1、 學號：200821哈爾濱師范大學學士學位論文題目 假設檢驗若干問題的研究與應用學 生 指導教師 講師年 級 2008級專 業 數學與應用數學系 別 數學系學 院 數學科學學院哈 爾 濱 師 范 大 學學士學位論文開題報告論文題目 假設檢驗若干問題的研究與應用學生姓名 指導教師 講師年 級 2008級專 業 數學與應用數學2011年 11 月說 明本表需在指導教師和有關領導審查批準的情況下，要求學生認真填寫說明課題的來源（自擬題目或指導教師承擔的科研任務）、課題研究的目的和意義、課題在國內外研究現狀和發展趨勢若課題因故變動時，應向指導教師提出申請，提交題目變動論證報告課題來源：由指導教師提供課

2、題研究的目的和意義：假設檢驗是統計推斷的一個重要內容，也是在實際工作中經常遇到的，假設檢驗提出問題和結局問題的方法有其獨特之處.提出的問題要求定性的回答，回答的方法卻是用定量的數學工具，而其中又有重要的定性的因素：顯著性水平的選擇問題解決的本質是歸納的方法，推理過程中，最主要的依據是基于小概率事件的不可能原理，這是演繹推理過程.假設檢驗不僅提供了一種重要的實用的統計推斷方法，其處理問題的思想在實際的應用中也是很值得深入研究和借鑒的國內外同類課題研究現狀及發展趨勢：假設檢驗推理思想是解決問題一種常用的思維方法，無論是在日常生活還是科學發明中，它都是一種重要的啟發式思維策略統計假設檢驗是統計學中一

3、個重要概念.隨著科學技術的發展，一些新的統計假設檢驗理論與方法被發現，推動了統計假設檢驗理論的發展.假設檢驗包括參數檢驗和非參數檢驗兩大類，從檢驗正態總體參數問題開始，再被應用到方差分析、線性回歸等問題中，再包括基本的擬合優度檢驗.更進一步的從它的應用發展表明，假設檢驗與統計中的其他方法理論的結合，不斷豐富與發展著它的思想與應用.隨著計算機技術的普及與提高，假設檢驗的應用前景將越來越廣課題研究的主要內容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法：研究內容：1.假設檢驗基本問題研究； 2.關于兩類錯誤的研究；3.關于原假設和備擇假設的研究；4.假設檢驗應用研究；主要問題：1.原假設和備擇假設的關系與

4、提出；2.假設檢驗應用研究；解決辦法： 1查閱參考多版數理統計教程，深入分析理解假設檢驗的思想.2舉例闡釋假設檢驗的應用.課題研究起止時間和進度安排：1. 指導教師給學生下達任務(2011.09.012011.10.02);2. 完成開題報告，交給指導教師審閱 (2011.10.022011.11.25);3. 完成畢業論文，交給指導教師審閱 (2012.03.152012.04.15);4. 畢業論文答辯 (2012.04.162012.04.26).課題研究所需主要設備、儀器及藥品：外出調研主要單位，訪問學者姓名：指導教師審查意見：指導教師 （簽字） 年 月 教研室（研究室）評審意見：_教

5、研室（研究室）主任 （簽字） 年 月院（系）審查意見：_院（系）主任 （簽字） 年 月學 士 學 位 論 文題 目 假設檢驗若干問題的研究與應用學 生 指導教師 講師 年 級 2008級專 業 數學與應用數學系 別 數學系學 院 數學科學學院哈爾濱師范大學2012年4月目 錄摘 要1關鍵詞11.假設檢驗基本問題研究11.1 何為假設檢驗問題11.3 假設檢驗的基本概念與推理過程21.4 統計檢驗的基本步驟4關于兩類錯誤的研究5 關于原假設和備擇假設的研究64 假設檢驗的應用8參考文獻：13英文摘要14假設檢驗若干問題的研究摘 要：本文討論了數理統計中的假設檢驗問題的主要思想與應用方法,分析了假

6、設檢驗問題的特點,并把假設檢驗推理思想應用到實際生活中解決問題關鍵詞：假設檢驗；小概率事件；兩類錯誤；應用假設檢驗是統計推斷的一個重要內容，也是在實際工作中經常遇到的，假設檢驗提出問題和結局問題的方法有其獨特之處.提出的問題要求定性的回答，回答的方法卻是用定量的數學工具，而其中又有重要的定性的因素：顯著性水平的選擇.問題解決的本質是歸納的方法，推理過程中，最主要的依據是基于小概率事件的不可能原理，這是演繹推理過程.假設檢驗不僅提供了一種重要的實用的統計推斷方法，其處理問題的思想在實際的應用中也是很值得深入研究和借鑒的.1.假設檢驗基本問題研究 1.1 何為假設檢驗問題假設檢驗是另一大類統計推斷

