir線性無關；(2)1,2,n可i2, ir由線性表示那么稱ii2， , ir是向量

32、組 1, 2, , n的一個最大線性無關局部組，簡稱最大無關組 定義中條件(2)意味著每一個向量都可以用-,線性表示，可以將其改寫為“其余向量可以用h , i2 , , ir線性表示 注意理解最大無關組的兩個關鍵詞：最大、線性無關只有一個零向量的向量組沒有最大無關組根據定義可知，向量組與它的最大無關組等價，兩個最大無關組等價 有了最大無關組，很多研究向量組的問題就變成研究它的最大無關組問題，研究兩個向量 組的關系就變成研究它們的最大無關組之間的關系，例如：兩個向量組等價相當于它們的最大 無關組等價最大無關組一般不唯一，但有下面的結論：定理3.11最大無關組所含向量個數相同 2向量組的秩定義3.

33、13 一個向量組的最大無關組所含向量的個數稱為向量組的秩如果向量組(A)： 1, 2, , n的最大無關組中含有r個向量，那么向量組的秩為r，記作:RA r 或 R 1, 2, n r.規定：只有一個零向量的向量組的秩為零.為了更好地理解最大無關組和向量組的秩，假設R 1, 2, , n r,我們作以下說明：任何r-1個向量都不可能是向量組的最大無關組； 任何r+1個向量都是線性相關的； 任何含有r個向量的線性無關局部組都是最大無關組.定理3.12如果向量組(A)可以由向量組(B)線性表示，那么 R A R B . 推論 假設向量組(A)與向量組(B)等價，那么R A R B .3向量組的秩與

34、矩陣的秩的關系一般用定義求向量組的秩很困難，鑒于向量和矩陣的關系，我們希望找到向量組的秩與矩 陣的秩的關系定義3.14矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩定理3.13矩陣的行秩=矩陣的列秩=矩陣的秩.如果矩陣A的秩=r，那么A中至少有一個r階子式不為零，這個子式所在的行和列的 r 個向量都是線性無關的.這個定理告訴我們一個求向量組的秩的方法一一初等變換求向量組的秩步驟：(1) 用向量組1, 2 , , n組成一個矩陣1 2 n ；(2) 對矩陣作初等變換，化為階梯形矩陣；(3) 矩陣的秩就是向量組的秩.求秩的時候，向量在矩陣中寫成行向量或列向量都可以但要一致，對矩

35、陣既可作初等行變換又可作初等列變換.如果需要求出一個最大無關組，并把其余向量用該最大無關組線性表示，那么建議把向量 寫成列向量，對這樣的矩陣只能作初等行變換！步驟：(1)把向量組1, 2, n中的向量寫成列向量，組成一個矩陣(2) 對矩陣作初等行變換，化為行最簡形矩陣；(3) 非零行行數首元個數就是向量組的秩，并且首元所在列對應的向量就是最大無關用最大無關組表小的表小式11315289例3.11向量：1,23J4，求一個最大無關組并把11131317組;(4)把非首元所在列的向量用首元所在列的向量表示，這個表示式就是把該列對應的向量其余向量用該最大無關組線性表示解用1,2,3,4做成矩陣，對其

36、進行初等行變換，化為行最簡形矩陣11311131528925107714123411130223 A413174104481 -11311 0 217 r21卜0112r2*011 1232心00000 0 0044200000 0 00首元在第1，2列，所以1 , 2是一個最大無關組，首元以外有第3，4列，所以3,4可以用R 1，2,421 2 212b32 ,4312121qC3b23 -2311C2C41a232a2 1b 41a11 ,2表示，表示式為：3212a例3.12設向量組 13，1a解 1，2，3 ,43> 0 13*0123的秩為2,求參數a,b。12 a 23 3b

37、11312 a 2013 2a b 400 a 25 ba 2,b 5§線性方程組解的解構1齊次線性方程組解的結構1齊次線性方程組 Ax 0解的性質 如果w,V2是齊次線性方程組 Ax0的解，那么V1 V2也是它的解; 如果v是齊次線性方程組 Ax 0的解，k是任意實數，那么 k v也是它的解； 如果vz, ,Vs是齊次線性方程組 Ax 0的解，那么其線性組合匕 Vi + k2V2 +ks Vs也是它的解，其中ki, k2, ks是任意常數.實際上，當k1 k2 1, k3ks 0時，性質 即是性質 ，當k2ks 0時性質就是性質.這幾條性質也說明了，齊次線性方程組如果有非零解，就有

