1、高考專題突破四高考中的立體幾何問題第八章立體幾何NEIRONGSUOYIN內容索引題型分類 深度剖析課時作業題型分類深度剖析1PART ONE題型一平行、垂直關系的證明例1 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且ADDE，F為B1C1的中點.師生共研師生共研求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；證明三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC.AD平面ABC，ADCC1.又ADDE，DECC1E，DE，CC1平面BCC1B1，AD平面BCC1B1.AD平面ADE，平面ADE平面BCC1B1.(2)直線A1F平面A

2、DE.證明A1B1C1中，A1B1A1C1，F為B1C1的中點，A1FB1C1.CC1平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，A1FCC1.又B1C1CC1C1，B1C1，CC1平面BCC1B1，A1F平面BCC1B1.又AD平面BCC1B1，A1FAD.A1F 平面ADE，AD平面ADE，直線A1F平面ADE.(1)平行問題的轉化利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉化解決平行關系的判定問題時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應用性質定理時，其順序正好相反.在實際的解題過程中，判定定理和性質定理一般要相互結合，靈活運用.思維升華(2

3、)垂直問題的轉化在空間垂直關系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊.應用面面垂直的性質定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉化為線面垂直問題，進而可轉化為線線垂直問題.跟蹤訓練1(2018北京)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分別為AD，PB的中點.(1)求證：PEBC；證明因為PAPD，E為AD的中點，所以PEAD.因為底面ABCD為矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)求證：平面PAB平面PCD；證明因為底面A

4、BCD為矩形，所以ABAD.又因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD.又因為PAPD，PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)求證：EF平面PCD.證明如圖，取PC的中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，因為四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DEFG，DEFG.所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以EFDG.又因為EF 平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.題型二立體幾何中的計算問題多維探究多維探究例2如圖，

5、在多面體ABCA1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，A1CB是等邊三角形，ACAB1，B1C1BC，BC2B1C1.(1)求證：AB1平面A1C1C；證明如圖，取BC的中點D，連接AD，B1D，C1D，B1C1BC，BC2B1C1，BDB1C1，BDB1C1，CDB1C1，CDB1C1，四邊形BDC1B1，CDB1C1是平行四邊形，C1DB1B，C1DB1B，CC1B1D，又B1D 平面A1C1C，C1C平面A1C1C，B1D平面A1C1C.在正方形ABB1A1中，BB1AA1，BB1AA1，C1DAA1，C1DAA1，四邊形ADC1A1為平行四邊形，ADA1C1.又AD 平面A1C1C

6、，A1C1平面A1C1C，AD平面A1C1C，B1DADD，B1D，AD平面ADB1，平面ADB1平面A1C1C，又AB1平面ADB1，AB1平面A1C1C.(2)求多面體ABCA1B1C1的體積.AA1AC，ACAB.又AA1AB，AA1平面ABC，AA1CD，易得CDAD，又ADAA1A，CD平面ADC1A1.易知多面體ABCA1B1C1是由直三棱柱ABDA1B1C1和四棱錐CADC1A1組成的，(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規則幾何體，則可直接利用公式進行求解.其中，等積轉換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規則幾何體，則將不規則的幾何體通過分割或補形轉化為規

7、則幾何體，再利用公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.思維升華跟蹤訓練2(2019阜新調研)如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2.(1)證明：平面PAC平面PCE；證明如圖，連接BD，交AC于點O，設PC的中點為F，連接OF，EF.易知O為AC的中點，所以OFDE，且OFDE，所以四邊形OFED為平行四邊形，所以ODEF，即BDEF.因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因為四邊形ABCD是菱形，所以BDAC.因為PAACA，PA，AC平面PAC，所以B

8、D平面PAC.因為BDEF，所以EF平面PAC.因為EF平面PCE，所以平面PAC平面PCE.(2)若ABC60，求三棱錐PACE的體積.解因為ABC60，所以ABC是等邊三角形，所以AC2.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.因為EF平面PAC，所以EF是三棱錐EPAC的高.題型三立體幾何中的探索性問題師生共研師生共研(1)求證：DFCE；例3 如圖，梯形ABCD中，BADADC90，CD2，ADAB1，四邊形BDEF為正方形，且平面BDEF平面ABCD.證明連接EB.在梯形ABCD中，BADADC90，ABAD1，DC2，BD2BC2CD2，BCBD.又平面BDEF平面AB

