1、利用低功耗微控制器開(kāi)發(fā)FFT應(yīng)用今天的低功耗微控制器(μC)也開(kāi)始集成原先只存在于大型微處理器、ASIC和DSP中的外設(shè)功能，使我們有可能以很低的功耗實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的算術(shù)運(yùn)算。本文討論一種快速傅立葉變換(FFT)應(yīng)用，并在一個(gè)含有單周期硬件乘法器的低功耗μC上實(shí)現(xiàn)該應(yīng)用。 這個(gè)FFT應(yīng)用實(shí)時(shí)計(jì)算一路輸入電壓(圖1中的VIN)的頻譜。為完成該任務(wù)，用一片模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)對(duì)VIN進(jìn)行采樣，獲得的采樣傳送給μC。然后，μC對(duì)這些采樣執(zhí)行256點(diǎn)FFT運(yùn)算，獲得輸入電壓的頻譜。為便于檢測(cè)，μC將計(jì)算出的頻譜數(shù)據(jù)傳送給PC，由PC實(shí)時(shí)顯

2、示出來(lái)。圖1. 利用FFT應(yīng)用計(jì)算輸入電壓的頻譜。 該FFT應(yīng)用的固件針對(duì)MAXQ2000系列中的一款16位、低功耗μC用C語(yǔ)言編寫。有興趣的讀者可以下載(ZIP，2.4kb)該項(xiàng)目的固件和電路原理圖。背景知識(shí) 為確定輸入信號(hào)采樣的頻譜，我們需要對(duì)這些輸入采樣進(jìn)行離散傅立葉變換(DFT)。DFT的定義如下：其中N是采樣的數(shù)量，X(k)是頻譜，x(n)是一組輸入采樣。利用歐拉等式展開(kāi)求和符，并分離輸入采樣和頻譜的實(shí)部和虛部，得到以下等式：式2和3中，求和符中第二項(xiàng)的消失是由于輸入采樣全部為實(shí)數(shù)。假定我們有N個(gè)采樣，直接計(jì)算式2和3需要2N2次乘法和2N(N - 1)次加法。這樣，我

3、們的256點(diǎn)輸入采樣DFT將需要進(jìn)行131,072次乘法和130,560次加法運(yùn)算。我們還是將注意力轉(zhuǎn)向FFT吧！有多種FFT算法可供使用。本應(yīng)用采用普通的radix-2算法，繼續(xù)將DFT分解為兩個(gè)更小的DFT。為此，N必須是2的指數(shù)。這種radix-2 FFT算法的步驟可歸納的蝶型運(yùn)算。觀察這些蝶型運(yùn)算我們可以發(fā)現(xiàn)，radix-2算法僅需(N / 2)log2(N)次乘法和Nlog2(N)次加法。圖2中用到的參數(shù)WN就是通常所謂的“旋轉(zhuǎn)因子”，可以在執(zhí)行算法前預(yù)先計(jì)算出來(lái)。圖2. 利用蝶型運(yùn)算實(shí)現(xiàn)N = 8的FFT。在圖2中，F(xiàn)FT的輸入顯示為一種特殊

4、的排列順序，這種序列是對(duì)原始序列索引號(hào)的二進(jìn)制位反轉(zhuǎn)后得到的。因此，當(dāng)我們對(duì)N = 8個(gè)采樣執(zhí)行radix-2 FFT算法時(shí)，需要將輸入數(shù)據(jù)的原始序列：0 (000b), 1 (001b), 2 (010b), 3 (011b), 4 (100b), 5(101b), 6(110b), 7(111b)重新排列為：0 (000b), 4, (100b), 2 (010b), 6 (110b), 1 (001b), 5 (101), 3 (011), 7 (111)FFT輸出則以正確的順序排列。圖2還說(shuō)明，每個(gè)單獨(dú)的蝶型運(yùn)算所得的結(jié)果，是下一級(jí)FFT運(yùn)算所需的唯一數(shù)據(jù)。由于運(yùn)算過(guò)程可&ld

