1、誘導公式1 .理解四組誘導公式及其探究思路2 .學會利用四組誘導公式求解任意角的三角函數值，會進行簡單 的化簡與證明。知識梳灌）（一）誘導公式誘導公式一 ： sin（a +2kn） =sinacos（a +2kn） = cosatan（c（ +2kn） = tana （其中 k 乏 Z）廠一6 3期誘導公式二:sin(a) =-sinacos(-a) = cosatan( -a) = -tana (其中 k Z)誘導公式三：sin(n -a) =sinacos(n -a) =-cosottan(冗-a) = -tana (其中 k 三 Z)誘導公式四:sin(冗 +a) =-sinctcos(

2、n +a)=-coso(tan(n +c() = tana (其中 k 匚 Z )作用：實現正弦（切）函數和余弦（切）函數的互化。(一015口決：奇變偶不變，符號看象限.奇偶指的是 也中k的奇偶性；2符號指的是前面三角函 數的符號(由象限決定)可用十個字概括為',奇變偶不變，符號看象限”口請導公式一：sin(a+2br) = siiiacos(*+2fcT)= gsa,其中kwZ.誘導公式二：sin(l 80; +ff) = sin(z ；cos(l 80' +flf) = cos Ct誘導公式三：sin(-cr) = -sinct j cos(-ct) = cos a誘導公式

3、四：sin(lS0' -4X)= sin£r j cos(180" (Z)= costt.誘導公式五；sin(360= -a) = -sin a 5 005(360' - a) = cos a-a71- a71+aIn -a2Avr+a(kw Z)71-a7一sin smctsincrsin asma式n acos acoscos a cos aCOS QLcos acos asin a類型一：利用誘導公式求值例1 (直接應用)求下列各三角函數值(1) sin(-16冗)；(2) cos(-945o).3解:(1)原式-sin(4 二4 、, 4)-sin

4、二 33-sin(二二、.二 3)二 sin 二.332(2)原式=cos945° =cos(2 父360° + 225°) = cos225o = cos(180o + 45o) = -cos45o,2點評：對于負角的三角函數求值，可先用誘導公式化為正角的三角函數.若轉化得到的正角大于360o,則再利用誘導公式化為 (0o,360o)范圍內的角的三角函數；若這時的角是(90o,360o)范圍內的角，再利用有關的誘導公式化為(0o,90o)范圍內的角的三角函數.口訣：負化正，大化小，化到銳角再求值.oooo .1練習：求 sin10 sin(260 )cos100

5、 cos(170 )的值.(答案： )sin： cos：例 2 (變式應用)求 sin( 1200o )cos1290 o + cos(-1020o )sin( -1050o) + tan 945o 的值思路：負角三角函數 T正角三角函數T 0o360o角三角函數T銳角三角函數T求值.解：原式點評：解決這類問題要注意觀察角的特點，然后把角化為k 360° +a , 180o±a , 360o -a等形式，最后再利用誘導公式求解.35 二46 二37 二55 二八練習： 求tan(-)sin(-)costan. (答案： 0)6366提示：按口訣：“負化正，大化小，化到銳角再

6、求值”進行求值即可°1 0.例3 (綜合應用)已知cosQ 75 )= ，且a為第四象限角，求 sin(105+a )的值.3導思：(1)角口一75°與角105°+口有什么關系？(2) sin(105° 十a)與sin(o( 75°)有什么關系？(3)已知c°s(a 一75°)如何求sin(a -75°) ?應注意什么問題？解：由題意知a -75°為第三象限角，故sin（二 一75°） = -, 1 -c°s2（： -75°）=2 2°°°

