1、精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業第第十十 三三章章 拉拉氏氏變變換換在在電電路路分分析析中中的的應應用用重點：重點：1元件的復頻域模型元件的復頻域模型2拉氏變換及其在電路分析中的意義拉氏變換及其在電路分析中的意義3應用拉氏變換分析線性電路應用拉氏變換分析線性電路在第七章與第八章中，我們看到含有線性元件（RLC 等）的電路的時域方程為線性常系數微分方程，而這類電路的分析最終變成了一系列線性常系數微分方程的求解問題。當微分方程的階數大于 2 或者輸入函數比較復雜時，方程的求解就變得比較復雜起來了。拉氏變換正是簡化這類計算得有效方法之一。通過拉氏變換，用電壓、電流對應的復頻域象函數代替相應

2、的時間函數，即可將原線性微分方程變換為相應的線性代數方程，從而大大簡化電路方程的求解。13-1 有有關關知知識識的的復復習習13.1.1 拉氏變換的定義拉氏變換的定義一、拉氏變換定義在區間內的函數，其拉氏變換的定義為)0，)(tf)(sF00)()(dtetfsFst其中為復頻率，為的象函數，為的原函數。sjs)(sF)(tf)(tf)(sF二、拉氏反變換jcstjcdsesFjtf0)(21)(三、表示L ，L )()(sFtf)()(1tfsF注意：我們用大寫的字母表示頻域量，如、等，用小寫字母表示時域量，如、。)(sU)(sI)(tu)(ti13.1.2 拉氏變換的基本性質拉氏變換的基本

3、性質一、唯一性：原函數與象函數一一對應。)(tf)(sF二、線性性：，則：)()(11sFtf)()(22sFtf)()()()(22112211sFAsFAtfAtfA三、時域導數特性：L )0()()( fssFtf四、時域積分特性：L ssFdft/ )()(0五、卷積定理：L )()()()(2121sFsFtftf13.1.3 常用時間函數及其象函數常用時間函數及其象函數見書中 P294。一般在電路中不要求多余的計算技巧，只需要可以將最后結果化成表中所示的形式，然后通過查表得到結果。AtA )(sAtA )(sAAet精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業13.1.4 線性動態電

4、路方程的拉氏變換解法線性動態電路方程的拉氏變換解法以一個典型的二階電路為例： ，800R200L1000C)()(ttusVuC1)0(mAi2)0( R uC(t) C + + - + iL(t) us (t) _ _ L i 該電路的電路方程為：)(55422tudtdudtudCCC其中且：，VuC1)0(ViCuC2)0(1)0( 兩邊同時拉氏變換：ssUussUususUsCCCCCC/5)(5)0()( 4)0( )0()(26/5)()54(2sssUssC)54(56)54(6/5)(222ssssssssssUC13.1.5 拉氏反變換的計算拉氏反變換的計算一般不再使用原始定

5、義式，而采用部分分式展開，然后查表的方法。電路響應往往為兩個實系數的 s 的多項式之比。即，而在電路分析中，該式一般為真分)()()(sDsNsF式。 （如果計算式不為真分式，可以將其化成多項式與一個真分式的和）下面我們來看一看真分式的部分分式展開。一、當有 n 個不同的實根，時0)(sD1p1pnpnnpskpskpsksDsNsF2211)()()(其中：)()()(limsDsNpskipsii例題：已知：6554)(2ssssF求：)(tf32)3)(2(546554)(212sksksssssssF而：3)3(54)3)(2(54)2(221ssssssssk7)2(54)3)(2(

6、54)3(332ssssssssk因此：精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業3723)(sssF所以：tteetf3273)(二、當有 m 個重實根時0)(sDniiimmmpskpskpskpsksDsNsF2111211111)()()()()(其中：1)()()(111psmsDsNpsk1)()()( 112psmsDsNpsdsdk1)()()( 2112213psmsDsNpsdsdk1)()()( )!1(11111psmmmmsDsNpsdsdmk例題：已知：1216754)(23sssssF求：)(tf解：3)2(2)3()2(541216754)(221112223s

7、kskskssssssssF那么：3)3(54)3()2(54)2(222211ssssssssk 7)3(7)3()54(1)3(4)3()2(54)2(222222212sssssssssssdsdk7)2(54)3()2(54)3(3322ssssssssk因此： 37)2(327)(2ssssF所以：ttteteetf322737)(三、當有兩個共軛的復根，時0)(sDjp1jp2)cos(|2)()()( 1121tekjskjsksFt其中：，jsjssDSNsFjsk)( )()()(1jsjssDSNsFjsk)( )()()(2而：，jsjssDSNsFjsk)( )()()