7、問題它是先假設總體具有某種特征，然后通過利用樣本構造統計量，用以推斷假設是否合理從純粹邏輯上考慮，似乎對參數的估計與對參數的檢驗不應有實質性的差別，猶如說：“求某方程的根”與“驗證某數是否是某方程的根”這兩個問題不會得出矛盾的結論一樣但從統計的角度看估計和檢驗，這兩種統計推斷是不同的，它們不是簡單的“計算”和“驗算”的關系假設檢驗有它獨特的統計思想，是估計方法所不能體現的，因此，假設檢驗問題的引入在數學思想方法上是完全必要的我們來考慮下面的例子，解釋何為假設檢驗問題 舉例1 某廠家向一百貨商店長期供應某種貨物，雙方根據廠家的傳統生產水平，定出質量標準，即若次品率超過3%，則百貨商店拒收該批貨物

8、今有一批貨物，隨機抽43件檢驗，發現有次品2件，問應如何處理這批貨物？如果雙方商定用點估計方法作為驗收方法，顯然2/43 > 3%，這批貨物是要被拒收的但是廠家有理由反對用這種方法驗收他們認為，由于抽樣是隨機的，在這次抽樣中，次品的頻率超過3%，不等于說這批產品的次品率超過了3%就如同說擲一枚錢幣，正反兩面出現的概率各為1/2，但若擲兩次錢幣，不見得正、反面正好各出現一次一樣就是說，即使該批貨的次品率為3%，仍有很大的概率使得在抽檢43件貨物時出現2個以上的次品，因此需要用別的方法如果百貨商店也希望在維護自己利益的前提下，不輕易地失去一個有信譽的貨源，也會同意采用別的更合理的方法事實上，

9、對于這類問題，通常就是采用假設檢驗的方法具體來說就是先假設次品率，然后從抽樣的結果來說明這一假設是否合理粗略地說就是“認為”能否說得過去 還有一類問題實際上很難用參數估計的方法去解決舉例2 某研究所推出一種感冒特效新藥，為證明其療效，選擇200名患者為志愿者將他們均分為兩組，分別不服藥或服藥，觀察三日后痊愈的情況，得出下列數據是否痊愈是否服藥痊愈者未痊愈者合計未服藥者4852100服藥者5644100合計10496200 問新藥是否確有明顯療效？ 此例題不存在估計問題從數據來看，新藥似乎有一定療效，但效果不明顯，服藥者在這次試驗中的情況比未服藥者好，完全可能是隨機因素造成的對于新藥上市這樣關系

10、到千萬人健康的事，一定要采取慎重的態度這就需要用一種統計方法來檢驗藥效，假設檢驗就是在這種場合下的常用手段 具體來說，我們先不輕易地相信新藥的作用，因此可以提出假設“新藥無效”，除非抽樣結果顯著地說明這假設不合理，否則，將不能認為新藥有明顯的療效這種提出假設然后做出否定或不否定的判斷通常稱為顯著性檢驗(Significance test)1.2 假設檢驗的分類假設檢驗問題分為參數假設檢驗與非參數假設檢驗兩類若總體的分布函數或概率函數的表達式中有些參數為未知，是針對未知參數提出并要求檢驗，這樣的問題稱為參數假設檢驗問題；若總體的分布函數或概率函數為未知，是針對總體的分布、分布的特性或總體的數字特

11、征而提出并要求檢驗，這類問題的檢驗不依賴于總體分布，稱為非參數假設檢驗問題如例題1中，總體是兩點分布，只需對參數做出假設檢驗，這是參數檢驗問題，而例題2則是非參數檢驗的問題1.3 假設檢驗的基本概念與推理過程舉例3 據報載，某商店為搞促銷，對購買一定數額商品的顧客給予一次摸球中獎的機會，規定從裝有紅、綠兩色球各10個的暗箱中連續摸10次（摸后放回），若10次都是摸得綠球，則中大獎某人按規則去摸10次，皆為綠球，商店認定此人作弊，拒付大獎，此人不服，最后引出官司 我們在此并不關心此人是否真正作弊，也不關心官司的最后結果，但從統計的觀點看，商店的懷疑是有道理的因為，如果此人摸球完全是隨機的，則要正

