1、(1)求證：AB 平面BCF(2)求直線AE與平面BDE所成角的正切值立體幾何專題復習熱點一：直線與平面所成的角例1.(2014，廣二模理18)如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，EF/平面ABCD,EF=1,FB二FC,BFC二90A-BD-C為6AB皿福-2將左圖沿直線BD折起，使得二面角變式1:(2013湖北8校聯考)如左圖，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB=2,DC=1,BC=成(1)求證：AE平面BDC;(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值變式2:2014?福建卷在平面四邊形ABCDKAB=BD=CD=1,ABLBDCDLBD將Z,ABD沿BD

2、折起,MBQ斤成角的正弦俏.使得平面ABD_平面BCD如圖1-5所示.(1)求證：ABLCD(2)若M為AD中點，求直線AD與平面熱點二：二面角例2.2014?廣東卷如圖1-4,四邊形ABC助正方形，PDL平面ABCQZDPC30,AF，PC于點F,FE/CD交PD于點E(1)證明：CFL平面ADF(2)求二面角D-AF-E的余弦值.變式3: 2014 ?浙江卷如圖1- 5,在四棱錐2, DE= BE= 1, AC= 2.(1)證明：DEL平面ACD (2)求二面角A - BCD 即，平面 ABCL 平面 BCDE / CDE= Z BED =90 , AB= CD=B - AD - E的大小

3、.變式4:2014?全國19如圖1-1所示，三棱柱ABC-ABC中，點A在平面ABC內的射影D在AC上，/ACB=90,BC=1,AC=CC=2.(1)證明：ACAB;(2)設直線AA與平面BCCi的距離為J3,求二面角A-AB-C的大小.MCCL平政 BCQ AB，平面 BCQ熱點三：無棱二面角例3.如圖三角形BCD與三角形MCD都是邊長為2的正三角形，平面AB=2八3.(1) 求點A到平面MBC的距離；(2) 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值變式5:在正方體ABCD-AiBCiDi中,KBB,MCCi,且BK13BBi,CMCCi44求：平面AKM與ABCD所成角的余弦值A變式6

4、：如圖ABCD-A1BC1D1是長方體，AB=2,AA=AD=1，求二平面ABC與A1B1C1D1所成二面角的正切值.ALB1- 4所示？設M N分別為線段 AD,高考試題精選1. 2014?四川，18三棱錐A-BCD及其側視圖、俯視圖如圖AB的中點，P為線段BC上的點，且MNLNP證明：P是線段BC的中點;(2)求二面角A - NP- M的余弦值.2. 2014?湖南卷如圖所示，四棱柱ABCDABQD的所有棱長都相等，A8B*O,ACQ隕=O,四邊形ACGA1和四邊形BDDB均為矩形.(1)證明：OOL底面ABCD若/CBA=60。，求二面角C-OBD的余弦值.3. 2014?江西19如圖1

5、-6,四棱錐P-ABCDKABCDA矩形，平面PADL平面ABCD(1)求證：ABPD若/BPC=90,PB=2,PC=2,問AB為何值時，四棱錐P-ABCD的體積最大?弁求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.j：丁/*D/? E0 A0 ?10分例1.（2014,廣二模）（1）證明：取AB的中點M,連接EM,則AM=MB=1,平面?/EFABCD,EF二平面ABFE,平面ABCDj平面ABFE二AB,?EF/AB,即EF/MB.1分?/EF=MB=1?四邊形EMBF是平行四邊形.?EM/FB,EM=FB?在 RtA BFC 中，FB2 FC2又 FB =FC,得 FB 二 2.?EM*2

6、.在公AME中，AE3,AM-1,EM222?AM2EM2=3二AE2,?AM_EM.?AM_FB,即AB_FB?.?四邊形ABCD是正方形，? AB _ BC .?/ FB BC 二 B ,? AB _ 平面 BCF（2）證法1:連接ACFB 二平面 BCF , BC 二平面 BCFAC與BD相交于點取BC的中點 連接OH ,E0 , FH則0H由（1）? EF/ AB ,知 EF / OH，且1 OH AB =1.21AB,且 EF AB2 EF =OH .?四邊形 EOHF是平行四邊形? EOS（1）知 AB _平面 BCF,又 FH _ AB則點0是AC的中點,平面?/ FH?FH-B

