1、第十章 函數項級數§ 1 函數項級數的一致收斂性(1)一、本次課主要內容點態收斂，函數項級數收斂的一般問題。二、教學目的與要求使學生理解怎樣用函數列（或函數項級數）來定義一個函數，掌握如何利用函數列（或函數項級數）來研究被它表示的函數的性質。三、教學重點難點函數列一致收斂的概念、性質四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業與習題布置P68 1（5）（7）一       函數列及極限函數：對定義在區間I上的函數列 ，介紹概念：收斂點，收斂域（ 注意定義域與收斂域的區別 ），極限函數等概念. 

2、; 1.逐點收斂 ( 或稱為“點態收斂” )的“ ”定義.   例1 對定義在 內的等比函數列 , 用“ ”定義驗證其收斂域為 , 且 例2 .用“”定義驗證在內.   例3 考查以下函數列的收斂域與極限函數: .  （1） . . （2） . （3）設 為區間 上的全體有理數所成數列. 令   , . （4） . , . （5） 有 , , . （ 注意 .） 二. 函數列的一致收斂性: 問題: 若在數集D上 , . 試問: 通項 的解析性質是否必遺傳給極限函數 ? 答案是否定的. 上述例1、例3說明連續性未能遺傳,而例3說明可積性未能遺傳. 例3說明

3、雖然可積性得到遺傳, 但 . 用函數列的極限表示函數是函數表達的一種重要手段. 特別是表達非初等函數的一種手段. 對這種函數, 就是其表達式.于是,由通項函數的解析性質研究極限函數的解析性質就顯得十分重要. 那末, 在什么條件下通項函數的解析性質能遺傳給極限函數呢? 一個充分條件就是所謂“一致收斂”. 一致收斂是把逐點收斂加強為所謂“整體收斂”的結果.   定義 ( 一致收斂 )   一致收斂的幾何意義. Th1 (一致收斂的Cauchy準則 ) 函數列 在數集D上一致收斂, , . ( 介紹另一種形式 .) 證 ( 利用式 ) 易見逐點收斂. 設 ,有 . 令 , 對 D

4、成立, 即 , ， D. 推論1 在D上 , ， . 推論2 設在數集D上 , . 若存在數列 D , 使 , 則函數列 在數集D上非一致收斂 . 應用系2 判斷函數列 在數集D上非一致收斂時, 常選 為函數 在數集D上的最值點.   驗證函數一致收斂性: 例4 . 證明函數列 在R內一致收斂. 例5 . 證明在R內 , 但不一致收斂. 證 顯然有 , 在點 處取得極大值 , . 由系2 , 不一致收斂. 例6 . 證明在 內 , . 證 易見 而 在 內成立. 由系1 , 例7 對定義在區間 上的函數列 證明: , 但在 上不一致收斂. P3839 例3, 參圖13-4. 證 時,

5、 只要 , 就有 . 因此, 在 上有 . , .于是, 在 上有 . 但由于 , , 因此 , 該函數列在 上不一致收斂. 例8 . 考查函數列 在下列區間上的一致收斂性: ; . 例9 考查級數 從開頭每兩項加括號后所得級數的斂散性 . 該例的結果說明什么問題 ?教學后記：第十章 函數項級數§ 1 函數項級數的一致收斂性（2）一、本次課主要內容函數項級數一致收斂性。二、教學目的與要求使學生理解函數項級數一致收斂性概念。掌握函數項級數一致收斂性的判斷。三、教學重點難點函數序列一致收斂性的判別方法。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業與習題布置P68

6、1（9）（11），P69 5一. 函數項級數及其一致收斂性: 1 函數項級數及其和函數： , 前 項部分和函數列 ，收斂點，收斂域, 和函數, 余項.   例1 定義在 內的函數項級數( 稱為幾何級數 ) 的部分和函數列為 , 收斂域為 .   2.       一致收斂性: 定義一致收斂性.   Th2 ( Cauchy準則 ) 級數 在區間D上一致收斂, , 對 D成立. 推論 級數 在區間D上一致收斂, , . Th3 級數 在區間D上一致收斂, . 例2 證明級數 在R內一致收斂 . 證 令 =