7、76;2、.2=-,故 sin(105 +a) =sin180 +(a -75 ) = -sin(« -75 )=.33點評：本題主要考查誘導公式的靈活運用和同角三角函數的基本關系.本題的易錯點是開平方運1算中的符號問題，即 a -75°的范圍的確定，應注意到已知條件c°s(a -75°)= 一一中的隱含信息31練習：右c°s(75 +ot)= ,且ot為第三象限角，求 c°s(15 ot)+sin(15 ot)的值.3(答案:2.2類型二：利用誘導公式化簡三角函數式( n)例3(直接應用)化簡2 sin -a) c°s(2

8、n -.5 二sin(- -)c°s（3 一 二 ） 一 一 sin： .一 一 . 2一解：原式練習：化簡: sin - c°s - = sin -> c°s - =sin -1.sin（- ： ）c°s：2(答案：1)sin（6二- ）c°s（10：< ' -：Qtan（ -二）c°s（r ” ）sin（8 三 > ）tan（5丁 y；）2 二4 二例 4 （變式應用）求值 sin（2 nH + ） c°s（nH + ）（n = Z）.3 32 二 4 二二二 二 二斛：當 n 為前數時，原式

9、=sin（-c°s） = sin（n-一）（c°s（n +） =sinc°s 333333.3 1-3= - =.224當n為偶數時，原式 =sinjiJicos =sin(二一一)cos(二 )=sin (-cos) 333333ji點評：因為誘導公式對于 a加元的奇數倍和偶數倍是不同的，故用誘導公式求值時，若遇到 的整數倍，必須對整數分奇數和偶數進行討論例5（綜合應用）已知0f為第三象限角，且fgxsgecosQn-.tanBf） sin（-二-：） tan（丁 ； ）(1)化簡f(cc);(2)若 cos(二-1, )=,求f(a)的值;5(3)若 a =-

10、1860o,求 f (a)的值.導思：（1）負角的三角函數如何化簡？（2）與兀、2兀有關的三角函數名稱變不變？符號又該如何確定?解：（1）由題意f （a）=sin(-)cos(2 - - - ) tan( - -1 - ' ')sin(-二- )tan(送 一 )sin 二 cos： (- tan 二) 二- cos：.-(-sin .：i)tan ;（2）用誘導公式化簡,331cos(a - -),得 cos(a - -) = -sin a ,故由題思得 sin a = 一一 225.一2 -故 f (一()= 、. 6 .5(3)因-1860° = -21M90o

11、+30o,故 f (-1860°) =cos(1860°) =cos(21 父 90°30o) = -sin 30o、選擇題已知 sin( a 3)=B.C.2、33D.答案Bcos T?+解析,sina一cos!f+=sin” 13.尸3'故選B.2.已知sin110 = a,則cos20的值為()A . aB . aC. yjl - a2D. 一 寸 1 - a2答案A解析sin110 = sin（90 平 20 ） = cos20 =a.3.已知點P（sin（ +t。，sin（今"一階在第三象限，則角 9所在的象限是（B.第二象限D.第四象

12、限A.第一象限C.第三象限答案A解析sin(+ = sin 0, sin(3 9 = sin #，一明.，兀 八、八=sing 0)= cos。，點P在第三象限，一sin «0, cos«0,sin 9>0, cos O0,。是第一象限角.4.已知sin 2 +tan 0= 2,貝Usin 2-0 i cos(sin（兀一一=(e)B. - 2D.C. 0答案B解析原式=cos 9+ cos 9cos 0- sin 021 tan 05.化簡sin( 0 5 兀) tan 3 Tt 0cot & J cos(8 %- 0) :tan (e- 3 兀產i 4 兀

13、)+ sin（ 0的結果為（A. 0B. 1-3C. 2D. 2答案Asin 0 tan 0 cos 0解析原式= sin 0川” e八-tan 0 - cot 0 - sin 0=cos 0 ( tancos5 百一ajsin4+ aj 0)( cot ) sin 0= sin 0 sin 0= 0.6. 計算 sin，cos6-ttan值是(B.D.C.答案A解析sin竽 cos25- tan57364=sin(7t7t7t#3) cos(什 6) . tan(F4)'兀 兀，兀=s% cos6 tan4 _JXX1_ 32K 2Kl 4.二、填空題 7.化簡 tanl tan2