5、quo;即位”進(jìn)行，新值可替代舊值，這樣，計(jì)算N個(gè)采樣的FFT只需要2N個(gè)變量(因?yàn)槊總€(gè)數(shù)據(jù)都包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠?。& nbsp; FFT完成后，結(jié)果為復(fù)數(shù)形式。式4和5將結(jié)果轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方式后表示為：有關(guān)DSP的文獻(xiàn)中可以找到很多優(yōu)化方法，可使上述DFT/FFT算法更小或更快。其中最重要的一種優(yōu)化方法(可能也是最容易實(shí)現(xiàn)的)源于這樣一個(gè)事實(shí)，那就是作為一個(gè)實(shí)數(shù)信號(hào)，其DFT幅度是相關(guān)于X(N / 2)對(duì)稱的，因此：編寫FFT代碼絕非易事。低功耗μC的一些局限又進(jìn)一步使該任務(wù)復(fù)雜化。存儲(chǔ)器：我們所選的μC有2kB的RAM。已經(jīng)知

6、道該算法需要用到2N個(gè)16位變量來(lái)存儲(chǔ)FFT數(shù)據(jù)，這樣，我們的μC可以執(zhí)行N最高為512的FFT。然而，固件的其他部分也要用到一些RAM。因此，在此項(xiàng)目中，我們限制N于256。若采用16位變量來(lái)表示每個(gè)值的實(shí)部和虛部，F(xiàn)FT數(shù)據(jù)總共需要1024字節(jié)的RAM。速度：低功耗μC盡管具有高M(jìn)IPS/mA性能，仍然需要一些優(yōu)化手段來(lái)使運(yùn)行FFT的指令數(shù)盡可能少。好在本應(yīng)用所用的C編譯器(IAR的Embedded Workbench for MAXQ，見(jiàn))可提供多種級(jí)別的優(yōu)化和設(shè)置。高效地使用硬件乘法器可使代碼優(yōu)化到可以接受的水平。無(wú)浮點(diǎn)能力：所選的μC不具備浮

7、點(diǎn)能力(低功耗產(chǎn)品一般都不具備浮點(diǎn)能力)。因此，所有運(yùn)算都必須采用定點(diǎn)算法。為了表示小數(shù)，固件采用帶符號(hào)的Q8.7表示法。這樣，在固件中假定：第0位至第6位代表小數(shù)部分 第7位至第14位代表整數(shù)部分 第15位代表符號(hào)位(二的補(bǔ)碼) 這樣的安排對(duì)于加法和減法沒(méi)有影響，但在做乘法時(shí)必須注意將數(shù)據(jù)按照Q8.7格式對(duì)齊。所選的數(shù)據(jù)表示法還要適應(yīng)FFT算法可能遇到的最大數(shù)值，同時(shí)又要提供足夠的精度。例如，我們的ADC可提供帶符號(hào)的8位采樣，以二的補(bǔ)碼表示。如果輸入為最大幅度(對(duì)于帶符號(hào)8位采樣為127)的直流電壓，則其能譜全部包含于X(0)中，用Q8.7表示為32512。這個(gè)數(shù)值能夠由單個(gè)帶符號(hào)的16位

8、數(shù)據(jù)表示。固件 以下部分討論在低功耗μC上執(zhí)行radix-2 FFT的固件實(shí)現(xiàn)。信號(hào)采樣由ADC讀出后被存儲(chǔ)在x_n_re數(shù)組中。這個(gè)數(shù)組代表x(n)的實(shí)部。虛部存儲(chǔ)在x_n_im數(shù)組中，在開(kāi)始運(yùn)行FFT前初始化為零。完成FFT后，計(jì)算結(jié)果取代原始采樣數(shù)據(jù)，被存儲(chǔ)在x_n_re和x_n_im中。獲取采樣 FFT算法假定采樣是以固定的取樣頻率獲得的。在為FFT獲取采樣時(shí)如果不加小心將會(huì)產(chǎn)生一些問(wèn)題。例如，采樣間隔的抖動(dòng)就會(huì)給FFT結(jié)果引入誤差，應(yīng)盡力減小之。ADC采樣循環(huán)中的判決語(yǔ)句會(huì)造成采樣間隔的抖動(dòng)。例如，我們的系統(tǒng)從ADC讀取帶符號(hào)的8位采樣，并將其存儲(chǔ)在一組16位變量中。在