7、, 則 時 對 R成立. 例3 幾何級數 在區間 上一致收斂；但在 內非一致收斂.   證 在區間 上 , 有 , . 一致收斂 ; 而在區間 內 , 取 , 有 , . 非一致收斂. ( 亦可由通項 在區間 內非一致收斂于零, 非一致收斂.) 幾何級數 雖然在區間 內非一致收斂 , 但在包含于 內的任何閉區間上卻一致收斂 . 我們稱這種情況為“閉一致收斂”. 因此 , 我們說幾何級數 在區間 內閉一致收斂 . 二.       函數項級數一致收斂判別法: 1.     &#

8、160;   M - 判別法: Th 4 ( Weierstrass判別法 ) 設級數 定義在區間D上, 是收斂的正項級數.若當 充分大時, 對 D有| , 則 在D上一致收斂 . 證 然后用Cauchy準則. 亦稱此判別法為優級數判別法. 稱滿足該定理條件的正項級數 是級數 的一個優級數. 于是Th 4 可以敘述為: 若級數 在區間D上存在優級數 , 則級數 在區間D上一致收斂 . 應用時, 常可試取 .但應注意, 級數 在區間D上不存在優級數 , 級數 在區間D上非一致收斂.   注意區分用這種控制方法判別函數列和函數項級數一致收斂性的區別所在.  

9、 例 3 判斷函數項級數 和 在R內的一致收斂性 . 例 4 設 是區間 上的單調函數. 試證明 : 若級數與 都絕對收斂, 則級數 在區間 上絕對并一致收斂 . 簡證 , 留為作業. .   2. Abel判別法: Th 5 設 > 級數 在區間 上收斂; > 對每個 , 數列 單調 ; > 函數列 在 上一致有界, 即 , 使對 和 , 有. 則級數 在區間 上一致收斂 . ( 1P43 ) 3.      Dirichlet判別法: Th 6 設> 級數 的部分和函數列 在區間 上一致有界; > 對

10、于每一個 , 數列 單調; > 在區間 上函數列 一致收斂于零. 則級數 在區間 上一致收斂 . 例5 判斷函數項級數 在區間 上的一致收斂性. 解 記 . 則有> 級數 收斂; > 對每個 , ；> 對 和 成立. 由Abel判別法, 在區間 上一致收斂. 例6 設數列 單調收斂于零 . 試證明 : 級數 在區間 上一致收斂. 證 在 上有 . 可見級數 的部分和函數列在區間 上一致有界 . 取 , . 就有級數 的部分和函數列在區間 上一致有界, 而函數列 對每一個 單調且一致收斂于零.由Dirichlet判別法,級數 在區間 上一致收斂. 其實 , 在數列 單調收

11、斂于零的條件下, 級數 在不包含 的任何區間上都一致收斂. 習 題 課 例1 設 , , . 且 , . 若對每個自然數 有| | 對 成立, 則函數列 在 上一致收斂于函數 . 例2 證明函數列 在區間 上非一致收斂. 例3 , . 討論函數列 的一致收斂性. 解 0, . | 0| . 可求得 . 函數列 在區間 上非一致收斂. 例4 設函數 在區間 上連續 . 定義 . 試證明函數列 在區間 上一致收斂于零. 證法一 由 有界 . 設在區間 上| | . | | ; | | ; | | .注意到對 , . 0, , . 證法二 . 有界. 設在區間 上| | . 把函數 在點展開成具La

12、grange型余項的 階Taylor公式 , 注意到  , 就有 , , , . 所以 , 0, , . 例5 設 . 且 , . 令   , ,  . .試證明: 若對 和 , 有 , 則函數列 在區間 上一致收斂 . 證 對 取 , 使 時, 有 . 于是對任何自然數 和, 有 . 由Cauchy收斂準則 , 函數列 在區間 上一致收斂 . 例6 設在數集 上函數列 一致收斂于函數 . 若每個 在數集 上有界 , 則函數列 在數集 上一致有界 . 證 ( 先證函數 在數集 上有界 ) 設在 上有| | . 對 ,由函數列 在數集 上一致收斂, ,當 時 , 對

13、 ,有 | | | , | |< . 即函數 在數集 上有界. ( 次證函數列 在數集 上一致有界 ) 時, 對 ,有 | | | | |< , | | . 取 易見對 和 有| | . 即函數列 在數集 上一致有界 . 教學后記：第十章 函數項級數§ 2 一致收斂級數的判別與性質（1）一、本次課主要內容函數項級數的一致收斂的柯西收斂準則和一致收斂級數的性質。二、教學目的與要求使學生掌握判別函數的一致收斂性。深刻理解函數項級數一致收斂的判別方法。三、教學重點難點函數項級數一致收斂的判別方法的選擇與使用。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業與

