1、第一章 度量空間若在實數集中點列的極限是時，我們使用來表示和的接近程度，事實上，可表示為數軸上和這兩點間的距離，那么實數集中點列收斂于也就是指和之間的距離隨著而趨于0，即 于是人們就想，在一般的點集中如果也有“距離”，那么在點集中也可借這一“距離”來定義極限，而究竟什么是“距離”呢？或者說“距離”的本質是什么？詩人顧城的一首詩遠和近對距離的感受又如何呢？遠和近你一會看我一會看云我覺得你看我時很遠你看云時很近這首詩詩似乎是純理性的，十分冷靜，但細細品味，其中暗暗催動著一股熱流：呼喚一種相互理解、相互信任、和諧融洽的人際關系現實距離和心理距離并不總是一致的現實距離很遠，但心理距離卻可能很近，“海內

2、存知己，天涯若比鄰”，即是此意也可能現實距離很近，而心理距離卻很遠，所謂“咫尺天涯”大概就是指此而言了那么如何給出距離這一概念？1.1 度量空間的定義與極限1.1.1 度量空間的定義與舉例定義 設為一非空集合若存在二元映射，使得，均滿足以下三個條件：（1）且當且僅當 (非負性 Positivity)；（2） (對稱性 Symmetry)；（3） (三角不等式 Triangle inequality)，則稱為上的一個距離函數，稱為距離空間或度量空間(Metric Spaces)，稱為和兩點間的距離注1：在不產生誤解時，可簡記為下面我們來看一些具體的例子例 歐氏空間 設，定義 其中 ，可以驗證是一

3、個度量空間 在證明之前，引入兩個重要的不等式引理 (許瓦茲(Schwarz)不等式) 任給個實數，有 (1.1)證明 任取實數，則由知右端二次三項式的判別式不大于零，即于是可得(1.1)式成立進一步有Hölder不等式其中且，稱這樣的兩個實數為一對共軛數引理 閔可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任給個實數及，有 (1.2)證明 由(1.1)式得這就證明了(1.2)式進一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中例 歐氏空間 設，定義 (1.3)其中 ，可以驗證是一個距離函數證明 非負性(1)和對稱性(2)顯然成立，下面僅驗證(3)也成立對于任意的，由閔可夫斯基不等式(

4、1.2)有，即從而得證是一個距離函數注2：稱為維歐氏空間，稱為歐氏距離或標準歐氏距離今后若不作特殊申明，凡提到度量空間，均指由(1.3)式的歐氏距離所定義的注3：在中我們還可以定義其他的距離：；可以驗證距離、均滿足條件(1)、(2)和(3) 注4：在中比較上述三種距離、和，可看看他們各表示什么？由此知道，在一個集合上，定義距離的方法可以不止一種但務必注意的是，由于定義的距離不同，所以即使基本集相同，也應視他們為不同的度量空間下面的例子說明任何一個集合上均可定義距離，使其成為度量(距離)空間例1.1.2 離散度量空間設為非空集合，定義距離 (1.4)容易驗證滿足距離的三個條件，并稱之為離散距離，

5、為離散度量空間例 連續函數空間，定義， 證明 顯然滿足非負性(1)和對稱性(2)，下面驗證(3)也成立及均有 ，故稱為連續函數空間，簡記為注5：在中我們還可以定義如下的距離：可以驗證均滿足條件(1)、(2)和(3)，所以也為一度量空間例 有界數列空間，對于，定義，可以驗證是一個距離函數，并稱為有界數列空間，簡記為例 次冪可和的數列空間，定義 (1.5)(1.5)式是有意義的，因為由閔可夫斯基不等式及的定義知其右端有界可以證明是一個距離函數稱為次冪可和的數列空間，簡記為例 次冪可積函數空間即： 在中，我們把幾乎處處相等的函數視為同一函數 對于，定義距離 那么為度量空間 并稱為次冪可積函數空間，簡

6、記為分析 集合具有下列重要性質： (1)對線性運算是封閉的即若，是一常數，則(2)設，令，則 故引理 閔可夫斯基(Minkowski)不等式(積分形式): 設、是可測集上的可測函數且 (1.6)證明 因為 ，所以(1.6)式有意義 顯然非負性(1)和對稱性(2)成立，下面驗證三角不等式(3)也成立 對于任意的有 上述例子涉及到常用的六個度量空間： 維歐氏空間；離散度量空間；連續函數空間；有界數列空間；次冪可和的數列空間；次冪可積函數空間1.1.2 度量空間中的極限極限理論是數學分析的基礎, 數學分析主要研究微分和積分, 而極限又是微積分學大廈的基石，在數學分析中, 利用極限的思想方法給出連續函

7、數、導數、定積分、級數的斂散性、多元函數的偏導數, 廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分等概念，可見極限思想貫穿于整個數學分析課程，它也是高等數學必不可少的一種重要思想同樣地，在度量空間中也可定義極限，而且分析中的數列極限可看成下列度量空間中點列極限的特例定義1.1.2 設是度量空間，是中點列，若， 則稱點列收斂于，稱為點列的極限 記作，或或收斂于用“”語言描述是: ，當時，恒有成立 若點列不收斂，則稱其發散例 設是實數集，數列若在上定義歐氏距離顯然，數列在度量空間中收斂于0若在上定義離散距離則數列在度量空間中是發散的因為對任意給定的， 只要，就有，所以無論多么大，有可見數列不收斂于雖

8、然與有共同的基本集，但由于定義的距離的不同，它們是兩個不同的度量空間，可見同一點列在一個度量空間中收斂，在另一度量空間中卻發散定義1.1.3 設為度量空間，若將距離限制在上，顯然也是一個度量空間，稱作的子空間若，則點到的距離定義為： (1.7)集合的直徑定義為： (1.8)若有限，則稱為有界集；若，則稱為無界集在離散度量空間中點，那么和分別是多少？顯然(1)當是單點集時，有及；(2)當不是單點集時，有及定理1.1.1 極限的性質 設是度量空間， 是中的一個點列（1）若點列收斂，則其極限唯一；（2）若點列，則的任何子列；（3）若收斂點列看作是的子集，則它是有界的證明 （1）設且，由定義知：，當時，有，故當時，我們有由的任意性知，從而（2）設，是的子列 ： ：， ， ， 由定義，當時，有，由于時，故，即（3）設，由定義知：對，當時，取，則，于是，即作為點集有界例 1.1.8 設是連續函數空間()中的點列，那么(函數列一致收斂)當且僅當(度量空