1、東北三省三校2019年高三第一次聯(lián)合模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘。考試 結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條 形碼區(qū)域內(nèi)。2 .選擇題必須使用 2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用 0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫， 字體工整、筆跡清楚。3 .請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草 稿紙、試題卷上答題無效。4 .作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺

2、，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。第I卷（選擇題 共60分）1 .選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求.1 .已知集合 A=0,* B =xwZ x23x <6，若 Ap|B#0,則 b 等于（）A 1B. 2C. 3D . 1 或 2A. ib . -ic. 2（>/2 +i）d. 1 + i3 . AABC的內(nèi)角A、R C的對(duì)邊分別為a、b、c,則“ a a b ”是“ cos2A <cos2 B ”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件 C .充要條件 D .既不充分也不必要條件4 .向量a,b滿足a =1,

3、 b = J2,（a + t） 1（2a t）,則向量a與b的夾角為（）A. 45°B. 60° c. 90°D. 120°5 .實(shí)數(shù)m是！0,6】上的隨機(jī)數(shù)，則關(guān)于x的方程x2-mx + 4 = 0有實(shí)根的概率為（）B- 36 .已知三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積是3.62D. -6227 .橢圓七 y24=1兩個(gè)焦點(diǎn)分別是Fi,F2 ,點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則PF1PF2的取值范圍是（）A. 1,4B.1,3 c.12,1 D.-1,18 .半徑為1的球面上有四個(gè)點(diǎn)A, B, C, D,球心為點(diǎn)O , AB過點(diǎn)O ,CA= CB, DA = DB

4、, DC =1,則三棱錐A BCD的體積為(),69 .已知數(shù)列an滿足ln a1 ln a2 ln a3ln an3n 2113n -12a10 =()a 26A. e29b . e32c. e-35d . e10 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，要使輸出的 S的值小于1 , 則輸入的t值不能是下面的（）_ * 一 (nW N ),則A. 8D. 1111.若函數(shù)f（x） =2x33mx2+6x在區(qū)間（2,口）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是A. 一二,2B .-二,21,2一:/,212.A. 9C. 11D. 12函數(shù)f （x） =lg（x力）-sin2 x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）第n卷(非選擇題共

5、90分)本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.2 .填空題(本大題共 4小題，每小題5分.)13-右等差數(shù)列(an 中，滿足 a4 +a6 +22010 +22012 = 8 ,則 S2015 =.3 2x y 914.若變量x,y滿足約束條件xy ，則z = x + 2y的最小值為 .6三x - y三922y x15 .已知雙曲線C： L =1，點(diǎn)P與雙曲線C的焦點(diǎn)不重合.若點(diǎn)P關(guān)于雙曲線C的上、164下焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為 A B,點(diǎn)Q在雙曲線C的上支上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)為則PA - RB =.16 .

6、若函數(shù)f(x)滿足：(i)函數(shù) f(x)的定義域是 R； (ii)對(duì)任意 x1,x2w R有3f (x1 +x2)+ f (x1 x2)=2f (x1)f (x2); (iii) f(1) = .則下列命題中正確的是.2(寫出所有正確命題的序號(hào))函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；函數(shù) f(x)是偶函數(shù)；對(duì)任意 n1,n2w N,若仙< n2,則f (n1)< ”電)； 對(duì)任意 xw R,有 f(x) >-1 .三.解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17 .(本題滿分12分)T TT T已知 MBC的面積為2,且滿足0 < AB AC W 4,設(shè)AB和AC的夾角為9 .

7、(I)求日的取值范圍；(n)求函數(shù) f(H) =2sin2(一十 日) J3cos2日的值域. 418 .(本題滿分12分)空氣污染，又稱為 大氣污染，是指由于人類活動(dòng)或自然過程引起某些物質(zhì)進(jìn)入大氣中， 呈現(xiàn)出足夠的濃度， 達(dá)到足夠的時(shí)間，并因此危害了人體的舒適、健康和福利或環(huán)境的現(xiàn)象.全世界也越來越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問題.當(dāng)空氣污染指數(shù)(單位：%/m3)為050時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為一級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于優(yōu)；當(dāng)空氣污染指數(shù)為50100時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為二級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于良；當(dāng)空氣污染指數(shù)為100150時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為三級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于輕度污染；當(dāng)空氣污染指數(shù)為150 200時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為