14、習題布置P82 1（4）（6）（8）（10）一. 一致收斂函數列極限函數的解析性質: 1.             連續性: Th 1 設在 上 ,且對 ,函數 在 上連續 , 在 上連續. 證 ( 要證 : 對 , 在點 連續 . 即證: 對 , , 當| 時, . ) . 估計上式右端三項. 由一致收斂 , 第一、三兩項可以任意小; 而由函數 在點 連續, 第二項 也可以任意小 . 推論 設在 上 . 若 在 上間斷 ，則函數列 在 上一致收斂和所有 在 上連續不能同時成

15、立. 註 Th1表明: 對于各項都連續且一致收斂的函數列 , 有 . 即極限次序可換 . 2. 可積性: Th 2 若在區間 上函數列 一致收斂 , 且每個 在 上連續. 則有 . 證 設在 上 , 由Th1, 函數 在區間 上連續,因此可積. 我們要證 . 注意到 , 可見只要 在 上成立. Th2的條件可減弱為: 用條件“ 在 上( R )可積”代替條件“ 在 上連續”.  關于函數列逐項積分條件的減弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 設 是定義在區間 上的函數列. 若 在 上收斂且一致可積 , 則其極限函數 在 上( R)可積 , 且有 .  3. 可微性：Th

16、3 設函數列 定義在區間 上, 在某個點 收斂. 對 , 在 上連續可導, 且由導函數構成的函數列 在 上一致收斂, 則函數列 在區間 上收斂, 且有 . 證 設 ， . , . 對 , 注意到函數 連續和 + , 就有 + （ 對第二項交換極限與積分次序） + + . 估計 | + | | + | ,可證得 . . 即 . 亦即求導運算與極限運算次序可換. 教學后記：第十章 函數項級數§ 2 一致收斂級數的判別與性質（2）一、本次課主要內容函數項級數的一致收斂的連續性定理，逐項積分定理和DiNi定理二、教學目的與要求使學生理解函數項級數的性質。三、教學重點難點函數像級數一致收斂的性

17、質的使用。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業與習題布置P83 8二. 一致收斂函數項級數和函數的解析性質: 例1 P40例3 例2 證明函數 在區間 內連續.證 ( 先證 在區間 內閉一致收斂.)對 ，有， ；又 ， 在 一致收斂. ( 次證對 , 在點 連續 ) 對 , 由上段討論 , 在區間 上一致收斂; 又函數 連續, 在區間 上連續, 在點 連續. 由點 的任意性, 在區間 內連續. 例3 , . 計算積分 . 可見 時, 級數 的部分和有界 . 由Dirichlet判別法推得級數收斂 . 同理可得級數數 收斂 . 教學后記：第十章 函數項級數

18、7; 3 冪級數一、本次課主要內容冪級數概念收斂半徑以及性質。二、教學目的與要求使學生理解掌握冪級數的收斂半徑了解冪級數在收斂半徑內的性質與使用。三、教學重點難點冪級數的性質四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業與習題布置P92 1（6）（7）（8）（9），P93 4（1）冪級數的一般概念. 型如 和 的冪級數 . 冪級數由系數數列 唯一確定. 冪級數至少有一個收斂點. 以下只討論型如 的冪級數.冪級數是最簡單的函數項級數之一.  一.          

19、  冪級數的收斂域: 1.             收斂半徑 、收斂區間和收斂域： Th 1 （ Abel ） 若冪級數 在點 收斂 ， 則對滿足不等式的任何 ，冪級數 收斂而且絕對收斂 ；若在點 發散 ，則對滿足不等式 的任何 ，冪級數 發散.證 收斂, 有界. 設| | , 有| , 其中 . .2.收斂半徑 R的求法.   Th 2 對于冪級數 , 若 , 則> 時,;> 時; > 時 .證 , ( 強調開方次數與 的次數是一致的)