12、好在10次摸球中均摸到綠球的概率為，這是一個很小的數，一個統計的基本原理是在一次試驗中所發生的事件不應該是小概率事件現在既然這樣小概率的事件發生了，就應當推測出此人摸球不是隨機的，換句話說有作弊之嫌所謂“小概率事件”，通常是指定一個正數()，認為概率不超過的事件是在一次試驗中不會發生的事件，這個稱為顯著性水平(Level of significance)對于實際問題應根據不同的需要和側重，指定不同的顯著性水平但為了制表方便，通常可選取=0.01，0.05，0.10等 下面我們用假設檢驗的語言來模擬商店的推斷： 1) 提出假設： ：此人未作弊；：此人作弊 這里稱為原假設(Null hypothe

13、sis)，稱為備選假設(Alternative hypothesis)或對立假設(Opposite hypothesis) 2) 構造統計量，并由樣本算出其具體值： 統計量取為10次模球中摸中綠球的個數N由抽樣結果算出N = 10 3) 求出在下，統計量的分布，構造對不利的小概率事件： 在下，即如果此人是完全隨機地摸球的話，統計量服從二項分布其分布列為，那么此人摸到的綠球數應該在平均數5個附近，所以對不利的小概率事件是:“綠球數大于某個較大的數，或小于某個較小的數”在此問題中，若此不成立，即此人作弊的話，不可能故意少摸綠球，因此只需考慮事件“大于某個較大的數”，這個數常稱為臨界值，即某個分位數

14、 4) 給定顯著性水平，確定臨界值： 即取一數使得=如取=0.01，由分布列算出： . 對于這種離散型概率分布，不一定能取到.取最接近的，使當成立時，因此.即該小概率事件是. 5) 得出結論:已算得，即發生了，而被視為對不利的小概率事件，它在一次試驗中是不應該發生的，現在居然發生了，只能認為是不成立的，即：“此人作弊”成立這一推斷過程，也是假設檢驗的一般步驟在這些步驟中，關鍵的技術問題是確定一個適當的用以檢驗假設的統計量，這個統計量至少應該滿足在成立的情況下，其抽樣分布易于計算（查到）在統計量選定以后，便可構造出由該統計量描述某個顯著性水平下的一小概率事件，我們稱使得這一小概率事件發生的樣本空

15、間的點的全體為的否定域(Negation region)或拒絕域(Rejection region)，通常也簡記為=最后的檢驗即是判斷所給的樣本是否落在內，或者是是否成立因此，從這個意義上可以說設計一個檢驗，本質上就是找到一個恰當的否定域，使得在下，它的概率另外，稱的余集為的接受域1.4 統計檢驗的基本步驟所有的統計檢驗都包含某些特定的步驟：(1)建立假設統計檢驗是將抽樣結果和抽樣分布相對照而作出判斷的工作取得抽樣結果，依據描述性統計的方法就足夠了抽樣分布則不然，它無法從資料中得到，非利用概率論不可而不對待概括的總體和使用的抽樣程序做某種必要的假設，這項工作將無法進行(2)求抽樣分布在做了必要

16、的假設之后，我們就能用數學推理過程來求抽樣分布了由于數學上已經取得的成果，實際上統計工作者要做的這項工作往往并不是真的去求抽樣分布的數學形式，而是根據具體需要，確定特定問題的統計檢驗應該采用哪種分布的數學用表 (3)選擇顯著性水平和否定域 有了與問題相關的抽樣分布，我們便可以把所有可能的結果分成兩類：一類是不大可能的結果；另一類人們預料這些結果很可能發生既然如此，如果我們在一次實際抽樣中得到的結果恰好屬于第一類，我們就有理由對概率分布的前提假設產生懷疑在統計檢驗中，這些不大可能的結果即為否定域如果這類結果真的發生了，我們將否定假設；反之就不否定假設概率分布的具體形式是由假設決定的，假設肯定不止