8、(111k精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業例題：P297再以 13.1.4 中的例題為例：，即：，) 12() 12()54(56)(32122jskjskskssssssUC0sjjs12，1| )(01sCssUk*31222122158356)( )(kjsssssDsNkjsjsVtetetuttCsin21)901cos(121)(2213-2 應應用用拉拉氏氏變變換換分分析析線線性性電電路路13.2.1 元件的復頻域模型元件的復頻域模型運算電路運算電路各種基本元件的 VCR，即元件的電壓象函數與電流象函數之間的關系。一、電阻因為：，兩邊同時取拉氏變換：L = L 。這樣)

9、()(tiRtuRR)(tuR)(tiRR)()(sIRsURR即： iR(t) R IR(s) R + uR(t) - + UR(s) -二、電容因為：tCCCdttiCutu0)(1)0()(兩邊同時取拉氏變換：L = L )(tuCtCCdttiCu0)(1)0(這樣：susIsCsUCCC)0()(1)(即：iC(t) C IC(s) 1/sC + uC(t) - + sCsIC)( - + su)0( -根據源變換的原則： + UC(s) - iC(t) C IC(s) 1/sC + - uC(t) CuC(0-)當電容的初始儲能為零時：iC(t) C IC(s) sC1 + uC(

10、t) - + UC(s) -三、電感因為：dttdiLtuLL)()(兩邊同時取拉氏變換：L = L )(tuL)(dttdiLL這樣 )0()()(LLLLisIsLsU即：精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業iL(t) L IL(s) sL + uL(t) - + sLIL(s) - + LiL(0-) -根據源變換的原則： + UL(s) - iL(t) L IL(s) sL + - uL(t) iL(0-)/s當電容的初始儲能為零時：iL(t) L IL(s) sL + uL(t) - + sLIL(s) -四、耦合電感 i1 M i2 + + L1 L2 u1 M u2 _ _

11、 I1(s) I2(s) + + U1(s) U2(s) _ _ L1i1(0-) L2i2(0-) + + _ _ Mi2(0-) Mi1(0-) _ + + _ dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222兩邊同時取拉氏變換有：)0()()0()()(2211111MissMIiLsIsLsU)0()()0()()(1122222MissMIiLsIsLsU這樣其運算等效電路為圖所示。五、獨立電源直接將獨立源的函數進行拉氏變換。 常用穩恒電源（電壓源、電流源）：AsA六、受控源直接加上系數即可。13.2.2 線性電路的分析線性電路的分析一、分析步驟1根據換路前一瞬間的工作狀

12、態，計算及；)0(Cu)0(Li2將各個元件轉換為復頻域模型，繪出電路的運算電路（復頻域模型） ；3根據一般的電路分析方法如節點法、回路法、戴維南-諾頓等效法等等對原電路的運算電路進行分析，計算出響應的象函數精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業4借助拉時變換表及部分分式展開，對響應的象函數進行反變換，得出時域響應。二、例題1已知： 0.1H 1 + i(t) US=0.1e-5t _ 2 0.5F 0.1s 1 + I(s) _ 2 51 . 0ss2 求：電路的零狀態響應 解：繪出電路對應的復頻域模型（運算電路）232122)5()5()6()5)(6(1)6)(5)(5(1)3011

13、)(5(122222221 . 01151 . 0)(sksksksssssssssssssssI其中：1)5(1621ssk1)6(1615252ssssdsdk1)6(153ssk所以：2)5(1)5(1)6(1)(ssssI)( )()()(556Atteeetittt2已知： 0.05 + + iC2(t) 10V 1 _ uR(t) 0.05 - 20/s IC2(s) + + 10/s 1 _ UR(s) 20/s - 求：，)(tuR)(2tiC 解：，0)0(1Cu0)0(2Cu因此可以繪出原電路對應的復頻域模型所以1051201202012012010)(ssssssssUR精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業105 . 225. 040420112012012010)(2sssssssssIC所以：，VtetutR )(5)(10AtettitC )(5 . 2)(25. 0)(1023已知：，VtuC3)(AtiL2)( iL(t) + (t) 0.02 0.5 1/6 uC(t) _ 1/s IL(s) + sL 0.5- 1/6 + UC(s) 0.06 2/s + - _ 求：電路的零狀態響應 解：繪出電路對應的復頻域模型（運算電路） 。根據節點電壓法：sssssssUC02. 006. 0221)5 . 002. 01