20、. 由于 , 因此亦可用比值法求收斂半徑.冪級數 的收斂區間: . 冪級數 的收斂域: 一般來說 , 收斂區間 收斂域. 冪級數 的收斂域是區間 、 、 或 之一.例1 求冪級數 的收斂域 . 例2 求冪級數 的收斂域 . 例3 求下列冪級數的收斂域: ; . 2. 復合冪級數 : 令 , 則化為冪級數 .設該冪級數的收斂區間為 ，則級數 的收斂區間由不等式 確定.可相應考慮收斂域. 特稱冪級數 為正整數)為缺項冪級數 .其中 . 應注意 為第項的系數 . 并應注意缺項冪級數 并不是復合冪級數 , 該級數中,為第 項的系數 . 例4 求冪級數 的收斂域 . 解 是缺項冪級數 . . 收斂區間為

21、 . 時,通項 . 因此 , 該冪級數的收斂域為 .例5 求級數 的收斂域 .解 令 , 所論級數成為冪級數 .由幾何級數的斂散性結果, 當且僅當 時級數 收斂. 因此當且僅當 , 即時級數 收斂. 所以所論級數的收斂域為 .例6 求冪級數 的收斂半徑 .解 .  二 冪級數的一致收斂性： Th 3 若冪級數 的收斂半徑為 ，則該冪級數在區間 內閉一致收斂 .證 , 設 , 則對 , 有, 級數 絕對收斂, 由優級數判別法, 冪級數 在 上一致收斂. 因此 , 冪級數 在區間 內閉一致收斂.Th 4 設冪級數 的收斂半徑為 ,且在點 ( 或 )收斂,則冪級數 在區間 ( 或 )上一致

22、收斂 .證 . 收斂 , 函數列 在區間 上遞減且一致有界,由Abel判別法,冪級數在區間上一致收斂 .易見 , 當冪級數 的收斂域為 ( 時 , 該冪級數即在區間上一致收斂 .三. 冪級數的性質: 1. 逐項求導和積分后的級數: 設 , *) 和 *)仍為冪級數. 我們有 命題1 *) 和 *)與 有相同的收斂半徑 . ( 簡證 )值得注意的是，*) 和 *)與 雖有相同的收斂半徑（ 因而有相同的收斂區間），但未必有相同的收斂域 ， 例如級數 .2. 冪級數的運算性質:定義 兩個冪級數 和 在點 的某鄰域內相等是指：它們在該鄰域內收斂且有相同的和函數. 命題2 ,.(由以下命題4系2) 命題

23、3 設冪級數 和 的收斂半徑分別為 和 , , 則> , Const ， . > + , . > ( )( ) , , . 3. 和函數的性質: 命題4 設在 ( 內 . 則 > 在 內連續; > 若級數 或 收斂, 則 在點 ( 或 )是左( 或右 )連續的; > 對 , 在點 可微且有 ; > 對 , 在區間 上可積, 且 . 當級數 收斂時, 無論級數 在點 收斂與否,均有 . 這是因為: 由級數 收斂, 得函數 在點 左連續, 因此有 . 推論1 和函數 在區間 內任意次可導, 且有 , .由系1可見, 是冪級數的和函數的必要條件是 任意次可導

24、.推論2 若 , 則有 例7 驗證函數 滿足微分方程 .驗證 所給冪級數的收斂域為 . . , 代入, .  教學反思：第十章 函數項級數§ 4 函數的冪級數展開（1）一、本次課主要內容泰勒級數與余項公式。二、教學目的與要求使學生了解函數的泰勒公式。三、教學重點難點函數泰勒公式的記憶與使用。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業與習題布置P 106 1（5）（9）（10），2,3一.            函數的冪級數展開: 1.

25、60;      Taylor級數: 設函數 在點 有任意階導數.Taylor公式和Maclaurin公式 .Taylor公式： . 余項 的形式:Peano型余項: , （ 只要求在點 的某鄰域內有 階導數 ， 存在 ） Lagrange型余項: 在 與 之間. 或 . 積分型余項: 當函數 在點 的某鄰域內有 階連續導數時, 有 . Cauchy余項: 在上述積分型余項的條件下, 有Cauchy余項 . 特別地， 時，Cauchy余項為 在 與 之間.  Taylor級數: Taylor公式僅有有限項, 是用多項式逼近函數. 項數