17、一個在統計檢驗中，通常把被檢驗的那個假設稱為零假設(或稱原假設，用符號H0表示)，并用它和其他備擇假設(用符號H1表示)相對比假設只能被檢驗，從來不能加以證明統計檢驗可以幫助我們否定一個假設，卻不能幫助我們肯定一個假設為了使檢驗更嚴格、更科學，還需要更多的東西首先，我們必須確定甘冒犯第一類和第二類錯誤的風險的程度；其次，要確定否定域是否要包含抽樣分布的兩端（4）計算檢驗統計量 完成了上述工作之后，接下來就是做一次與理想試驗盡量相同的實際抽樣，并從獲取的樣本資料算出檢驗統計量檢驗統計量是關于樣本的一個綜合指標，它不用作估測，而只用作檢驗 （5）判定假設檢驗系指拒絕或保留零假設的判斷，又稱顯著性檢

18、定在選擇否定域并計算檢驗統計量之后，我們完成最后一道手續，即根據試驗或樣本結果決定假設的取與舍如果結果落在否定域內，否定零假設反之，如果結果落在否定域外，則不否定零假設關于兩類錯誤的研究以“小概率事件在一次試驗中不會發生”這一原理只是在概率意義下成立，而在實踐研究中，不能說小概率事件在一次試驗中絕對不可能發生仍以舉例3來說，盡管按統計推斷結論，認為摸球人作弊，但事實上也完全可能沒有作弊試想如果在不作弊的情況下，10次全部摸中綠球絕對不可能的話，那么開設摸獎就沒有意義了因此，當摸獎人事實上的確是未作弊的話，商店的統計推斷就犯了錯誤假設檢驗犯錯的原因在于，當為真時，檢驗統計量的觀測值落到了落入否定

19、域，從而作出否定的結論，那就犯了“棄真”錯誤，又稱第一類錯誤當為假時，但統計量的實測值未落入否定域，從而沒有作出否定的結論，即接受了錯誤的，那就犯了“取偽”錯誤，又稱第二類錯誤具體情況見表2-1.表2-1假設檢驗的兩類錯誤真實情況決定為真為假拒絕第一類錯誤正確接受正確第二類錯誤一個檢驗本質上就是要劃定一個否定域，所謂拒絕，就是通過構造的統計量計算，得出樣本點落在內的結論所以，第一類錯誤的概率就是在成立的條件下的概率.從前幾節的具體例子可知，一般地當形如時，.當形如或時，由此可知，顯著性水平也就是檢驗犯第一類錯誤的概率同樣，接受，即是指樣本點落在接受域中，因此犯第二類錯誤的概率是當中包含的參數不

20、止一個時，一般的具體計算是較困難的不管我們如何選擇否定域，都不可能完全避免第一類錯誤和第二類錯誤，也不可能同時把犯兩類錯誤的危險壓縮到最小對任何一個給定的檢驗而言，第一類錯誤的危險越小，第二類錯誤的概率就越大；反之亦然一般來講，不可能具體估計出第二類錯誤的概率值第一類錯誤則不然，犯第一類錯誤的概率是否定域內各種結果的概率之和假設檢驗中，一般是給定，然后將控制到最小原因是：原假設是什么常常是明確的，而備擇假設常常是模糊的所以，人們常把最關心的問題作為原假設提出，將較嚴重的錯誤放到了，這就能夠在假設檢驗中對錯誤實施有效控制由于犯第一類錯誤的危險和犯第二類錯誤的危險呈相背趨向，所以統計檢驗時，必須事

21、先在甘冒多大第一類錯誤的風險和多大第二類錯誤的風險之間作出權衡被我們事先選定的可以犯第一類錯誤的概率，它決定了否定域的大小如果抽樣分布是連續的，否定域可以建立在想要建立的任何水平上，否定域的大小可以和顯著性水平的要求一致起來如果抽樣分布是非連續的，就要用累計概率的方法找出一組構成否定域的結果即在已知概率分布表上，從兩端可能性最小的概率開始向中心累計，直至概率之和略小于選定的顯著性水平為止在許多場合，我們能預測偏差的方向，或只對一個方向的偏差感興趣每當方向能被預測的時候，在同樣顯著性水平的條件下，單側檢驗比雙側檢驗更合適因為否定域被集中到抽樣分布更合適的一側，可以得到一個比較大的尾端這樣做，可以