9、下面的程序清單1中給出了兩種偽碼算法，執(zhí)行這種ADC讀取-存儲(chǔ)功能。算法1給出的方法會(huì)造成采樣間隔的抖動(dòng)，因?yàn)樨?fù)采樣比正采樣需要更多的時(shí)間來(lái)讀取并存儲(chǔ)。清單1. 兩種ADC采樣偽碼算法。第二種算法避免了第一種的問(wèn)題——采樣間隔抖動(dòng)。/ ALGORITHM 1: INCONSISTENT SAMPLING FREQUENCY - BAD!/ sample is an array of 16-bit variablesfor i = 0 to (N-1)begindoADCSampleConversion() / Instruct ADC to sample

10、 Vinsamplei = read8BitSampleFromADC() / Read 8-bit sample from ADCif (samplei & 0x0080) / If the 8-bit sample was negativesamplei = samplei + 0xFF00 / Make the 16-bit word negativeend/ ALGORITHM 2: FIXED SAMPLING FREQUENCY - GOOD!/ sample is an array of 16-bit variablesfor i = 0 to (N-1)begi

11、ndoADCSampleConversion() / Instruct ADC to sample Vinsamplei = read8BitSampleFromADC() / Read 8-bit sample from ADCendfor i = 0 to (N-1)beginif (samplei & 0x0080) / If the 8-bit sample was negativesamplei = samplei + 0xFF00 / Make the 16-bit word negativeend三角函數(shù)表 本FFT算法通過(guò)查表(LUT)而非計(jì)算得到正弦或余弦函數(shù)

12、值。程序清單2給出了對(duì)于正弦和余弦LUT的申明。實(shí)際固件的注釋中包含了自動(dòng)生成這些LUT的源代碼，可由程序調(diào)用。兩個(gè)LUT均含有N / 2分量，因?yàn)樾D(zhuǎn)因子的索引號(hào)變化范圍為從0至N / 2 - 1 (見(jiàn)圖2)。清單2. 正弦和余弦函數(shù)LUT。const int cosLUTN/2 = +128,+127,+127, . ,-127,-127,-127;const int sinLUTN/2 = +0 ,+3 , +6, . ,+9 , +6, +3;這些LUT中的數(shù)組被聲明為const，強(qiáng)制編譯器將它們存儲(chǔ)于代碼空間而非數(shù)據(jù)空間。由于LUT數(shù)值須采用Q8.7表示法，它們由正弦和余弦的實(shí)際值乘

13、以27后得到。位反轉(zhuǎn) 位反轉(zhuǎn)排序(N已知)可在運(yùn)行時(shí)通過(guò)計(jì)算、查表或直接利用展開(kāi)循環(huán)編寫。所有這些方法都需要在源代碼的尺寸和運(yùn)行速度間進(jìn)行折衷。本FFT應(yīng)用利用展開(kāi)循環(huán)進(jìn)行位反轉(zhuǎn)，其源代碼較長(zhǎng)，但運(yùn)行速度快。程序清單3顯示了該展開(kāi)循環(huán)的實(shí)現(xiàn)。本應(yīng)用固件的注釋中包含了用于程序自動(dòng)生成展開(kāi)循環(huán)的源代碼。清單3. 用于實(shí)現(xiàn)N = 256的位反轉(zhuǎn)的展開(kāi)循環(huán)。i=x_n_re 1; x_n_re 1=x_n_re128; x_n_re128=i;i=x_n_re 2; x_n_re 2=x_n_re 64; x_n_re 64=i;i=x_n_re 3; x_n_re 3=x_n_re192; x_n_

14、re192=i;i=x_n_re 4; x_n_re 4=x_n_re 32; x_n_re 32=i;.i=x_n_re207; x_n_re207=x_n_re243; x_n_re243=i;i=x_n_re215; x_n_re215=x_n_re235; x_n_re235=i;i=x_n_re223; x_n_re223=x_n_re251; x_n_re251=i;i=x_n_re239; x_n_re239=x_n_re247; x_n_re247=i;Radix-2 FFT算法 采樣按照位反轉(zhuǎn)方式重新排序后就可進(jìn)行FFT運(yùn)算了。本radix-2 FFT應(yīng)用的固件通過(guò)三個(gè)主循環(huán)

