1、第十三章實(shí)數(shù) - 知識點(diǎn)總結(jié)一、算術(shù)平方根1.算術(shù)平方根的定義：一般地，如果的等于 a，即，那么這個(gè)正數(shù)x 叫做 a 的算術(shù)平方根 a 的算術(shù)平方根記為，讀作“根號 a”，a 叫做規(guī)定： 0 的算術(shù)平方根是0.也就是，在等式x2a (x 0) 中，規(guī)定 xa 。理解：x2a (x 0)xaa 是 x 的平方x的平方是ax是 a 的算術(shù)平方根a的算術(shù)平方根是x2.a 的結(jié)果有兩種情況：當(dāng)a 是完全平方數(shù)時(shí)，a 是一個(gè)有限數(shù)；當(dāng) a 不是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，a 是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。3. 當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大 ( 或縮小 ) 時(shí)，它的算術(shù)平方根也擴(kuò)大 ( 或縮小 ) ；4.夾值法及估計(jì)一個(gè)（無理）數(shù)的大小

2、（方法：）二、平方根1.平方根的定義： 如果的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)x 就叫做 a 的即：如果，那么 x 叫做 a 的理解：x2a< >xaa 是 x 的平方x的平方是ax是 a 的平方根a的平方根是x2. 開平方的定義： 求一個(gè)數(shù)的的運(yùn)算，叫做開平方運(yùn)算的被開方數(shù)必須是才有意義。3.平方與開平方：3 的平方等于9，9 的平方根是34.一個(gè)正數(shù)有平方根，即正數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算有兩個(gè)結(jié)果；一個(gè)負(fù)數(shù)平方根，即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運(yùn)算5.符號：正數(shù)a 的正的平方根可用a 表示，a 也是 a 的算術(shù)平方根；正數(shù) a 的負(fù)的平方根可用-a 表示6. 平方根和算術(shù)平方根兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系：區(qū)別在

3、于正數(shù)的平方根有兩個(gè)，而它的算術(shù)平方根只有一個(gè)；聯(lián)系在于正數(shù)的正平方根就是它的算術(shù)平方根，而正數(shù)的負(fù)平方根是它的算術(shù)平方根的相反數(shù)。三、立方根1.立方根的定義：如果的等于 a ，這個(gè)數(shù)叫做a 的（也叫做），即如果，那么 x 叫做 a 的立方根。第1頁共6頁2. 一個(gè)數(shù) a 的立方根，記作 3 a ，讀作：“三次根號 a ”，其中 a 叫被開方數(shù)， 3 叫根指數(shù)，不能省略，若省略表示平方。理解：x3a < >x3 aa 是 x的立方x的立方是ax是 a 的立方根a的立方根是 x3. 一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根； 0 有一個(gè)立方根，是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；任何數(shù)都有唯一的立方

4、根。4. 利用開立方和立方互為逆運(yùn)算關(guān)系，求一個(gè)數(shù)的立方根，就可以利用這種互逆關(guān)系，檢驗(yàn)其正確性，求負(fù)數(shù)的立方根，可以先求出這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值的立方根，再取其相反數(shù)，即3a3 a a0 。四、實(shí)數(shù)1. 有理數(shù)的定義：任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。2. 無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)3. 實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)有理數(shù)整數(shù)實(shí)數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)4. 像有理數(shù)一樣，無理數(shù)也有正負(fù)之分。例如2，33，是正無理數(shù)，2 ，3 3 ，是負(fù)無理數(shù)。由于非0 有理數(shù)和無理數(shù)都有正負(fù)之分，實(shí)數(shù)也可以這樣分類：正有理數(shù)正實(shí)數(shù)正無理數(shù)實(shí)數(shù) 0負(fù)有理數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)無理