8、四級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于中度污染； 當(dāng)空氣污染指數(shù)為 200 300時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為五級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于重度污染；當(dāng)空氣污染指數(shù)為 300以上時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為六級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于嚴(yán)重污染.2019年1月某日某省x個(gè)監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:空氣污染指數(shù)(單位:%/m3)10,50 (50,100(100,150(150,200監(jiān)測點(diǎn)個(gè)數(shù)1540y10(I)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方0.0080.0070.0060.0050.0040.0030.0020.001050100150200空氣污染指數(shù)圖中的信息求出x, y的值，并完成頻 率分布直方圖；(n)若A市共有5個(gè)監(jiān)測點(diǎn)，其中有 3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)

9、為輕度污染，2個(gè)監(jiān)測點(diǎn) 為良.從中任意選取 2個(gè)監(jiān)測點(diǎn)，事 件A “其中至少有一個(gè)為良”發(fā)生的 概率是多少？19 .(本題滿分12分)如圖，多面體 ABCDEF中，底面ABCD是菱形， /BCD =60，,四邊形BDEF是正方形，且DE，平面 ABCD.(I)求證：CF 平面AED;(n)若AE = J2,求多面體 ABCDEF的體積V.20 .(本題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)(2,0),且被y軸所截得的弦長為 4.(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡C1的方程；(n)過點(diǎn)P(1,2)分別作斜率為k1,k2的兩條直線1i2,交Ci于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A,B異于221_ _點(diǎn)P),若k1

10、+k2 =0,且直線 AB與圓C2：(x2) +y =一相切，求 PAB的2面積.21 .(本題滿分12分)已知實(shí)數(shù)a為常數(shù)，函數(shù)f (x) = xln x+ax2.(I)若曲線y = f(x)在x=1處的切線過點(diǎn)A (0,2),求實(shí)數(shù)a值；(n)若函數(shù)y = f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1, x2(x1 (x2).小11求證：一一 <a<0；求證：f (x1) <0 , f (x2) > .22請從下面所給的22,23,24三題中任選一題做答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所 答第一題評(píng)分。請考生

11、在第22,23,24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請寫清題號(hào). A 22.(本題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講l-k.如圖，在AABC中，NABC =90：以AB為直徑的圓O點(diǎn)M .(I)求證:DE是圓O的切線;交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連接OD交圓O于x =t m(n)求證：DE BC =DM AC DM AB.23 .(本題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C的極坐標(biāo)方程是 P =2cos9 ,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是2(t為參數(shù)).I y=2t(I)求曲線 C的直角坐標(biāo)

12、方程和直線l的普通方程；(n)設(shè)點(diǎn)P (m,0),若直線l與曲線C交于A, B兩點(diǎn)，且| PA|，|PB|=1,求實(shí)數(shù)m的值.24 .(本題滿分10分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù) f (x) =|2x -1 | - | x - 2 |.(I)解不等式f(x)A0；(n)若 汰° w R,使得f (Xo) +2m2 < 4m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍東北三省三校2019年三校第一次聯(lián)合模擬考試文科數(shù)學(xué)試題參考答案、選擇題123456789101112DACCBBCACADD.填空題13. 403014. 615. 1616.三.解答題17.（本小題滿分12分）解：（I）設(shè)zABC中角

13、A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,1則由已知：一bcsin8=2, 0 < bccosQ <4,2可得tane至1,所以：0 = -,-).4 2(n) f(u)=2sin2i，【一一 3 cos 23-1 - cos I - 2?3cos2u4_2一2 二2日一一二一，）,36 3=(1 +sin 26) ->/3cos20 = sin 20 V3cos2日 +1 = 2sin '26 - 1+1 . 32< 2sin 1 29 - 1+1 < 3.3 . .5 ir一一 兀一即當(dāng)人萬時(shí)，fmax=3；當(dāng)8、時(shí)，f聞minf12分所以：函數(shù)f（8

