1、數列專題復習(二第二課時求數列通項公式的常用方法一、公式法例1 已知數列n a 滿足1232nn n a a +=+,12a =,求數列n a 的通項公式。溫馨提示:本題解題的關鍵是把遞推關系式1232nn n a a +=+轉化為113222n n n n a a +-=,說明數列2n na 是等差數列,再直接利用等差數列的通項公式求出31(122n n a n =+-,進而求出數列n a 的通項公式。 類型1 (1n f a a n n +=+解法:把原遞推公式轉化為(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法求解。 二、累加法例2 已知數列n a 滿足11211n n a

2、a n a +=+=,求數列n a 的通項公式。溫馨提示:本題解題的關鍵是把遞推關系式121n n a a n +=+轉化為121n n a a n +-=+,進而求出11232211(n n n n a a a a a a a a a -+-+-+-+ ,即得數列n a 的通項公式。例3 已知數列n a 滿足112313nn n a a a +=+=,求數列n a 的通項公式。溫馨提示:本題解題的關鍵是把遞推關系式1231nn n a a +=+轉化1231nn n a a +-=+進而求出11232211(n n n n n a a a a a a a a a a -=-+-+-+-+ ,

3、即得數列n a 的通項公式。三、累乘法類型2 n n a n f a (1=+ 解法:把原遞推公式轉化為(1n f a a nn =+,利用累乘法(逐商相乘法求解。 例1 已知數列n a 滿足112(153nn n a n a a +=+=,求數列n a 的通項公式。例2 已知數列n a 滿足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。四、數學歸納法例1 已知數列n a 滿足11228(18(21(239n n n a a a n n +=+=+,求數列n a 的通項公式。1、已知數列n a 的前n 項和為n S ,數列1+n S 是公比為2的等比數列,2a 是1a 和3a

4、的等比中項.(1求數列n a 的通項公式;2、數列n a 的前n 項和為22n n S a =-,數列n b 是首項為1a ,公差不為零的等差數列,且1311,b b b 成等比數列.(1求123,a a a 的值;(2求數列n a 與n b 的通項公式;3、設各項均為正數的數列n a 的前n 項和為n S ,滿足21441,n n S a n n N *+=-且2514,a a a 構成等比數列.(1 證明:2a =(2 求數列n a 的通項公式; 4、設等差數列n a 的前n 項和為n S ,且12a =,36a =.(1求數列n a 的通項公式;(2若110k S =,求k 的值; (3

5、設數列1n S 的前n 項和為n T ,求2013T 的值.5、設n a 是各項都為正數的等比數列, n b 是等差數列,且111a b =,3513a b +=,5321a b +=.(1求數列n a ,n b 的通項公式;6、已知數列a n 的前n 項和2*2(n S n kn k =-+N ,且n S 的最大值為4.(1確定常數k 的值,并求數列a n 的通項公式a n ;7、已知數列n a 滿足對任意的*n N,都有0n a >,且(23331212n n a a a a a a +=+ .(1求1a ,2a 的值;(2求數列n a 的通項公式n a ;8.已知等差數列n a 中

6、,11a =,33a =-.(1求數列n a 的通項公式; (2若數列n a 的前k 項和35k S =-,求k 的值.9、已知數列n a 的首項11=a(1若12n n a a +=+,則n a =_; (2若12n n a a +=,則n a =_(3若11n n a a n +=+,則n a =_; (4若12nn n a a +=,則n a =_10、已知數列n a 的前n 項和n S 滿足nn n a S 1(2-+=(+N n ,(1寫出數列n a 的前三項1a ,2a ,3a ;(2求通項n a11.已知數列n a 滿足*12211,4,43(.n n n a a a a a n

7、 N +=-(1求34,a a 的值;(2證明:數列1n n a a +-是等比數列;(3求數列n a 的通項公式;12.已知數列a n 的前n 項和為n S ,且12-=n n a S ,數列n b 滿足21=b ,n n n b a b +=+1求n a ,n b答案:1、(1解:1+n S 是公比為2的等比數列,111121(21(1-+=+=+n n n a S S . 1分 121(11-+=-n n a S .從而11122+=-=a S S a ,221233+=-=a S S a . 3分 2a 是1a 和3a 的等比中項22(1(1121+=+a a a ,解得=1a 1或1

8、1-=a . 4分 當11-=a 時,11+S 0=,1+n S 不是等比數列, 5分 =1a 1.12-=n n S . 6分 當2n 時,112-=-=n n n n S S a . 7分 11=a 符合12-=n n a ,12-=n n a . 8分 2、解析:(122n n S a =-,當1n =時,1122a a =-,解得12a =;當2n =時,212222S a a a =+=-,解得24a =;當3n =時,3123322S a a a a =+=-,解得38a =. -3分 (2當2n 時,111(22(2222n n n n n n n a S S a a a a -

9、=-=-=-, -5分得12n n a a -=又11122a S a =-,12a =,數列n a 是以2為首項,公比為2的等比數列,所以數列n a 的通項公式為2nn a =. -7分112b a =,設公差為d ,則由1311,b b b 成等比數列,得2(222(210d d +=+, -8分 解得0d =(舍去或3d =, -9分 所以數列n b 的通項公式為31n b n =-.-10分3、 解:(1當1n =時,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >= (2當2n 時,(214411n n S a n -=-,22114444n n n n n