22、在犯第一類錯誤的危險不變的情況下，減少了犯第二類錯誤的危險 關于原假設和備擇假設的研究在假設檢驗中，一般提出兩種假設: 原假設和備擇假設和是兩種相互對立的假設，拒絕一個就意味著接受另一個那么，如何確定和呢？一般來講，把希望否定的現象作為，把希望肯定的現象作為這樣確定和是基于假設檢驗的依據-小概率事件的實際不可能原理根據這一原理，我們欲判斷備擇假設成立，卻從原假設出發，在一定的顯著水平下，從總體中抽取一個子樣對其進行檢驗，在成立的條件下，若發現這個子樣統計量的值是一個小概率事件(表現為統計量的值落入了拒絕域)，這表示小概率事件在一次試驗中發生了，與小概率事件實際不可能發生原理矛盾，因此，就拒絕這

23、是所希望的，因為檢驗的目的就是要否定原假設，確認備擇假設. 反之，若發現這個子樣的統計量的值不是一個小概率事件( 表現為統計量的值落入了接受域)，則沒有理由拒絕.原假設和備擇假設無論怎么提出都是可以的，它們的檢驗結論都是相容而不會相互矛盾.正是從這個意義上，原假設和備擇假設可以以任意方式提出但是對于給定的樣本數據，統計假設的不同設定方式會得到表述不同的結論，有的表述更明確而有效，而有的則顯得含糊不清因此，在實踐中，為原假設和備擇假設的提出設定某種規則是有幫助的通常把被懷疑的或者希望推翻的命題作為原假設提出來，而把希望得到的命題作為備擇假設提出根據與的思想，在假設檢驗理論中，首先要控制的是第一類

24、錯誤即棄真錯誤的概率不能大于給定的顯著性水平，這表明原假設是被保護的，也就是說要推翻原假設需要很充分的證據正是在這種嚴格的保護下，如果得到拒絕原假設的結論，那么這個結論是很有說服力的；反之，如果得到不拒絕原假設的結論，僅僅表明樣本數據與原假設沒有矛盾，但并不意味著原假設是應該被接受的，不拒絕不等于接受，在這種情形下接受原假設不是很有說服力在假設檢驗中，原假設與備選假設的地位是不對等的一般來說是較小的，因而檢驗推斷是“偏向”原假設，而“歧視”備選假設的因為，通常若要否定原假設，需要有顯著性的事實，即小概率事件發生，否則就認為原假設成立因此在檢驗中接受，并不等于從邏輯上證明了的成立，只是找不到不成

25、立的有力證據在應用中，對同一問題若提出不同的原假設，甚至可以有完全不同的結論，為了理解這一點，舉例如下：設總體，樣本均值，樣本容量=1，取，欲檢驗，還是這里有兩種提出假設的方法，分別如下：（） （）； 如果按一般邏輯論證的想法，當然認為無論怎樣提假設，的最終結果應該是一樣的但事實不然，計算如下：對于（）顯然應取否定域為，其中，當成立時，實際算得接受，即認為對于（）應取否定域為此時接受，即認為.這種矛盾現象可以解釋為，試驗結果既不否定，也不否定，究竟應認為，還是，就要看你要“保護”誰，即怎樣取原假設這一結果的幾何解釋如圖2-1在圖2-1中，既不在密度函數的陰影部分所對應的區間里，也不在密度函數的

26、陰影部分所對應的區間內所以無論怎樣提出都否定不了圖2-1這一事實告訴了我們，在應用中一定要慎重提出原假設，它應該有一定的背景依據它一經提出，通常在檢驗中是受到保護的，受保護的程度取決于顯著性水平的大小，越小，以為概率的小概率事件就越難發生，就越難被否定在實際問題中，這種保護是必要的，如對一個有傳統生產工藝和良好信譽的廠家的商品檢驗，我們就應該取原假設為產品合格來加以保護，并通過檢驗來印證，以免因抽樣的隨機性而輕易否定該廠商品的質量從另一個角度看，既然是受保護的，則對于的肯定相對來說是較缺乏說服力的，充其量不過是原假設與試驗結果沒有明顯矛盾；反之，對于的否定則是有力的，且越小，小概率事件越難于發

27、生，一旦發生了，這種否定就越有力，也就越能說明問題在應用中，如果要用假設檢驗說明某個結論成立，那么最好設為該結論不成立若通過檢驗拒絕了，則說明該結論的成立是很具有說服力的，如那樣而且取得較小，如果仍拒絕的話，結論成立的說服力越強4 假設檢驗的應用假設檢驗方法在生產與實踐中有著廣泛的應用例1 美國公共健康雜志（1994年3月）描述涉及20143個個體的一項大規模研究文章說從脂肪中攝取熱量的平均百分比是38.4%（范圍是6%到71.6%），在某一大學醫院進行一項研究以判定在該醫院中病人的平均攝取量是否不同于38.4%，抽取了15個病人測得平均攝取量為40.5%，樣本標準差為7.5%設樣本來自正態總