14、tan3 tan89 =.答案1解析tank° tan(90 k)= tank0 cotk = 1,1. tanl ° tan2 tan89 °= (tan1 °tan89 )(tan2 tan88 ) (tan44 tan46 ) tan45 °= 1.8 .設 ©x) = sin2*一x i；+ cos2x-2升 cot(19 亡x),則 黨 '廠.3答案1-3解析-.1(f)(x)= cos2x+ sin2x+ cot( x) = 1 cotx,9 .已知角 “終邊上一點 P(4,3),cos，兀，,(2+ asin (

15、一兀一 a11兀cosf-2- a 9兀的值.sin (了 + a)IdcosG+ ajsin(一 兀一 a解析若匚嬴7)兀l.r /.cos(2+ asin(兀+ a) 兀 I4Icos(2+ a ,in(兀+ a一一兀 “一兀，cos（2 a sin + a sin (X/ sin a=sin “cos a-tan”' 3由題息信匕na= 4.T一 tcos(2+ a sin (一 兀- a) 311 Tt . 9 兀4cosj, a yin("2- + a)基礎鞏固、選擇題1. sin600 =()_ 1B. 2D.C.答案C 解析sin600 = sin(360 平

16、240 ) = sin240 = sin(180 °+ 60 ) = -sin60 =2.已知角。的終邊過點（4, 3）,則cos（付。）=（）B.4A- 5D.答案Bx 4解析由題意，知cos0=" = -, r 5cos(4 0)= _ cos0= 5.3 .設A、B、C是一個三角形的三個內角,則在 sin(A+ B) sinC;cos(A+ B)+cosC;tan(A+ B）+tanC;cot（A+B） cotC（Cw£,這四個式子中值為常數的有（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個答案C解析. A+ B+ C=兀，A+ B=兀- C.1. sin（A

17、+ B）= sin（右 C）=sinC,cos（A+B）= cos（至 C）= cosC,tan（A+B）= tan（戈C）= tanC,cot（A+B）=cot（戈 C）= cotC,故選 C.原題四個式子中式為常數.4 .下列各三角函數值： sinl 125 ;匕門沙而梟兀；普Itan3 sinl cosl.其中為負值的個數是（）A . 1個B. 2個C. 3個D. 4個答案B.一0°入 _ 37 71c, 13解析1 125 = 1 080 :45 ,則1 125是第一象限的角，所以 sin1 125 >0;因成=2葉石兀,37 37373737則12兀是第二象限角，所以

18、tan12兀>0 sin12 <0故tanTt 秒兀<0因3弧度的角在第二象限，則sin3>0.tan3<0 ,故普3<0;因興1</，貝U sin1 cos1>0. .為負數.因此選 B. tan3 425 .化簡 M1 + 2sin" 3 cos（兀+ 3羽結果是（）A . sin3 cos3B. cos3 sin3C. ±（sin3- cos3）D.以上都不對答案A解析 $ + 2sin（兀-3 cos（兀+ 3 ）=5 + 2sin3（ cos3 J=V（cos3 sin3 j = |cos3 sin3|. 衛一 一.

19、一 一 2<3< 兀， sin3>0>cos3. .原式=sin3cos3.6.記 cos(80)=k,那么 tan100 =()B.1-kkC.,1 k1 2 *D.巾一k2答案解析解法一：: cos(80)=k,cos80=k,sin80 =、1 k2,tan80=F' .tan100=Tan80=一嚀解法二:由 cos( 80 )= k,得 cos80°=k>0,0<k<1.又 sin=一 tan(右 a) = tan a= ±J3.8.已知角 a 的終邊上一點 P(3a,4a), a<0,貝U cos(540