14、）的值域是2,318.（本小題滿分12分）.一15解：（I） : 0.003父50 = 一，x = 100 x15 40 y 10 =100. y =3540100 50=0.00835100 50=0.00710100 50=0.002頻率wt0.0080.0070.0060.0050.0040.0030.0020.001050100150200空氣污染指數(shù) z 3(Pg/m )5(n)設(shè)A市空氣質(zhì)量狀況屬于 輕度污染3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)為1,2,3,空氣質(zhì)量狀況屬于良的 2個(gè)監(jiān)測點(diǎn)為4,5,從中任取2個(gè)的基本事件分別為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)

15、,(3,4),(3,5),(4,5)共 10 種， 8其中事件A “其中至少有一個(gè)為良”包含的基本事件為(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 7 種，10分所以事件 A “其中至少有一個(gè)為良”發(fā)生的概率是p(A)=Z.1210分19.(本小題滿分12分)(I)證明：: ABCD是菱形，BCAD. 又BCd平面ADE ,ADu平面EADE, a BC平面 ADE. 2分又BDEF是正方形， *BF叱平面ADE , .BF 平面 ADE .'/ BC仁平面BCF ,A.BF/DE .DE u 平面 ADE ,4分BF 仁平面 BCF , BC

16、pBF = B ,F二平面BCF /平面AED.由于CF仁平面BCF ,知CF/平面AED.6分(n)解：連接 AC ,記 AC pBD =O .丁 ABCD 是菱形，AC _LBD ,且 AO = BO.由 DE _L 平面 ABCD, AC 仁平面 ABCD , DE -L AC .:DE u 平面 BDEF, BDU 平面 BDEF, DeCbD=D, , AC _L平面 BDEF 于 O , 即AO為四棱錐A -BDEF的高.由ABCD是菱形，NBCD =60 ,則 MBD為等邊三角形，由AE = J2 ,則R DE =1 ,AOW2， Sbdef =1 ， Vbdef =】Sbdef

17、 AO =- , V =2Vbdef = 36312分20.(本小題滿分12分)解：(I)設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為(x -2) y =r 2(x, y),半徑為r,由題可知« 222= y = 4x ；2 x = r二動(dòng)圓圓心的軌跡方程為2.y = 4x(n)設(shè)直線 li 斜率為 k,則 11 : y2=k(x1);l2： y 2 = k(x1).2點(diǎn)P (1,2 )在拋物線y =4x上y2 =4x2 一 一:ky -4y 8 - 4k = 0 y -2 = k(x -1)2設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2), A0恒成立，即(k1) >0,有 k=18 -4k -4 -2ky1y

18、p = , yP =2, y1 = ' kk(k 2)2代入直線方程可得x1 = (k 22)k(2 k)24 2k同理可得 x2 =-丁、,y2 =k-k4 2k 4-2kkN2 f -k - kkABx f (k 2)2 -(k-2)2k2不妨設(shè) 1AB ： y = -x b.因?yàn)橹本€AB與圓C相切，所以 也|=，2，解得b=3或1,22當(dāng)b =3時(shí)，直線AB過點(diǎn)P,舍當(dāng) b=1 時(shí)，由y一、+1= x2 6x+1 = 0 ; =32,| AB |= 711 732 = 8 y =4x12P到直線AB的距離為d = J2 , PAB的面積為4 J2 .分21.(本小題滿分12分)(

19、I)解：由已知：f / (x) = ln x +1 +2ax (x >0),切點(diǎn) P(1,a)1 分切線方程：y a = (2a+1)(x1),把(0, 2)代入得：a=13分(n)證明：依題意：f /(x) = 0有兩個(gè)不等實(shí)根x1, x2 (x1 < x2)/1設(shè) g(x) = In x+2ax+1則：g(x)= +2a (x > 0)x( i)當(dāng)a至。時(shí)：g/(x)>0 ,所以g(x)是增函數(shù)，不符合題意；5分( ii )當(dāng) a <0 時(shí)：由 g/(x) = 0 得：x => 02ax(0,4)2a12a1(c *) 2ag/(x)+0g(x)極大值列