9、CD，平面BDEF平面ABCDBD，BC平面ABCD，BC平面BDEF，BCDF.又正方形BDEF中，DFEB，且EB，BC平面BCE，EBBCB，DF平面BCE.又CE平面BCE，DFCE.(2)若AC與BD相交于點O，那么在棱AE上是否存在點G，使得平面OBG平面EFC？并說明理由.理由如下：連接OG，BG，在梯形ABCD中，BADADC90，AB1，DC2，又正方形BDEF中，EFOB，且OB，OG 平面EFC，EF，CE平面EFC，OB平面EFC，OG平面EFC.又OBOGO，且OB，OG平面OBG，平面OBG平面EFC.對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利

10、用線面關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論則否定假設.思維升華跟蹤訓練3 (2018全國)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧 所在平面垂直，M是 上異于C，D的點.(1)證明：平面AMD平面BMC.CDCD證明由題設知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因為BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因為M為 上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.CD(2)在線段AM上是否存在點P，使得MC平面PBD？

11、說明理由. 解當P為AM的中點時，MC平面PBD.證明如下：連接AC，BD，交于點O.因為ABCD為矩形，所以O為AC的中點.連接OP，因為P為AM的中點，所以MCOP.又MC 平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.課時作業2PART TWO1.如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F為BC的中點，BACACD90，AECD，DCAC2AE2.基礎保分練123456(1)求證：平面BCD平面ABC；123456證明平面ABC平面ACDE，平面ABC平面ACDEAC，CDAC，CD平面ACDE，DC平面ABC.又DC平面BCD，平面BCD平面ABC.1234

12、56(2)求證：AF平面BDE.EAPF，EAPF，四邊形AFPE是平行四邊形，AFEP，AF 平面BDE，EP平面BDE，AF平面BDE.1234562.如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BCCE，點F為CE的中點.123456(1)證明：AE平面BDF；123456證明連接AC交BD于點O，連接OF.四邊形ABCD是矩形，O為AC的中點.又F為EC的中點，OFAE.又OF平面BDF，AE 平面BDF，AE平面BDF.123456(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PMBE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.123456解當

13、點P為AE的中點時，有PMBE，證明如下：取BE的中點H，連接DP，PH，CH.P為AE的中點，H為BE的中點，PHAB.又ABCD，PHCD，P，H，C，D四點共面.平面ABCD平面BCE，且平面ABCD平面BCEBC，CDBC，CD平面ABCD，CD平面BCE.又BE平面BCE，CDBE，BCCE，且H為BE的中點，CHBE.123456又CHCDC，且CH，CD平面DPHC，BE平面DPHC.又PM平面DPHC，PMBE.123456求證：(1)AB平面A1B1C；3.(2018江蘇)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.證明在平行六面體ABCDA1B

14、1C1D1中，ABA1B1.因為AB 平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.123456123456(2)平面ABB1A1平面A1BC.123456證明在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因為AA1AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B.又因為AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因為A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因為AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.123456(1)求證：BD平面A1ACC1；4.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，

15、ABBCBB1，AB1A1BE，D為AC上的點，B1C平面A1BD.123456證明如圖，連接ED，平面AB1C平面A1BDED，B1C平面A1BD，B1CED，E為AB1的中點，D為AC的中點，ABBC，BDAC， 由A1A平面ABC，BD平面ABC，得A1ABD，又ACA1AA，AC，A1A平面A1ACC1，BD平面A1ACC1.123456(2)若AB1，且ACAD1，求三棱錐ABCB1的體積.123456解由AB1，得BCBB11，又ACAD1，AC22，AC22AB2BC2，ABBC，(1)求證：BC平面ACD；123456技能提升練5.(2019呼倫貝爾聯考)如圖1，在直角梯形AB

16、CD中，ADC90，ABCD，ADCD AB2，E為AC的中點，將ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直，如圖2.在圖2所示的幾何體DABC中：123456BACACD45，AB4，在ABC中，BC2AC2AB22ACABcos 458，AB2AC2BC216，ACBC，平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.123456(2)點F在棱CD上，且滿足AD平面BEF，求幾何體FBCE的體積.123456解AD平面BEF，AD平面ACD，平面ACD平面BEFEF，ADEF，E為AC的中點，EF為ACD的中位線，(1)證明：AA1平面ABCD；123456拓展沖刺練6.如圖，在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABC60，AA1AC2，A1BA1D ，點E在A1D上.證明因為四邊形ABCD是菱形，ABC60，所以A