1、 摘要摘要：從有小角度偏轉的平行板電容器電容計算出發，用解析函數的性質計算幾種非平行板電容器電容及電場分布，并用保形變換進行空間的伸張和扭曲，最后對結果進行討論。 關鍵詞：關鍵詞：非平行板電容器、電容器、電容、電場強度、空間變換、保形變換。 參考文獻1給出了有小角度偏轉的平行板電容器電容的計算方法，本文用解析函數的性質計算出一般的非平行板電容器電容及電場分布，并用保形變換進行空間的伸張和扭曲，最后對結果進行討論。 注：參考文獻1-物理學難題集（增訂本） 舒幼生 胡望雨 陳秉乾 高等教育出版社 如圖：設兩塊導體平板長為L2，寬為L，兩板的延長線交于O點，板的另一端與O相距L1，兩平板延長線夾角為

2、，兩板電勢分別為U1、U2（U1U2）。由于對稱性建立如圖所示的二維極坐標系。 為求解兩極板間的電場分布，我們可以設兩板的寬度L很大，而且可以忽略邊緣效應，由電荷分布對稱性原理可以知道,在兩板的角平分面（平面A），每一點的電場強度都應該與之垂直，且該面為一個等勢面。 根據對稱性原理，兩板之間（n=1，2，）角平分面上的電場強度方向均垂直于該面，且該面也為等勢面。我們注意到兩板之間（n=1，2，）平分面均過原點，由空間的無限可分性原理，對于任意的=0平面，總有一系列的使得 ：0112iki 所以我們可以認為，兩極板所夾任意的過原點的平面均為等勢面。 即電場強度的大小僅與離原點的距離r有關，其方向

3、垂直于r，且=0平面的電勢相等。進一步，我們有： （1） （2）( , )rrEE e( , )rrEE e( , )rUU 由于電勢的連續性，對在全平面解析，有： （3） 由（2）式知： 故： （4） 解得： （5）22222110UUUrrrr220UUrr22210Ur 最后解得： （6） 代入初始條件： 最終解得： （7）12UCC120,;,UUUU121UUUU 由電場與電勢的關系，我們又得到： （8） 我們作一高斯面，它的小底面S取在r處的導體板內，側面為電場線圍成的彎曲柱面，另一小底面S也與彎曲柱面垂直。顯然，由高斯定理可得： （9）121()rUUUUEUeeerrr 120

4、0rUUEr 所以，板導體帶電： （10） 最終求出： （11）121212111121212001()()1lnL LL LL LrrLLLUUUULLdS Ldr Ldr LrL012121lnLLLQQCUUUL 若按參考文獻1假設的 兩板長與寬分別為a， b，一對邊距離為d， 另一邊為距離為 （d+h），則=h/a, 由于很小,故dh， 所以由三角形相似性： （12）121LLdhLd 解得： （13） 按泰勒級數展開,取前兩項,然后將（12）式代入式（10）就得到: （14） （13）式的結果與文獻1結果相同,可以看出此種解法的正確性。 21211lnln()2LLdhhhLddd0

5、(1)2abhChd 由解出（7）式發現電勢僅與角度有關，與到原點的距離r無關；由解出（8）式發現的電場強度只與r成反比，方向垂直于r。 對比平行板電容器，不難發現，如果將平行板電容器兩極板空間C1的一端壓縮，以壓縮后的兩板延長線（由于對稱性，我們只考慮二維平面）交點為原點建立圖一所示的二維極坐標系，則壓縮后的空間C2即為非平行板電容器兩極板的空間。 由于對稱性，我們只考慮二維平面。 將三維空間C1簡化為二維為平面，將三維空間C2簡化為二維為平面z。 設：z平面的復數 （15） 平面的復數 （16） 令： （17） 取對數函數作映射函數：即： （18）izxiyrewuiv( )( , )(

6、, );zx yx ywwuuvvln()wCz CR 將（15）式代入即得： （19） 比較（17）式即得： （20）( )lnzwCriClnuCrvC 從圖四可看出,此變換將z平面上原來的非平行板電容器映射為了在平面上與u軸平行的平行板電容器,由此可求得此平行板電容器板間距離和長度： （23） （24） 由于兩空間的第三維未變換，即原非平行板電容器的寬度L在變換后沒有改變。所以，平面上的平行板電容器的電容為： （25）21dvvC12211lnLLluuCL000121lnSLlLLLCddL 比較（24）式與（11）式，由于變換前后,兩極板間的電壓和極板上所帶電量不變,只是兩極板間的空

7、間被扭曲了，所以在變換后平行板電容器的電容值即為變換前的非平行板電容器的電容值。 對于非平行板電容器所夾空間，這種空間映射的原理確實正確，但對其它類型的電容器呢？為此，我們嘗試用這方法求解同軸柱面電容器的電容值。由于對稱性，我們同樣只考慮二維平面，建立如圖五所示的二維極坐標系，同上面一樣 。 通過取對數變換，加上邊界之條件，我們同樣可以得到：1122lnlnuCRuCR1202vvC 從圖六可看出,此變換將z平面上原來的圓弧形電容器映射為了在平面上與v軸平行的平行板電容器,由此可求得此平行板電容器板間距離和長度： （28） （29） 由于兩空間的第三維未變換，即原圓弧形電容器的寬度L在變換后沒

8、有改變。所以，平面上的平行板電容器的電容為： （30）2211lnRduuCR212lvvC001022lnSLlRCLddR 由（30）式求出的電容值完全符合參考文獻2求出的同軸柱面電容器的電容值，證明這種方法在求解有兩維變換，一維不變換的電場空間中完全成立。那么是否對三維均變換的空間適用呢? 注：參考文獻2電磁學胡友秋 程福臻 劉之景 高等教育出版社 如圖：將球形電容器變為了平行板電容器。 由于保形變換的二維性，以及球形的對稱性，在 坐標系中我們引入參考文獻4中定義的空間角： ，將三維坐標系變為二維平面z的 坐標系。為變換方便，定義如下函數： （31） ( , , )r 2 (1cos )

9、 ( ,)r ( ,)1( )rzzf zirwuiv 取f(z)為映射函數：=f(z) 所以： 因為： 邊界r僅有兩個值R1、R2。 所以： 1urv 02 (1cos )4 1204vv112211uRuR 顯然，平面上的平行板電容器的電容為： （35） 由（35）式求出的電容值完全符合參考文獻2求出的同軸柱面電容器的電容值，證明這種方法確實有一定的普適性。00111201221()4SvvR RCduuRR 結論：通過對以上三種電容器與平行板電容器的分析討論，我們得出，非平行板電容器兩極板間的電場空間確實可以看作平行板電容器兩極板間電場空間所擠壓扭曲而成，而通過適當的變換，可以將非平行板電容器兩極板間的電場空間變為平行板電容器兩極板間的簡單的平直的電場空間，而變化后原電容器的電容值就是變化后的平行板電容器的電容值。由于平行板電容器的電容值、極板間的電場分布、電勢分布易于求解，故這種變換方法在求一些復雜的電場電