7、C,ABABC二B,AB二平面ABCD,BC二平面ABCD?FH一平面ABCD.?EO平面ABCD.?/AO平面ABCD,精彩文檔/AO_BD,EOABD=0,E0二平面EBD,BD二平面EBD?A0_平面EBD.11分?.AE0是直線AE與平面BDE所成的角？.12分在RtA0E中，tan.AEO二A二、E0?直線AE與平面BDE所成角的正切值為證法2：連接AC,AC與BD相交于點0,則點取BC的中點H,連接0H,E0,FH,1則0H/AB,0HAB=1.21由（1）知EF/AB,且EFAB,2?EF/0H,且EF=0H.?四邊形E0HF是平行四邊形？2 . 13 分E0/FH,且E0=FH

8、-1.由（1）知AB平面BCF,又FH二平面BCFFH_AB.?/FH-BC,AB門BC=B,AB二平面ABCD,BC二平面ABCD以H為坐標原點,FH平面ABCD.E0_平面ABCD.建立空一目MBD十2,-2,0?AE十1,1,1,設平面BDE的法向量為n=x,y,z,由nBD=0,BC所在直線為x軸，0H所在直線為y軸，HF所在直線為z軸，H-xyz,則A1,-2,0,B1,0,0,D-1,-2,0,E0,-1,1.得2x-2y=0,-x-yz=0,得z=0,x=-y.令x=1,則平面BDE的一個法向量為n=1,_1,0.10分設直線AE與平面BDE所成角為二,?t,怡崇2.=cos(

9、n, AE11分13分?直線AE與平面BDE所成角的正切值為,2 .14分變式1: （2013湖北8校聯考）(1)取 BD 中點 F ,連結 EF, AF ,貝U AF =1,EF J 上 AFE =60;,由余弦定理知抽60擰，：*才沁，AE-EF又 BD 平面 AEF , . BD_AE,AE_ 平面 BDC 6分（2）以E為原點建立如圖示的空間直角坐標系,3111則 A(0,0,-),C(-1- ,0) , B(1,-; ,0), D(-1,-; ,0) 8分2222設平面ABD的法向量為 n =(x, y, z),2x =0n DB 0一由得 1. 3，取=3，則 y - -3,. n

10、 =(0,-3=-OB OM 則 OBL CD解法一一C的大小為arccos-.OMLCD又平面MCD平面BCD，則MQL平面BCR,所以MOAB1Z4QM共面破長AMBO相交于E,則/AEB就是AM與平面BCD所成的角？。號MO3,MQABMO面ABCMO到平面ABC的距離相等，作OH_BC于H,連MH貝U MH_BC,求得:OH=OCsi n615二仝MH 利用體積相等得：VA MIBC -2 2=Vm 從 BC（2）CE是平面ACM與平面BCD的交線.由（1）知，O是BE的中點，貝UBCED1菱形.作BF，EC于F,連AF,則AFEC/AFB就是二面角AECB的平面角，設為二.7分因為/

11、BC匡120,所以/BCI=60BF =BC sin60 ; = .3,12分11分tanv-AB=2,sinv-乙5BF所以，所求二面角的正弦值是詈解法二：取CD中點0,連OBOM則OBLCDOMLCD又平面MCD_平面BCD，則MOL平面BCD以。為原點，直線OCBOOM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖O號OMJ3,則各點坐標分別為O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,.3),B(0,-.3,0),A(0,-、3,2、3),(1)設n=(x,y,z)是平面MBC勺法向量，則BC=(1,.3,0),BM二(0,.3,、3),由n_BC得x.3y=0；由n_BM得?3y、?

12、3z=0；取n=(、/3,-1,1),BA=(0,0,2.3),則距離BAn(2)CM-(-1,0八,3),CA=(-1,i3,2、3)?面ACM的法向量為q = (x, y, z),由T利TrCM設平一得-x-3z=0m_CA.解得-x-J3y23Z=0.又平面B=D勺饕間果f3nU)(0,0,1),則cosri1,nx設所求二面角為二，則sinA二2、5512分變式5:解析：由于BCMK是梯形，貝UMK與CB相交于E.A、E確定的直線為m過C作CFLm于F,連結MF因為MCL平面ABCDCFLm故MLm./MFC是二面角山m-C的平面角.設正方體棱長為a,貝U3113V5CMa,BKa.在