10、a S S a a -+=-=- (2221442n n n n a a a a +=+=+,102n n n a a a +>=+當2n 時,n a 是公差2d =的等差數列.2514,a a a 構成等比數列,25214a a a =,(2222824a a a +=+,解得23a =, 由(1可知,212145=4,1a a a =-=21312a a -=-= n a 是首項11a =,公差2d =的等差數列.數列n a 的通項公式為21n a n =-. 4.解:(1設等差數列n a 的公差為d ,131226a a a d =+=, 2d =2分數列n a 的通項公式(212

11、2n a n n =+-=4分(2方法一:21(1(12211022k k k k k S ka d k k k -=+=+=+=6分解得10k =或11k =-(舍去8分方法二:(221102k k k S +=, (6分解得10k =或11k =-(舍去8分(3(22(12n n n S n n +=+,1111(11n S n n n n =-+ 9分 20131232013T T T T T =+111111=-=12分5.(本小題滿分14分解:(1設數列n a 的公比為(0,q q >數列n b 的公差為d ,依題意得:4212211413d q d q +=+=, 2分 消去

12、d 得422280q q -=22(4(270q q -+=, (3分0q > 2q =,由2q =可解得2d =4分 12,2 1.n n n a b n -=-5分6、(1因為22*(n S n k k k =-+N ,所以當n k =時,n S 取得最大值2k .依題意得24k =,又*k N ,所以2k =.從而24n S n n =-+.當2n 時,221(4(14(152n n n a S S n n n n n -=-=-+-+-=-. 又113a S =也適合上式,所以*52(n a n n =-N . 7、(1解:當1n =時,有3211a a =,由于0n a >

13、;,所以11a =.當2n =時,有(2331212a a a a +=+,將11a =代入上式,由于0n a >,所以22a =.（2）解：由于 a1 + a2 + L + an = ( a1 + a2 + L + an ) ， 3 3 3 2 2 則有 a1 + a2 + L + an + an +1 = ( a1 + a2 + L + an + an +1 ) 3 3 3 3 2 ，得 an +1 = ( a1 + a2 + L + an + an +1 ) - ( a1 + a2 + L + an ) ， 3 2 由于 an > 0 ，所以 an +1 = 2 ( a1 +

14、 a2 + L + an ) + an +1 2 同樣有 an = 2 ( a1 + a2 + L + an -1 ) + an ( n2 ) ， 2 ，得 an +1 - an = an +1 + an 2 2 所以 an +1 - an = 1 由于 a2 - a1 = 1 ，即當 n1 時都有 an +1 - an = 1 ，所以數列 an 是首項為 1，公差為 1 的等差數列 故 an = n 8、解：（1）設等差數列 an 的公差 d ，則 an = a1 + ( n - 1) d ， 由題設， a3 = -3 = a1 + 2d = 1 + 2d ，所以 d = -2 an = 1

15、 + ( n - 1)( -2 ) = 3 - 2n （2）因為 Sk = 2 6 分 k ( a1 + ak ) 2 = k (1 + 3 - 2k ) 2 = k ( 2 - k ) = -35 ， 所以 k - 2k - 35 = 0 ，解得 k = 7 或 k = -5 因為 k Î N + ，所以 k = 7 9、例 1已知數列 a n 的首項 a1 = 1 n-1 （1）若 an +1 = an + 2 ，則 an = _ 2n - 1_；（2）若 an +1 = 2an ，則 an = _ 2 _ 12 分 （ 3 ） 若 an +1 = an + n + 1 ， 則

16、an = n( n + 1 n _ ； （ 4 ） 若 an +1 = 2 × an ， 則 2 an = 2 n( n- 1 2 _ 10、解：（1）由 a1 = S1 = 2a1 - 1 ，得 a1 = 1 ；由 a1 + a2 = S 2 = 2a2 + 1，得 a2 = 0 ； 由 a1 + a2 + a3 = S3 = 2a3 - 1 ，得 1 + a3 = 2a3 - 1 ，即 a3 = 2 11 （2）當 n ³ 2 時， an = S n - S n -1 = 2an + (-1 - 2an -1 - (-1 n n -1 an an-1 1 = n-1 +

17、 (- n-1 n 2 2 2 a 1 令 bn = n （ n ³ 2 ），則 bn - bn -1 = (- n -1 n 2 2 則 an = 2an -1 + 2(-1 n -1 ，故有： bn = (bn - bn-1 + (bn-1 - bn-2 + L + (b2 - b1 + b1 1 1 1 1 1 = (- n-1 + (- n-2 + (- n-3 + L + (- + 2 2 2 2 2 1 1 - (- n 2 - 1 = 2 × 1 - (- 1 n - 1 = 1 2 2 1 - (- 2 3 2 2 1 1 1 2 × 1 - (-

18、 n × 2n - × 2n ，即 an = × 2n - (-1 n ，其中 n ³ 2 3 2 2 6 3 1 n 2 + n 因為 a1 = 1 適合上式，故 an = × 2 - (-1 ， n Î N 6 3 則 an = 11（1）解： a3 = 4a2 - 3a1 = 13, a4 = 4a3 - 3a2 = 46 （2）證明：Q an + 2 = 4an +1 - 3an , an+ 2 - an+1 = 3(an+1 - an 又 a1 = 1, a2 = 4 ， an + 2 - an +1 =3， an +1 - an 則 an +1 - an 是以 a2 - a1 = 3 為首項，3 為公比的等比數列 12解：由 a1 = S1 = 2a1 - 1 ，得 a1 = 1 ； 當 n ³ 2 時， an = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -