1、圓章節(jié)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓;（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平彳-5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是:二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)= d <r 二 點(diǎn)C在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上 =

2、 d =r 二 點(diǎn)B在圓上；3、點(diǎn)在圓外 = d >r = 點(diǎn)A在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系亍于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線； 平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。AdrOBCd2、直線與圓相切二3、直線與圓相交二:二 r二 有兩個交點(diǎn);四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）二無交點(diǎn) d R r ；d=Rr；R - r ： d:：R r ；d=R-r;d:：R-r;外切（圖2）=相交（圖3）二內(nèi)切（圖4）二內(nèi)含（圖5）二有一個交點(diǎn)一有兩個交點(diǎn)一有一個交點(diǎn)一無交點(diǎn) 一dddrRrRRr圖21dr圖5垂徑定理弧ACBCBDAADOCDCBAB垂徑定理：垂直于弦的直

3、徑平分弦且平分弦所對的弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。推論1: （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共 5個結(jié)論中，只要知道其中 2個即可推出其它3個結(jié)E DOA- B.MAC =弧 BD例題1、基本概念1.下面四個命題中正確的一個是()A.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑 C.弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心 2.下列命題中，正確的是().A.過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對的弧B .

4、平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦D.在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心B.過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心C.弦所對的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦，且過圓心D.弦的垂線平分弦所對的弧例題2、垂徑定理1、在直彳空為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm,那么油面寬度 AB是 cm.2、在直彳仝為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，如果油面寬度是 48cm,那么油的最大深度為 cm.3、如圖，已知在。O中，弦AB =CD ,且AB _LCD ,垂足為H , OE _L AB于E , OF _L CD于F .(1)求證：四邊形OEHF是正方形.(2)

5、若CH =3 , DH =9 ,求圓心O到弦AB和CD的距離.4、已知： ABC內(nèi)接于。O, AB=AC ,半徑OB=5cm ,圓心。到BC的距離為3cm,求AB的長.5、如圖，F(xiàn)是以。為圓心，BC為直徑的半圓上任意一點(diǎn)，A是你的中點(diǎn)，ADLBC于D,求證：AD=BF.例題3、度數(shù)問題1、已知：在。O中，弦AB=12cm , O點(diǎn)到AB的距離等于 AB的一半，求：NAOB的度數(shù)和圓的半徑.2、已知：O O的半徑OA =1 ,弦AB、AC的長分別是*2、J3 .求/BAC的度數(shù)。例題4、相交問題如圖，已知。O的直徑 AB和弦CD相交于點(diǎn) E, AE=6cm , EB=2cm , / BED=30

6、 °例題5、平行問題在直彳至為50cm的。中，弦 AB=40cm ,弦CD=48cm ,且AB / CD,求：AB與CD之間的距離.例題6、同心圓問題如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦AB,交小圓于C、D兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為 a,b.求證：AD BD=a2b2.AL_例題7、平行與相似、-一 "/'證： EC =FD .六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的 3個結(jié)論，即： /AOB =/DOE ； AB = DE ；OC =OF ； 弧BA =弧BD七、圓周角定理

7、1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一即：/AOB和/ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角. NAOB =2/ACB2、圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等白所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱16D _ C勺圓周角所對的弧是已知：如圖，AB是。的直徑，CD是弦，AE_LCD于E , BF _L CD于F .求等弧;BAO3-3-19所表示的情形，四個工件哪一個肯定即：在。O中，/C、/D都是所對的圓周角推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在。O中，.AB是直徑或.NC=90°. Z

8、C =90°.-.AB 是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OC =OA =OB. ZABC是直角三角形或 /C =90*注：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理?！纠?】用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖形 是半圓環(huán)形？【例2】如圖，已知。中，AB為直徑，AB=10cm弦AC=6cm / ACB的平分線交。于D,求BG AD和BD的 長.【例3】如圖所示，已知 AB為。的直徑，AC為弦，OD/ BC,交AC于D, BC=4cm(1)求證：ACLOD(2)求

9、OD的長；(3)若 2sinA 1=0,求O。的直徑.【例4】四邊形 ABC邛,AB/ DC BC=b AB=AC=AD=a如圖，求BD的長.【例5】如圖1, AB是半。的直徑，過 A B兩點(diǎn)作半。O的弦，當(dāng)兩弦交點(diǎn)恰好落在半。 。上C點(diǎn)時，則有 AC AC+ BC BC=AB.(1)如圖2,若兩弦交于點(diǎn) P在半O。內(nèi)，則AP- AC BP- BD=aB是否成立？請說明理由.(2)如圖3,若兩弦AC BD的延長線交于P點(diǎn)，則AB=.參照(1)填寫相應(yīng)結(jié)論，并證明你填 寫結(jié)論的正確性.M點(diǎn)作弦DE求證：E, M, Q C四點(diǎn)共圓.圖1圖2圖3八、圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的

10、對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在。O中，四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形. C . BAD =180 B . D =180DAE = C例1、如圖7-107,。0中，兩弦 AB/ CD M是AB的中點(diǎn)，過九、切線的性質(zhì)與判定定理(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：MN -LOA且MN過半徑OA外端.MN是。O的切線(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1 :過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2 :過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個條件中知道其中兩

11、個條件就能推出最后一個。十、切線長定理 切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：:PA、PB是的兩條切線. PA =PBPO平分NBPA利用切線性質(zhì)計(jì)算線段的長度。的例1:如圖，已知：AB是。的直徑，P為延長線上的一點(diǎn)， PC切。于C, CD)± AB于D,又PC=4 半徑為3.求：OD的長.利用切線性質(zhì)計(jì)算角的度數(shù)F,且例2:如圖，已知：AB是。的直徑，CD切。于C, AEL CD于E, BC的延長線與 AE的延長線交于 AF=BF.求：/ A的度數(shù).利用切線性質(zhì)證明角相等例3:如圖，已知：AB為。的直徑，過 A作弦AG AD

12、,并延長與過 B的切線交于 M N.求證：/ MCN=/ MDN利用切線性質(zhì)證線段相等例4:如圖，已知：AB是。直徑，COL AB, CD切。于D, AD交CO于E.求證：CD=CE利用切線性質(zhì)證兩直線垂直例5:如圖，已知： ABC中，AB=AC以AB為直徑作。DEI AC.O,交BC于D, DE切。于D,交AC于E.求證:BDCP(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在。O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P, .PA PB = PC PD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成比例中項(xiàng)。即：在。O中，直徑AB _LCD ,2CE =AE BE的兩條線段

13、的(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。即：在。O中，.PA是切線，PB是割線線長是這點(diǎn)到割_ 2PA = PC PB(4)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等(如上圖)即：在。O中，.PB、PE是割線. PC PB =PD PE例1.如圖1,正方形ABCD勺邊長為1,以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓 O,過A作半圓切線，切點(diǎn)為 F,交CD 于E,求DE AE的值。例2.00中的兩條弦AB與CD相交于E,若AE= 6cm,BE= 2cm,CD= 7cm,那么CE=cm=圖2例3.如圖3,P是。0外一點(diǎn)，PC

14、切。0于點(diǎn)C,PAB是。0的割線，交。0于A B兩點(diǎn)，如果PAPB= 1: 4,PC= 12cm, 00的半徑為10cm,則圓心。到AB的距離是 cm。例4.如圖4, AB為。0的直徑，過AE的延長線交 BC于點(diǎn)D, (1)求證:ce2 = cdcb;(2)若AB= BC= 2厘米，求 CE CD的長。例5.如圖5,PA、PC切。0 于 A C,例6.如圖6,交AC于E。圖5在直角三角形 ABC中，/A= 90° ,以 AB邊為直彳5作。0,交余邊 BC于點(diǎn)D,過D點(diǎn)作。0的切線圖6求證：BC= 2OE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。即：;。、。2相交于A、B兩點(diǎn)C01020102垂直平分AB十三、圓的公切線 兩圓公切線長的計(jì)算公式:(2)公切線長： Rt &OQ2C 中，AB2 = CO12 = JOQ22 CO22 ;外公切線長：CO2是半徑之差； 內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和正三角形1OABDCB正四邊形2同理AE正六邊形O同理2BAOlS扇形面積公式B2DA底面圓周長BCB1ORARtABOD中進(jìn)行AB:OB:OA =1OE:AE:OA =1OD: BD: O