1、7-5-3.組合之排除法7- 5-3.組合之排除法.題庫教師版page 7 0f 7國M歸 教學目標1 .使學生正確理解組合的意義；正確區分排列、組合問題；2 .了解組合數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的組合；3 .掌握組合的計算公式以及組合數與排列數之間的關系；4 .會分析與數字有關的計數問題，以及與其他專題的綜合運用，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對組合的一些計數問題進行歸納總結，重點掌握組合的聯系和區別， 并掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等.目刪后知識要點一、組合問題日常生活中有很多“分組”問題.如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學 中選出幾人參

2、加某項活動等等.這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里， 我們將著重研究有多少種分組方法的問題.一般地，從n個不同元素中取出 m個（mEn）元素組成一組不計較組內各元素的次序， 叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個組合.從排列和組合的定義可以知道， 排列與元素的順序有關， 而組合與順序無關.如果兩個 組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的 元素不完全相同時，才是不同的組合.從n個不同元素中取出 m個元素（m W n）的所有組合的個數，叫做從 n個不同元素中取 出m個不同元素的組合數.記作 Cm .一般地，求從n個不同元素中取出的 m個元

3、素的排列數 Pmn可分成以下兩步: 第一步：從n個不同元素中取出 m個元素組成一組，共有 Cm種方法； 第二步：將每一個組合中的m個元素進行全排列，共有 P二種排法.根據乘法原理，得到 pm=Cm Pmm.因此，組合數 Cm =Pm = n'（nT）:，-2）川n-m，1 .Pmm （m -1 （ m -2）1 | 3 2 1這個公式就是組合數公式.、組合數的重要性質般地，組合數有下面的重要性質：Cm =CnnJm（ m<n）這個公式的直觀意義是：Cm表示從n個元素中取出m個元素組成一組的所有分組方法.Cn"m表示從n個元素中取出（n_m）個元素組成一組的所有分組方法.

4、顯然，從 n個元 素中選出m個元素的分組方法恰是從 n個元素中選m個元素剩下的（n_m）個元素的分組 方法.例如，從5人中選3人開會的方法和從 5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即32C5 -C5 規定 C； =1 , C0 =1 .且訓隹例題精講對于某些有特殊要求的計數，當限制條件較多時，可以先計算所有可能的情況，再從 中排除掉那些不符合要求的情況.【例1】 在1001995的所有自然數中，百位數與個位數不相同的自然數有多少個？【考點】組合之排除法【難度】2星【題型】解答【解析】 先考慮1001995這1896個數中，百位與個位相同的數有多少個，在三位數中， 百位與個位可以是 19,十

5、位可以是 09,由乘法原理，有 9父10=90個，四位 數中，千位是 1,百位和個位可以是09,十位可以是 09,由乘法原理，10x10=100個，但是要從中去掉 1999,在1001995中，百位與個位相同的數共 有90 +99 =189個，所以，百位數與個位數不相同的自然數有：1896-189=1707個.【答案】1707【例2】1到1999的自然數中，有多少個與 5678相加時，至少發生一次進位？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】 從問題的反面考慮：1到1999的自然數中，有多少個與5678相加時，不發生進位？ 這樣的數，個位數字有 2種可能（即0, 1）,十位數字有3

6、種可能（即0, 1, 2）,百 位數字有4種可能（即0, 1, 2, 3）,千位數字有2種可能（即0, 1）.根據乘法原 理，共有2父3父4父2=48個.注意上面的計算中包括了0（ =0000）這個數，因此，1到1999的自然數中與5678相加時，不發生進位的數有 48-1=47個 所以，1至IJ 1999的自然數中與5678相加時， 至少發生一次進位的有 1999-47 =1952個.【答案】1952【鞏固】所有三位數中，與 456相加產生進位的數有多少個？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】與456相加產生進位在個位、十位、百位都有可能，所以采用從所有三位數中減去與456相