26、無限增多時, 得 , 稱此級數為函數 在點 的Taylor級數. 只要函數 在點 無限次可導, 就可寫出其Taylor級數. 稱 = 時的Taylor級數為Maclaurin級數, 即級數 .自然會有以下問題: 對于在點 無限次可導的函數 , 在 的定義域內或在點 的某鄰域內, 函數 和其Taylor級數是否相等呢 ?2 函數與其Taylor級數的關系： 例1 函數 在點 無限次可微 . 求得 . 其Taylor級數為 . 該冪級數的收斂域為 . 僅在區間 內有 = . 而在其他點并不相等, 因為級數發散. 那么, 在Taylor級數的收斂點, 是否必有 和其Taylor級數相等呢 ? 回答也

27、是否定的 .例2 函數 在點 無限次可導且有 因此其Taylor級數 ，在 內處處收斂 . 但除了點 外, 函數 和其Taylor級數并不相等.另一方面, 由本章§1命題4推論2（和函數的性質）知：在點 的某鄰域內倘有,則在點無限次可導且級數 必為函數在點 的Taylor級數.綜上 , 我們有如下結論: 對于在點 無限次可導的函數 , 其Taylor級數可能除點 外均發散, 即便在點 的某鄰域內其Taylor級數收斂, 和函數也未必就是 . 由此可見, 不同的函數可能會有完全相同的Taylor 級數. 若冪級數 在點 的某鄰域內收斂于函數 , 則該冪級數就是函數 在點 的T

28、aylor級數.于是 , 為把函數 在點 的某鄰域內表示為關于 的冪級數，我們只能考慮其Taylor級數.  3 函數的Taylor展開式： 若在點 的某鄰域內函數 的Taylor級數收斂且和恰為 ，則稱函數 在點 可展開成Taylor級數(自然要附帶展開區間. 稱此時的Taylor級數為函數 在點 的Taylor展開式或冪級數展開式. 簡稱函數 在點 可展為冪級數. 當= 0 時, 稱Taylor展開式為Maclaurin展開式. 通常多考慮的是Maclaurin展開式.4.         

29、 可展條件: Th 1 ( 必要條件 ) 函數 在點 可展 , 在點 有任意階導數 .Th 2 ( 充要條件 ) 設函數在點 有任意階導數 . 則 在區間內等于其Taylor級數( 即可展 )的充要條件是: 對 ,有 . 其中 是Taylor公式中的余項.證 把函數 展開為 階Taylor公式, 有 .Th 3 ( 充分條件 ) 設函數 在點 有任意階導數 , 且導函數所成函數列一致有界, 則函數 可展.證 利用Lagrange型余項 , 設 , 則有.例3  展開函數 > 按冪; > 按冪. 解 , , . 所以 , > . 可見 , 的多項式 的Maclauri

30、n展開式就是其本身. > . 教學反思：第十章 函數項級數§ 4 函數的冪級數展開（2）一、本次課主要內容任意連續函數的泰勒展開二、教學目的與要求使學生了解初等函數的泰勒展開。三、教學重點難點初等函數泰勒公式的記憶與使用。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論；使用多媒體教學方式。五、作業與習題布置 P106 5一.           初等函數的冪級數展開式（初等函數的冪級數展開式才是其本質上的解析表達式）.   為得到初等函數的冪級數展開式 , 或直接展開, 或間接

31、展開.1. . ( 驗證對 R ， 在 區間 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ). . 2. , . , . 可展是因為 在 內一致有界.3. 二項式 的展開式: 為正整數時, 為多項式, 展開式為其自身;為不是正整數時, 可在區間 內展開為 對余項的討論可利用Cauchy余項. 具體討論參閱1P56.  時, 收斂域為 ; 時, 收斂域為 ; 時, 收斂域為 . 利用二項式 的展開式 , 可得到很多函數的展開式. 例如取 ,得 ， .時, , .  間接展開: 利用已知展開式 , 進行變量代換、四則運算以及微積運算, 可得到一些函數的展開式. 利用微積運算時, 要求一致收斂. 冪級數在其收斂區間內閉一致收斂 ,總可保證這些運算暢通無阻.4. . .事實上 , 利用上述 的展開式, 兩端積分 , 就有 , .驗證知展開式在點 收斂, 因此 , 在區間 上該展開式成立. 5. .由 . 兩端積分,有 驗證知上述展開式在點 收斂, 因此該展開式在區間 上成立.(這里應用了習題中第2題的結果,) 例4 展開函數 . 解 . 例5 展開函數 . 解 . 教學反思：第十章 函數項級數§ 5 多項式逼近連續函數一、本次課主要內容任意連續函數的多項式逼近二、教學目的與要求使學生任意函數的多項式逼近。三