20、- «)=80°+cos280°=1, . .tan280°+1= -2rr-.'cos 80211 k71 _ ktan80 =一仁 nr'tan80 = k tan100= -tan80 =- 丫二、填空題一，1 ,7.已知 cos( # o)=2,則 tan(“一9兀4 答案班1解析cos( + a)= - cos a= - 2,解析3a3acosa= 49a2+ 16a2 =洞35'cos(5403o) = cos(180 o)= cos a= 5.三、解答題 9.求下列三角函數式的值: (1)sin( 840 )cos1

21、 470 - cos(420 )sin( 930 );(2)sin( 60 ) + cos225 孑 tan135 .° 解析(1)sin( 840 ) cos1470 -cos(-420 )sin( - 930 ) =sin840 cos1 470 °+ cos420 sin930 °=sin(2 x 360° + 120°)cos(4X 360° + 30°)+ cos(360 °+ 60 )sin(2 x 360° + 210°)=sin120 cos30°+ cos60 sin

22、210 °=-sin(180 -60 )cos30 °+cos60 sin(180。+30°)= sin60 cos30 -cos60 sin30一張當 - 2x21.(2)原式=sin60 * cos(180 4- 45 °) + tan(180 - 45 )=亞一cos45 ° tan45 °2一二二 112 2_ 陋+5+2=2能力提升、選擇題已知 sin(“一360 )-cos(180 - a) = m,則 sin(180 平)cos(180 - “)等于()C.m2- 12r21 m2B.D.m2+ 12m2 + 1一 2答

23、案A解析sin( a- 360 ) cos(180 - a)=m, sin a+ cosa= m,而 sin(180 °+ a) cos(180 -) =(一 sin ) ( cos o) = sin ocos a_ (sin a+ cos af 1 _ m2- 122 .2.若tan（7卡力=a,則sin( a- 3 兀爐- cos 兀一sin ( a'丁 cos(兀+ a),的值為（）C.a1a+1a+ 1B.；a- 1D. 1答案B解析tan(7 卡 a) = tana= a,原式=-sin a- cos a_ sin a+ cos asin a+ cos a sin

24、a cos atan a+ 1 a+ 1tan a 1 a 13.化簡-（n Z）得到的結果是（sin a+(2n + 1 嚴升 sin a(2n + 1) sin(a+ 2n Ttyosj a 2n 兀)A. 0B. 2secaC. 2cscaD. 2seca答案解析sin a sin a原式=-：=12sec asin a cos a4.已知.，、 ，1sin( F o)= log84,且 at2, 0 i則tan（2啟a）的值為（八2_5A- -5B 2.B-55 D.答案B解析log8= log232 2= - I， - sin a= - I， 4335. sin - 3升2sin43

25、5+ 3sin23%于答案0解析原式=sin3+ 2sin 兀+3 ;+ 3sin 兀一3j兀 _ 兀 一 兀 _=sin3 2sin3+ 3sin3= 0.6.求值:tanf 150 ° jposf 570 ° pos( 1 140 ) cot( 240 °in(690 °) 一答案解析原式=tan150 cos570° cos1 140 °cot240 sin690tan(180° 30° )cos(360° + 180°+30° ) cos(3X 360°+60

26、6; )cot(180° + 60°) sin(720°-30°)_ tan30 ( cos30 °)cos60 一 cot60 ( sin30 ),3x3a_ 入12由T) 2. 一2316原式=4cosasina4tan a2+ 3X79.三、解答題17,已知tan（卡a）=2,求下列各式的值.2cos(兀一a 廠 3sin(兀+ a ) 4cos(a 2 7tj+ sin(4 l aj (2)sin( a 7 無)- co>S(5 兀.) 解析tan( 4ta)=2?tan“= - 1, 2cos a+ 3sin a 2 + 3tan a18(2)原式= sin a (cos力=sin a cos a=sin a cos atan asin a+ cos a tan a+ 11-2 212十15.2./ + 2 c