7、加不產生進位的數的方法更來得方便，所有的三位數一共有 999 -99 = 900個，其中與456相加不產生進位的數， 它的百位可能取1、2、3、4、5共5種可能， 十位數可以取0、1、2、3、4共5種可能，個位數可以取0、1、2、3共4種可能，根據乘法原理，一共有 5M5M4 =100個數，所以與 456相加產生進位的數一共有 900 -100 =800 個數.【答案】800【鞏固】從1到2004這2004個正整數中，共有幾個數與四位數8866相加時，至少發生一次進位？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】千位數小于等于1,百位數小于等于1,十位數小于等于3,個位數小于等于3,應

8、 該有2 M2 乂4父41=63種可以不進位，那么其他 2004 63 = 1941個數者B至少產生 一次進位.【答案】1941【例3】 在三位數中，至少出現一個6的偶數有多少個？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】 至少出現一個“6”，意思就是這個三位偶數中， 可以有一個6,兩個6或三個6.我 們可以把這三種情況下滿足條件的三位數的個數分別求出來，再加起來；也可以從所有的三位偶數中減去不滿足條件的，即減去不含6的三位偶數.三位偶數共有450個，我們先來計算不含 6的偶數的個數，不含 6的偶數，個位可以是 0, 2, 4, 8,十位上可以是除 6以外的其余9個數字，百位可以是除

9、 6, 0以外的8個數字， 因此不含 6的三位偶數共有 4父9黑8 =288個，則至少出現一個 6的三位偶數有 450 4 9 8 =16限【答案】162【例4能被3整除且至少有一個數字是 6的四位數有 個?！究键c】組合之排除法【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，6年級，第14題【解析】 用排除法，四位數總共有9X 10X 10X 10=9000個，其中能被 3整除的四位數有 3000個，排除掉能被3整除且不含有數字 6的四位數之后剩下的所有的四位數都滿足條件！ 設能被3整除且不含有數字 6的四位數為abcd ,最高位千位 a有8選法（不能選0或 6）,百位有9種選法（不能選 6）,十

10、位也有9種選法（也不能選 6）,若前三位的數字 和（a+b+c）若除以3余0則個位d有3種選法（可選0,3,9）；若前三位的數字和（a+b+c） 除以3余1,則個位d有3種選法（可選2, 5, 8）;若前三位的數字和（a+b+c）除以 3余2,則個位d還是有3種選法（可選1, 4, 7）;故能被3整除且不含有數字 6的四 位數有8X 9 X 9X 3=1944個。從而得到能被 3整除且至少有一個數字是6的四位數有3000-1944=1056 個。【答案】1056【例5】 由0, 1, 2, 3, 4, 5組成的沒有重復數字的六位數中，百位不是 2的奇數有 個.【考點】組合之排除法【難度】3星【

11、題型】解答【解析】由0, 1, 2, 3, 4, 5組成的沒有重復數字的奇六位數，個位可以為1, 3, 5,有3種選法；個位選定后，十萬位不能與個位相同，且不能為0,有4種；十萬位選定后萬位有4種；故由0, 1, 2, 3, 4, 5組成的沒有重復數字的奇六位數的 個數為：3 M4 M4 M3 M2 M1 =288 個；由0, 1, 2, 3, 4, 5組成的沒有重復數字且百位為 2的奇六位數，個位可以為 1, 3, 5, 有3種選法；十萬位不能與個位相同，且不能為0、2,有3種；十萬位選定后萬位有 3種； 故由0,1,2,3,4, 5組成的沒有重復數字且百位為 2的奇六位數的個數為：3M3M