38、無窮多個；找到一個解就可以 找到無窮多個.2 Ax 0的根底解系我們知道，當系數矩陣 珞.的秩R(A) n時，方程組Ax 0有非零解，其解向量組一定 線性相關個數大于維數！如果我們能求出它的最大無關組，記作：v1,v2, ,vs，那么最大無關組的任意線性組合 k1 v1 + k2 v2 +ks vs就是方程組的全部解.這句話包含兩層意思：1k1v1+k2v2+ks vs是方程組的解；2任意一個解v都可以寫成vv?, ,vs的線性組合形式沒有其它形式的解由性質，第1條成立，由最大無關組的定義，第2條成立.因此求出解向量組的最大無關組就是求解的根本問題 定義3.15如果m,V2, ,Vs是齊次線性

39、方程組 Ax 0的非零解，且滿足：(1) V1, V2, ,Vs線性無關；(2) 任意一個解都可以由 VV2, ,Vs線性表示那么稱V1, V2, ,Vs是齊次線性方程組 Ax0的一個根底解系一個根底解系實際上就是解向量組的一個最大無關組如何求根底解系？定理3.14如果n元齊次線性方程組的系數矩陣A的秩R(A) r n，那么方程組的根底解系存在，且每個根底解系恰好含有n-r個解，同時方程組的每一個解都是根底解系的線性組合.根據本定理的證明過程見教材得知求根底解系的方法和過程：(1)寫出系數矩陣，施以初等行變換化為階梯形矩陣，假設R(A) r n，繼續作初等行變換化為行最簡形矩陣不妨設前r個向量

40、線性無關，那么首元位于第1r列，假設不是前r個向量做法相同：10bnb1,n ra11a12a1 na21Aa22a2nr01br1br ,n r00am1am2a mn00(2)寫出等價方程組：b11xr 1b1,n rxnbr,n r xnXr 110 0(3)令自由未知量Xr 2依次取值為初始單位向量組：0J1 0,，得出其它未知Xn00 1量的值：bnb12b1,n rXrbr1, , ,br2br, n r(4)將所有未知量合寫在一起，得到方程組的n-r個線性無關的解，即根底解系：bnb12b1,n rbr1br2br,n rv11,v20，vn r0010001Xr 1xr 2在上

41、述步驟(3)中，自由未知量r 2只要取值n-r個線性無關的向量就行，但一般是取初Xn始單位向量組，此時計算量最小幾乎不用計算，表達最方便2非齊次線性方程組解的結構1非齊次 線性方程組 Ax b解的性質定義3.16當齊次線性方程組 Ax 0和非齊次線性方程組Ax b的系數矩陣相同時，稱Ax 0為Ax b對應的齊次方程組或 導出組.性質 如果u是方程組Ax b的解，v是導出組Ax 0的解，那么u v也是方程組 Ax b的 解； 如果6,上都是方程組Ax b的解，那么 山 U2是其導出組的解這兩條性質說明方程組 Ax b的解和它的導出組的解之間有關系，那么Ax b的全部解與導出組的根底解系有著怎樣的

42、關系呢？2線性方程組 Ax b的全部解定理3.15 對于n元非齊次線性方程組 Ax的一個特解，而Vi,v2, vn r是導出組Ax示為：b，如果有 R(A) R( A b) r<n,且 u0是 Ax b0的一個根底解系，那么方程組Ax b的全部解表u U0GViC2 V2Cn rVn r定理告訴我們求方程組的全部解，只需要求出一個特解和導出組的根底解系我們已經學會了求根底解系，剩下的問題是求一個特解其實都可以用矩陣的初等行變換.(1) 寫出增廣矩陣，并施以初等行變換化為階梯形矩陣，假設R(A) R(Ab) r，繼續作初等行變換化為行最簡形矩陣：10 bngn r Ci01br 1br,n

43、 r cr0000(2) 寫出等價方程組：3線性方程組關于解的等價命題矩陣的秩、向量組的線性關系和方程組是否有解及有多少個解之間有著密切的聯系 非齊次線性方程組矩陣形式 Amnx b， 等價命題：非齊次線性方程組 Amnx b有解；增廣矩陣與系數矩陣的秩相等，即向量組向量形式1X12X2nXn如果，以下命題都是1 > 2 >向量 可以由1,2,兩個向量組的秩相同，即1)n線性表示;R(A b) R(A)；n等價；1 , 2,Am n Xn >向量形式1X1如果齊次線性方程組矩陣形式都是等價命題：齊次線性方程組Am nX 0有非零解； 系數矩陣的秩小于未知量的個數，即 n線性相關； n中至少有一個向量可以由其余向量線性表示0,2X2nXn0,以下命題x1C1 b11xr 1b1,n rxnX rCrb r11br ,nrXn假設rn , 寫出它的唯一-解X