1、習題九1. 求函數u=xy2+z3-xyz在點（1，1,2）處沿方向角為的方向導數。解：2. 求函數u=xyz在點（5,1,2）處沿從點A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向導數。解：的方向余弦為故3. 求函數在點處沿曲線在這點的內法線方向的方向導數。解：設x軸正向到橢圓內法線方向l的轉角為，它是第三象限的角，因為所以在點處切線斜率為法線斜率為.于是4.研究下列函數的極值：(1)z=x3+y33(x2+y2);(2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6xx2)(4yy2);(4)z=(x2+y2);(5)z=xy(axy),a0.解：（1）解方程組得駐點為（0,0）,(0,2),(

2、2,0),(2,2).zxx=6x6, zxy=0, zyy=6y6在點（0，0）處，A=6，B=0，C=-6，B2AC=36<0，且A<0,所以函數有極大值z(0,0)=0.在點（0，2）處，A=6，B=0，C=6，B2AC=36>0，所以(0,2)點不是極值點.在點（2，0）處，A=6，B=0，C=6，B2AC=36>0，所以(2,0)點不是極值點.在點（2，2）處，A=6，B=0，C=6，B2AC=36<0，且A>0,所以函數有極小值z(2,2)=-8.(2)解方程組得駐點為.在點處,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A&g

3、t;0,所以函數有極小值.(3) 解方程組得駐點為（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=2(4y-y2),Zxy=4(3x)(2y)Zyy=2(6xx2)在點（3，2）處，A=8，B=0，C=18，B2AC=8×18<0,且A<0，所以函數有極大值z(3,2)=36.在點（0，0）處，A=0，B=24，C=0，B2AC>0，所以(0,0)點不是極值點.在點（0，4）處，A=0，B=-24，C=0，B2AC>0，所以(0,4)不是極值點.在點（6，0）處，A=0，B=-24，C=0，B2AC>0，所以(6,0)不是極值點.在點

4、（6，4）處，A=0，B=24，C=0，B2AC>0，所以(6,4)不是極值點.(4)解方程組得駐點P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在點P0處有z=0，而當（x,y）(0,0)時，恒有z>0，故函數z在點P0處取得極小值z=0.再討論函數z=ue-u由，令得u=1,當u>1時，；當u<1時，,由此可知，在滿足x02+y02=1的點（x0,y0）的鄰域內，不論是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函數z在點（x0,y0）取得極大值z=e-1(5)解方程組得駐點為 zxx=-2y, zxy=a-2x-2y, zyy=-2x.故z的

5、黑塞矩陣為 于是 易知H（P1）不定，故P1不是z的極值點，H（P2）當a<0時正定，故此時P2是z的極小值點，且,H（P2）當a>0時負定，故此時P2是z的極大值點，且.5. 設2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，確定函數z=z(x,y)，研究其極值。解：由已知方程分別對x,y求導，解得令解得,將它們代入原方程，解得.從而得駐點.在點（-2，0）處，B2-AC<0，因此函數有極小值z=1.在點處，B2-AC<0，函數有極大值.6. 在平面xOy上求一點，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線距離的平方之和為最小。解：設所求點為P(x,y)，P點到x=0的

6、距離為|x|,到y=0的距離為|y|，到直線x+2y-16=0的距離為距離的平方和為由得唯一駐點,因實際問題存在最小值，故點即為所求。7. 求旋轉拋物面z=x2+y2與平面x+y-z=1之間的最短距離。解：設P（x,y,z）為拋物面上任一點.則點P到平面的距離的平方為,即求其在條件z= x2+y2下的最值。設F（x,y,z）=解方程組得故所求最短距離為8. 拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最短距離。解：設橢圓上的點為P（x,y,z），則|OP|2=x2+y2+z2.因P點在拋物面及平面上，所以約束條件為z=x2+y2， x+y+z=1設F（x,y,z）

7、= x2+y2+z2+1(z-x2-y2)+2(x+y+z-1)解方程組得 由題意知，距離|OP|有最大值和最小值，且.所以原點到橢圓的最長距離是，最短距離是.9. 在第I卦限內作橢球面的切平面,使切平面與三坐標面所圍成的四面體體積最小，求切點坐標。解：令橢球面上任一點的切平面方程為即 切平面在三個坐標軸上的截距分別為，因此切平面與三個坐標面所圍的四面體的體積為即求在約束條件下的最小值，也即求xyz的最大值問題。設 ,解方程組得.故切點為，此時最小體積為*10. 設空間有n個點，坐標為,試在xOy面上找一點，使此點與這n個點的距離的平方和最小。解：設所求點為P（x,y,0），則此點與n個點的距

8、離的平方和為解方程組得駐點又在點處Sxx=2n=A, Sxy=0=B, Syy=2n=CB2-AC=-4n2<0, 且A>0取得最小值.故在點處，S取得最小值.即所求點為.11. 已知平面上分別帶有質量m1,m2,m3的三個質點，問點的位置如何才能使該質點系對于p點的轉動慣量為最小。解：該質點系對于p點的轉動慣量為解上式得駐點因駐點唯一，故轉動慣量在點處取得最小值.*12. 已知過去幾年產量和利潤的數據如下：產量x(千件)4047557090100利潤y(千元)323443547285試求產量和利潤的函數關系，并預測當產量達到120千件時工廠的利潤。解：在直角坐標系下描點，從圖可以

9、看出，這些點大致接近一條直線，因此可設f(x)=ax+b，求的最小值，即求解方程組把(xi,yi)代入方程組，得解得 a=0.884, b=-5.894即 y=0.884x-5.894,當x=120時，y=100.186(千元).13. 求下曲線在給定點的切線和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,點;(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,點M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,點M0(x0,y0,z0).解：曲線在點的切向量為當時， 切線方程為.法平面方程為即 .（2）聯立方程組它確定了函數y=y(x),z=z(x)，方程組兩邊

10、對x求導，得解得 在點M0（1，-2，1）處，所以切向量為1，0，-1.故切線方程為法平面方程為1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)將方程y2=2mx,z2=m-x兩邊分別對x求導，得于是 曲線在點（x0,y0,z0）處的切向量為,故切線方程為法平面方程為.14. t(0<t<2)為何值時，曲線L：x=t-sint, y=1-cost,z=4sin在相應點的切線垂直于平面，并求相應的切線和法平面方程。解：,在t處切向量為,已知平面的法向量為.且,故解得，相應點的坐標為.且故切線方程為法平面方程為即 .15. 求下列曲面在給定點的切平面和法線方程：(1)z

11、=x2+y2,點M0(1,2,5);(2)z=arctan,點M0(1,1,);解：（1）故曲面在點M0(1,2,5)的切平面方程為z-5=2(x-1)+4(y-2).即 2x+4y-z=5.法線方程為（2）故曲面在點M0(1,1,)的切平面方程為z-=-(x-1)+(y-1).法線方程為.16.指出曲面z=xy上何處的法線垂直于平面x-2y+z=6,并求出該點的法線方程與切平面方程。解：zx=y,zy=x.曲面法向量為.已知平面法向量為.且，故有解得x=2,y=-1,此時，z=-2.即（2,-1,-2）處曲面的法線垂直于平面，且在該點處的法線方程為.切平面方程為-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即 x-2y+z-2=0.17. 證明：螺旋線x=acost,y=asint,z=bt的切線與z軸形成定角。證明：螺旋線的切向量為.與z軸同向的單位向量為兩向量的夾角余弦為為一定值。故螺旋線的切線與z軸形成定角。18. 證明：曲面xyz=a3上任一點的切平面與坐標面圍