20、表如下：列表如下：一 ，1、，11 八g(x)max=g()=ln()>0 ,解得：一一 <a <082a 2a2分(注：以下證明為補(bǔ)充證明此問的充要性，可使其證明更嚴(yán)謹(jǐn)，以此作為參考，學(xué)生證明步驟寫出上述即可)方法一：當(dāng) x >0且乂7 0時(shí) ln xt , 2ax + 1t 1 ,二當(dāng) x a 0且 xt 0時(shí) g(x)T -,1 ，一二g(x)在(0,)上必有一個(gè)零點(diǎn).2a11112 - x當(dāng) x a -時(shí)，設(shè) h(x) = ln x - Jx , h/(x)=產(chǎn)=2ax 2 v x 2xx(0,4)4(4尸)h/(x)十0一h(x)極大值，x >4時(shí)，h(

21、x) <h(4)=m4-2<0即m*<1*，x >4時(shí)，g(x) =ln x +1 +2ax < <x +2ax +12it = Jx, Jx+2ax+1=2at +1+1由2<0,2xt +s 時(shí)，2at +t+1<0，、，、，1,g(x) <0/. g(x)在(一，收)上有一個(gè)零點(diǎn) 2a1_綜上，函數(shù)y = f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)<a<0,得證.2方法2/f(x) = xlnx+ax有兩個(gè)極值點(diǎn)，即f (x) = ln x+1 + 2ax (x a 0)有兩個(gè)零點(diǎn)，ln x 1即-2a=有兩不同實(shí)根.xIn x 1 . /

22、In x設(shè) h(x) =, h (x)= xx當(dāng) h/(x)A。時(shí)，0 <x <1 ;當(dāng) h/(x) <0 時(shí)，x>1x(0,1)1(1,收)h/(x)十0一h(x)極大值,，一 一一，一， 一1當(dāng)x=1時(shí)h(x)有極大值也是最大值為f(1) =1，2a <1 , a>-121,，一:h(-) =0,故h(x)在(0,1后一個(gè)零點(diǎn) eIn x 1當(dāng) x a 1 時(shí)，v In x >0.a0且xln x 11=皿=°, x >1 時(shí)0 <h(x) <h(1) =1-2a 0,. a :二 0綜上函數(shù)y = f (x)有兩個(gè)極值

23、點(diǎn)時(shí)證明： 由知：f (x), f/(x)x(0,x)1(x1，x2 )x2(x2, TB)f/(x)0+1) 一變化如下：f（x）極 小 值極 大 值由表可知：f(x)在Xi,X2上為增函數(shù)又 f/（1）= g（1）= 2a+1 A0 ,故 Xi<1<X210分所以：f(X1)：二 f(1) =a ：二 01f（X2）f （1） = a2一-1即 f（X1） <0 , f （x2） > 一一 . 2分22.選彳4-1:幾何證明選講證明：（I）連結(jié)OE.點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，OD /I AC , NA = /BOD, ZAEO =/EOD .-2. OA=

24、OE, ，/A=/AEO, ，/BOD=NEOD.2分在 AEOD 和 ABOD 中，.OE=OB,ZEOD =/BOD , OD =OD ,AEOD ABOD , ZQED =/OBD =90 1即 OE 1 ED.12E是圓O上一點(diǎn)，DE是圓O的切線.5分（n）延長DO交圓O于點(diǎn)F .AEOD ABOD , DE =DB. .點(diǎn) D是 BC 的中點(diǎn)，. BC = 2DB. DE, DB 是圓 O的切線，DE =DB. . . DE BC =DE 2DB =2DE2.7 分. AC =2OD, AB =2OF , DM AC DM AB =DM （AC AB）=DM （2OD 2OF） =2DM DF . DE是圓O的切線，DF是圓O的割線，DE2=DM DF，.二 DE BC = DM AC + DM AB10 分23.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：（I）由 2 =2cos6 ,得：P2 =2Pcos6 , X2 + y2 =2x ,即（x -1）2 + y2 =1 ,曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x1）2+y2=1.2分21. y = t2,得 x = J3y + m,即 x V3y直線l的普通方程為x J3y m = 0.3 +(n)將+ y2 =1,得:x =t m2 代入(x1)21 + y = t2整理得：t