15、執(zhí)行圖2所示的蝶型運(yùn)算。外循環(huán)計(jì)數(shù)log2(N)級(jí)FFT運(yùn)算。內(nèi)循環(huán)執(zhí)行每一級(jí)的蝶型運(yùn)算。FFT算法的核心部分是執(zhí)行蝶型運(yùn)算的一小塊代碼。程序清單4給出了這一塊代碼，遺憾的是，它是本應(yīng)用中唯一“不可移植”的固件。宏MUL_1和MUL_2利用μC的硬件乘法器執(zhí)行單指令周期乘法運(yùn)算。這些宏的內(nèi)容專用于MAXQ2000，可在實(shí)際固件中全部看到。清單4. 用C編寫的蝶型運(yùn)算。/* (1) Macro MUL_1(A,B,C): C="A"*B (result in Q8.7)*/* (2) Macro MUL_2

16、(A,C) : C="A"*last_B (result in Q8.7)*/MUL_1(cosLUTtf,x_n_reb,resultMulReCos);MUL_2(sinLUTtf,resultMulReSin);MUL_1(cosLUTtf,x_n_imb,resultMulImCos);MUL_2(sinLUTtf,resultMulImSin);x_n_reb = x_n_rea-resultMulReCos+resultMulImSin;x_n_imb = x_n_ima-resultMulReSin-resultMulImCos;x_n_rea

17、 = x_n_rea+resultMulReCos-resultMulImSin;x_n_ima = x_n_ima+resultMulReSin+resultMulImCos;復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 為了便于確定VIN頻譜的幅度，我們須要將復(fù)數(shù)形式的X(k)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式。實(shí)現(xiàn)該轉(zhuǎn)換的固件示于程序清單5。幅度值取代了原始的FFT結(jié)果，因?yàn)楣碳辉傩枰@些數(shù)據(jù)。清單5. FFT結(jié)果從復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式。const unsigned char magnLUT1616 =0x00,0x10,0x20, . ,0xd0,0xe0,0xf0,0x10,0x16,0x23, . ,0xd0,0xe0,

18、0xf0,.0xe0,0xe0,0xe2, . ,0xff,0xff,0xff,0xf0,0xf0,0xf2, . ,0xff,0xff,0xff;./* Compute x_n_re=abs(x_n_re) and x_n_im=abs(x_n_im) */.x_n_re0 = magnLUTx_n_re0>>110;for(i=1; ix_n_rei = magnLUTx_n_rei>>11x_n_imi>>11;x_n_reN_DIV_2 = magnLUTx_n_reN_DIV_2>&am

19、p;gt;110;頻譜幅度并非根據(jù)式4計(jì)算得到，而是通過(guò)一個(gè)二維LUT查表得到。第一索引為頻譜實(shí)部的高4位(MSB)，第二索引為頻譜虛部的高4位。為得到這些數(shù)據(jù)，可將帶符號(hào)的16位數(shù)據(jù)右移11次。在從頻譜的實(shí)部和虛部取得索引號(hào)前，需首先將它們轉(zhuǎn)換為絕對(duì)值。因此，符號(hào)位為零。從式6我們已經(jīng)知道，頻譜的幅度是關(guān)于X(N / 2)對(duì)稱的，因此我們只需將前(N / 2) + 1個(gè)頻譜數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式。還有，我們可以看到，對(duì)于實(shí)數(shù)輸入采樣，X(0)和X(N / 2)的虛部總為零。因此這兩條譜線的幅度被單獨(dú)計(jì)算。本項(xiàng)目實(shí)際固件的注釋中包含了用于自動(dòng)生成該LUT的源代碼，可由程序調(diào)用來(lái)計(jì)算X(k)的幅度

20、。Hamming或Hann窗 此項(xiàng)目固件還包括了對(duì)輸入采樣加Hamming或Hann窗的LUT (Q8.7格式)。加窗函數(shù)可有效降低對(duì)時(shí)域采樣x(n)的舍入操作所引起的頻譜泄漏。Hamming和Hann窗函數(shù)分別如式7和8所示。程序清單6給出了實(shí)現(xiàn)這些函數(shù)的代碼。同樣，本項(xiàng)目實(shí)際固件的注釋中包含了用于自動(dòng)生成這些LUT的源代碼，可由程序調(diào)用來(lái)實(shí)現(xiàn)這些窗函數(shù)。清單6. 用來(lái)實(shí)現(xiàn)Hamming和Hann窗函數(shù)的LUT。const char hammingLUTN = +10, +10, +10, . ,+10, +10, +10;const char hannLUTN = +0, +0, +0, . , +0, +0, +0;.for(i=0; i<256; i+)#ifdef