5、數(shù)5. 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：每一個(gè)無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示出來，數(shù)軸上的點(diǎn)有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是一一對應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都是表示一個(gè)實(shí)數(shù)。與有理數(shù)一樣， 對于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大6. 數(shù) a 的相反數(shù)是 a ，這里 a表示任意一個(gè)實(shí)數(shù)。7. 實(shí)數(shù)的絕對值：一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對值是本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)； 0 的絕對值是 0。第2頁共6頁8. 無限小數(shù)是有理數(shù)（）無限小數(shù)是無理數(shù)（）有理數(shù)是無限小數(shù)（）無理數(shù)是無限小數(shù)（）數(shù)軸上的點(diǎn)都可以用有理數(shù)表示

6、（）有理數(shù)都可以由數(shù)軸上的點(diǎn)表示（）數(shù)軸上的點(diǎn)都可以用無理數(shù)表示（）無理數(shù)都可以由數(shù)軸上的點(diǎn)表示（）數(shù)軸上的點(diǎn)都可以用實(shí)數(shù)表示（）實(shí)數(shù)都可以由數(shù)軸上的點(diǎn)表示（）五、考點(diǎn)分析類型一、有關(guān)概念的識別例 1 下面幾個(gè)數(shù)：0.1237,1.010010001，30.064 322， ， ，5 ，其中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有A、 1B、2C、 3D、 47【變式 1】下列說法中正確的是（）A、 81 的平方根是± 3B、1 的立方根是± 1C、 11 D、5 是 5 的平方根的相反數(shù)【變式 2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個(gè)正方形，以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半

7、軸于點(diǎn)A，則點(diǎn) A 表示的數(shù)是（）A、 1.5B、1.4C、2D、3類型二、計(jì)算類型題例 2設(shè)26a，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.舉一反三：【變式 1】1）1.25 的算術(shù)平方根是_；平方根是 _.2） -27 立方根是 _.3）_，_，_.【變式 2】求下列各式中的（ 1）22523（ ） x19（ ）xx6423類型三、數(shù)形結(jié)合例 3. 點(diǎn) A 在數(shù)軸上表示的數(shù)為3 5 ，點(diǎn) B 在數(shù)軸上表示的數(shù)為2，則 A，B 兩點(diǎn)的距離為 _第3頁共6頁舉一反三：【變式 1】如圖，數(shù)軸上表示1，2 的對應(yīng)點(diǎn)分別為A， B，點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) A 的對稱點(diǎn)為 C，則點(diǎn) C表示的數(shù)是（）A21B12

8、C 22D2 2類型四、實(shí)數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用例 4已知 x 6 22x6 yy2z 0求xy 3z3 的值。，【變式 1】已知 a 2b 5 2c 1 0，求 ab c 的值。類型五、易錯(cuò)題例 5判斷下列說法是否正確（ 1）3 2的算術(shù)平方根是 -3（）（ 2）225 的平方根是± 15（）（ 3）當(dāng) x=0 或 2 時(shí)， x x 20 （）（ 4）3 是分?jǐn)?shù)（）2類型六、實(shí)數(shù)應(yīng)用題例 6有一個(gè)邊長為 11cm 的正方形和一個(gè)長為 13cm，寬為 8cm 的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，問邊長應(yīng)為多少。第4頁共6頁類型七、引申提高? ? ?例 7. 把下列無限循環(huán)小數(shù)

9、化成分?jǐn)?shù)：0.6 0.23 0.107一、填空題1、（-0.7） 2 的平方根是2、若 a2=25, b =3,則 a+b=3、已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a 2 和 a 4，則 a 的值是4、 34 _5、若 m、 n 互為相反數(shù)，則m5n _6、大于 -2，小于10的整數(shù)有 _個(gè)。7、一個(gè)正數(shù) x 的兩個(gè)平方根分別是a+2 和 a-4 ，則 a=， x=二、選擇題1、以下語句及寫成式子正確的是（）A、 7 是 49 的算術(shù)平方根，即497B、7 是(7) 2 的平方根，即C、 7 是 49 的平方根，即497D、 7 是 49 的平方根，即2、下列語句中正確的是（）A、9 的平方根是 3B、 9 的平方根是 3。( 7)27497第5頁共6頁C 、9 的算術(shù)平方根是3D、 9的算術(shù)平方根是33、下列語句中正確的是（）A、任意算術(shù)平方