12、3M2M1 = 54所以，滿足條件的數有：288-54 =234個.【答案】234【例6】從三個0、四個1,五個2中挑選出五個數字，能組成多少個不同的五位數？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】由3個0, 4個1, 5個2組成五位數，首位上不能是 0,只能是1或2,有2種選 擇；后面 4位上都可以是 0、1或2,各有3種選擇，根據乘法原理，共有 2M3M3M3M3=162 種選擇； 但是注意，這樣算是在0和1的個數足夠多的情況下才能算，本題中可能會出現 0和1的個數不夠的情況（2的個數肯定夠）.比如說，0只有3個，但是上面的算 法 卻包括了后四位都是 0的情況，這樣的數有兩個：

13、10000和20000,得減掉；另外， 1只有4個，卻包含了五位都是 1的情況：11111,也得減去.所以實際上共有162 -3 =159個.【答案】159【例7】 由數字1, 2, 3組成五位數，要求這五位數中1, 2, 3至少各出現一次，那么這樣的五位數共有 個.【考點】組合之排除法【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，初試， 6題【解析】這是一道組合計數問題. 由于題目中僅要求 1, 2, 3至少各出現一次，沒有確定1, 2, 3出現的具體次數，所以可以采取分類枚舉的方法進行統計，也可以從反面想， 從由1, 2, 3組成的五位數中，去掉僅有 1個或2個數字組成的五位數即可.方

14、法一：分兩類（1）1, 2, 3中恰有一個數字出現 3次，這樣的數有C；m5m4=60個；（2）1 , 2, 3中有兩個數字各出現 2次，這樣的數有c2x5mc4=90個；綜上所述符合題意的五位數共有 60 + 90 = 150個.方法二：從反面想：由 1, 2, 3組成的五位數共有35個，由1, 2, 3中的某2個數字組成 的五位數共有3M（25-1）個，由1, 2, 3中的某1個數字組成的五位數共有 3個， 所以符合題意的五位數共有 35 -3 425 -1 ）-3 =150個.【答案】150個【例8】10個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？【考點】組合之排除法【難度

15、】3星【題型】解答【解析】（法1）乘法原理.按題意，分別站在每個人的立場上，當自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有7種選擇,總共就有7M10 =70種選擇，但是需要注意的是， 選擇的過程中，會出現“選了甲、 乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結 果應該是（10111）父102=35（種）.（法2）排除法.可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數為Ci,而被選的兩個人相鄰的情況有10種，所以共有C120 10 =45 10=35（種）.【答案】35【例9】一棟12層樓房備有電梯，第二層至第六層電梯不停.

16、在一樓有3人進了電梯，其中至少有一個要上 12樓，則他們到各層的可能情況共有多少種？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】每個人都可以在第7層至第12層中任何一層下，有 6種情況，那么三個人一共有 6M66=216種情況，其中，都不到 12樓的情況有5M5M5 =125種.因此，至少 有一人要上12樓的情況有216-125=91種.【答案】91【例10】8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選

17、定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇.小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數為：C3Mp2 MC4Mp2Mp3 =3360 （種）同時滿足第一、三個條件，并且滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數為：C3vp2 黑戌黑p2 MP； =960 （種）因此同時滿足三個條件的站法總數為：3360960=2400 （種） 【答案】2400【例11若一個自然數中至少有兩個數字，且每個數字小于其右邊的所有數字，則稱這個 數是“上升的”.問一共有多少“上升的”自然數？【考點】組合之排除法【難

18、度】3星【題型】解答【解析】由于每個數字都小于其右邊所有數字，而首位上的數不能為0,所以滿足條件的數各數位上都沒有0,而且各數位上的數都互不相同.那么最大的“上升的”自然數 是123456789.而且可以發現，所有的“上升的”自然數都可以由123456789這個數劃掉若干個數碼得到.反過來，由從123456789這個數中劃掉若干個數碼得到的至少兩位的數都是“上升的”自然數.所以只要算出從123456789中劃掉若干個數 碼所能得到的至少兩位的數有多少個就可以了.因為其中每個數碼都有劃掉和保留這2種可能，所以9位數共有29種可能，但是需要排除得到的一位數及零，這樣 的數共有10個，所以所能得到的

19、至少兩位的數有29 -10 = 502 （個）.所以一共有502個“上升的”自然數.【答案】502【例1216人同時被邀請參加一項活動.必須有人去，去幾個人自行決定，共有多少種不同的去法？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】 方法一：可以分為一人去、兩人去、三人去、四人去、五人去、六人去六種情況，每一種情況都是組合問題.第一種情況有6種去法；第二種情況有C62 =69=15 （種）去法；2 1第三種情況有C；：6*4 =20（種）去法;3 2 1第四種情況有C64 =6父5*4父3 =15 （種）去法；4 3 2 1第五種情況有C； = 6父5父4父3父2 = 6 （種）去法；

20、5 4 3 2 1第六種情況有1種去法.根據力口法原理，共有 6+15+20+15+6+1 =63（種）不同的去法.方法二：每一個人都有去或者不去兩種可能，但要減掉所有人都不去這種情況，于是總共有26 -1 =63（種）不同的去法.【答案】63【例13】由數字1, 2, 3組成五位數，要求這五位數中1, 2, 3至少各出現一次，那么這樣的五位數共有 個.【考點】組合之排除法【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】迎春杯，高年級，決賽【解析】 這是一道組合計數問題.由于題目中僅要求1, 2, 3至少各出現一次，沒有確定1 , 2, 3出現的具體次數，所以可以采取分類枚舉的方法進行統計，也可以從反面想，

21、從由1,2,3組成的五位數中，去掉僅有 1個或2個數字組成的五位數即可.（法1）分兩類：1, 2, 3中恰有一個數字出現 3次，這樣的數有C3M5M4=60（個）；1,222, 3中有兩個數字各出現 2次，這樣的數有 C3黑5MC4 =90（個）.符合題意的五位數共有60 +90 =150（個）.（法2）從反面想，由1, 2, 3組成的五位數共有35個，由1, 2, 3中的某2個數字組成的五位數共有3x（252）個，由1, 2, 3中的某1個數字組成的五位數共有 3個，所以符合題 意的五位數共有 35 -3x（25 - 2） 3 =150（個）.【答案】150【例14】5條直線兩兩相交，沒有兩

22、條直線平行，沒有任何三條直線通過同一個點，以這5條直線的交點為頂點能構成幾個三角形？（構成的三角形的邊不一定在這5條直線上） 【考點】組合之排除法【難度】4星【題型】解答【解析】（法1）5條直線一共形成5父4得2 =10個點，對于任何一個點，經過它有兩條直線， 每條直線上另外有 3個點，此外還有3個點與它不共線，所以以這個點為頂點的三 角形就有3父3+3父3+3父3+3乂2+ 2=30個三角形，則以10個點分別為頂點的三角 形一共有300個三角形，但每個三角形都被重復計算了3次，所以一共有100個三角形.（法2）只要三點不共線就能構成三角形，所以可以先求出10個點中取出3個點的種數，再減去3點

23、共線的情況.這10個點是由5條直線相互相交得到的，在每條直線上都有4個點存在共線的情況，這 4個點中任意三個都共線，所以一共有5黑C3 =20個三點共線的情況，除此以外再也沒有 3點共線的情況，所以一共可以構成C；0_20=100種情況.【答案】100【例15】正方體的頂點（8個），各邊的中點（12個），各面的中心（6個）,正方體的中心（1 個），共27個點，以這27個點中的其中3點一共能構成多少個三角形？【考點】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】27個點中取三個點，不是這 3點共線，就是這3點能構成三角形.27個點中取三 個點一共有 27x26x25-（3x2x1） =2925#.過三點的直線可以分為 3類.有兩個頂點連線構成的有8x7 + 2 = 28條；由兩個面的中心連線的有3條，由兩條棱的中點連線的有12M3-2 = 18條，所以能構成的三角形有 2925 -28 -3 -18 =2897種.【答案】2897【例16】用A、B、C H E、F六種染料去染圖中的兩個調色盤，