28、體，均未知試取顯著性水平檢驗假設：解：這是一個方差未知的正態總體的均值檢驗，屬于雙邊檢驗問題，檢驗統計量為代入本題具體數據，得到檢驗的臨界值為因為，所以樣本值沒有落入拒絕域中，故接受原假設，即認為平均攝取量顯著地為38.4%例2 自某種銅溶液測得9個銅含量的百分比的觀察值為8.3，標準差為0.025設樣本來自正態總體，均未知試依據這一樣本取顯著性水平檢驗假設：解：這是一個方差未知的正態總體的均值檢驗，屬于左邊檢驗問題，檢驗統計量為代入本題具體數據，得到檢驗的臨界值為因為（或者說），所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設，即認為銅含量顯著地小于8.42%例3 一工廠的經理主張一新來的雇員在參加某項

29、工作之前至少需要培訓200小時才能成為獨立工作者，為了檢驗這一主張的合理性，隨機選取10個雇員詢問他們獨立工作之前所經歷的培訓時間（小時）記錄如下208， 180，232，168，212，208，254，229，230，181設樣本來自正態總體，均未知試取檢驗假設：解：這是一個方差未知的正態總體的均值檢驗，屬于右邊檢驗問題，檢驗統計量為代入本題具體數據，得到檢驗的臨界值為因為，所以樣本值沒有落入拒絕域中，故接受原假設，即認為培訓時間不超過200小時例4 一制造商聲稱他的工廠生產的某種牌號的電池的壽命的方差為5000（小時2），為了檢驗這一主張，隨機地取26只電池測得樣本方差為7200小時2，有

30、理由認為樣本來自正態總體現需取檢驗假設解：這是一個正態總體的方差檢驗問題，屬于雙邊檢驗檢驗統計量為代入本題中的具體數據得到檢驗的臨界值為 因為，所以樣本值沒有落入拒絕域，因此接受原假設，即認為電池壽命的方差為5000小時2例5 隨機選擇了10名男生和10名女生讓他們參加一門考試,發現男生成績的平均數的平均數為59.7,標準差為10.7,女生成績的平均數為51.7,標準差為16.9.試確定男女生的考試成績是否存在差異（,考試成績服從正態分布）解:該問題為兩個正態總體的均值差的檢驗,首先要檢驗方差是否相等.(1)建立假設檢驗:.選擇檢驗統計量,確定其在成立條件下概率分布 : 其中,.計算拒絕域得.

31、計算檢驗統計量的觀測值因為,所以接受,即兩總體的方差在統計學意義上沒有差異.(2)檢驗男女成績的平均數是否相同建立假設檢驗:選擇檢驗統計量,確定其在成立條件下概率分布.因為總體服從正態,且兩總體方差相等所以：計算拒絕域即計算檢驗統計量的觀測值因為 所以接受,即兩總體的平均數在統計學意義上沒有差異例6 在自動機床制造零件的過程中,周期地抽取一些樣品進行質量檢查.在檢查的250個零件的過程中發現有12個次品,問是否可以認為加工過程中次品出現的概率不超過？（取顯著性水平）解：設總體 則 服從分布,概率函數為 其中參數為零件加工過程中次品出現的概率.我們有.按題意,要檢驗的假設是 . 由于原假設比較復

32、雜,我們分兩種情形來討論：1）設,當樣本容量充分大時,統計量 近似地服從標準正態分布.對于給定的顯著性水平,有2）設,則因為由列維中心極限定理可知,當充分大時,樣本函數近似地服從標準正態分布.對于給定的顯著性水平,有注意到：當時,；又當時,；從而有設事件表示事件表示 則有.由概率的性質知,即.綜上及的討論可知；在原假設成立的條件下,事件“”是小概率事件.因為抽樣檢查的結果表明,在250個樣本觀測值中有12個為1,其余為0.所以樣本均值 .由此計算統計量的觀測值得.查表得因為,所以在顯著性水平下,拒絕原假設而接受備擇假設,即認為零件加工過程中的次品率顯著地大于.參考文獻：1 魏宗舒：概率論與數理統計教程，高等教育出版社，1998年版2 張凌翔：