13、公ECM中，由BK/CM可得EBa,CFa,故aMC.因442V54AJ2I此所求角的余弦值為cos.MFC二.21變式6:解析：？?平面ABCD平面ABGU,?平面ABC與平面的交線m為過點Bi且平行于AC的直線.直線m就是二平面ABC與ABiGDi所成二面角的棱？又平面ABC與平面AA，平面ABiGDi,過A作AHm于H,連結AH.則.AHAi為二面角A-m-A的平面角？可求得tanAHA:2高考試題精選1. （20i4四川卷）解：（i）如圖所示，取BD的中點O,連接AQCO由側視圖及俯視圖知，ABDBCD為正三角形所以AOLBDOCLBD因為AOOC平面AOC且A6OC=Q所以BD，平面

14、AOC又因為AC?平面AOC所以BDLAC取BO的中點H，連接NHPH又MN,H分別為線段ADABBO的中點，所以MN/BDNHAQ因為ACLBD所以NHLBD因為MNLNP所以NPLBD因為NHNF?平面NHP且NWNP=N,所以BDL平面NHP又因為HP?平面NHP所以BDLHP又OCLBDHF?平面BCDOC?平面BCD所以HP/OC因為H為B0的中點，所以P為BC的中點5分方法一：如圖所示，作NQLAC于Q,連接MQ由（i）知，NP/AC所以NQLNP因為MNLNP所以/MN3二面角A-NP-M的一個平面角.由（i）知，ABDBCD為邊長為2的正三角形，所以AO=OC=3.由俯視圖可知

15、，AOL平面BCD因為OC?平面BCD所以AOLOC因此在等腰直角公AO（中,AC=6.作BFLAC于R因為在ABC中,AB=BC所以R為AC的中點,所以BR=因為在平面ABC內,NQLACBFLAC所以NQ/BR0), NP= 0 ,又因為N為AB的中點，所以Q為AR的中點,所以NQ=霽乎.同理，可得MQ=:二故皿曲等腰三角形,4MNBD24弋斤0所以在等腰4MNQKcos/MN(八-=13分NQNQ5故二面角A-NP-M的余弦值是一磐14分5方法二：由俯視圖及(1)可知，AOL平面BCD因為OCo日平面BCD所以AQLOCAQLOB又OCLOB所以直線OAOBOC兩兩垂直6分如圖所示，以O

16、為坐標原點，以OBOCOA的方向為X軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.則A(0,0,.3),B(1,0,0),C(0,3,0),D：-1,0,0).因為MN分別為線段ADAB的中點，N1又由(1)知，P0，為線段BC的中點,所以M2,0,m?AB=0,m?BC=0,(Xi,乜Zi)即*(X1,+,Zi)(1,(-1,0,.3)=0,.3,0)=0,X1V3zi=0,kX1+羽y1=0.0)= 0 ,X J0 ,冷-從而偵02= J=0 ,取Zi=1,則Xi=3,y1=1,所以m=(.3,1,1).設平面MNP勺一個法向量n2=(X2,y2,Z2),由，(X2y2,Z2)?(

17、1,0,n2?MN=0,n2?NP=0,即j(X2,y2,Z2)?0,2,AB=(1,0,-3),BC=(-1,3,0),MN=(1,0,設平面ABC的一個法向量m=(X1,y1,z,取Z2=1,貝uy2=1,X2=0,所以n2=(0,1,1).11分設二面角A-NP-M的大小為0,則cos故二面角ANRM的余弦值是21014分2. (2014湖南卷)解：(1)如圖，因為四邊形ACCA為矩形，所以CCAC同理DDBDD因為CC/DD，所以CC，BD而A8BD=Q因此CC，底面ABCD由題設知，QQ/CC.故QQ，底面ABCD4分方法一：如圖，過Q作QH，QB于H,連接HC.由(1)知，QC，底

18、面ABCD所以QQ，底面ABCD,于是QQLAQ.又因為四棱柱ABCDABCD的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD是菱形，因此ACBD,從而AC，平面BDDB，所以AQLQB,于是QB，平面QHC.進而QBOH.故/CHQ是二面角C-0金D的平面角.所以四邊形“ ABCD1菱形，因此ACLBD不妨設AB=2.因為/CBA=60,所以QB=.3,?QB13在RtQCBi中,易知0H=QB=27而QC=1,于是CH=寸QC+QH=、A+f12故cos/CHQ=CH=2,72;57而19即二面角C-QBrD的余弦值為織5719方法二：因為四棱柱ABCDABCD的所有棱長都行又QQ，底面ABCD從而QBQCQQ兩兩垂直.如圖，以Q為坐標原點，QBQCQQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Q-xyz,不妨設AB=2.因為/CBA=60,所以QB=,3,QC=1,于是相關各點的坐標為Q0,0,0),0,2),C(0,1,2).易知，m=(0,1,0)是平面BDEB的