1、 第三部分第三部分 超靜定結構的分析超靜定結構的分析 第八章第八章 力力 法法 第一節第一節 力法基本概念力法基本概念1 1、力法基本概念、力法基本概念 1 1）. .力法基本未知量力法基本未知量超靜定結構是有多余約束的幾何不變超靜定結構是有多余約束的幾何不變體系，具有多余約束是其與靜定結構體系，具有多余約束是其與靜定結構在幾何組成上的區別，也是造成其僅在幾何組成上的區別，也是造成其僅用靜力平衡條件不能求解的顯見原因。用靜力平衡條件不能求解的顯見原因。 2 2）力法基本體系）力法基本體系 AqB(a)(a)原結構原結構 BAqx1(b)(b)基本體系基本體系 圖圖8-1-1 8-1-1 返回返

2、回返回返回力法的基本未知量力法的基本未知量是超靜定結構多是超靜定結構多余約束中的多余力余約束中的多余力如圖如圖8-1-18-1-1(a)(a)所示為有一個多余約束所示為有一個多余約束的幾何不變體系。取的幾何不變體系。取B B支座鏈桿為多余支座鏈桿為多余約束，去掉后代以多余力約束，去掉后代以多余力x1，見圖，見圖(b)(b)。 設想設想x1是已知的，圖是已知的，圖(b)(b)所示體系就是所示體系就是一個在荷載和多余力共同作用下的靜定一個在荷載和多余力共同作用下的靜定結構的計算問題。換句話說，如果結構的計算問題。換句話說，如果x1等等于原結構于原結構B B支座的反力，則圖支座的反力，則圖(b)(b

3、)所示體所示體系就能代替原結構進行分析。系就能代替原結構進行分析。 本章中，力法基本體系的結構一定是本章中，力法基本體系的結構一定是靜定結構，力法基本體系的結構叫靜定結構，力法基本體系的結構叫力力法基本結構。法基本結構。2 2、力法基本未知量的確定、力法基本未知量的確定 確定力法基本未知量，即要求確定確定力法基本未知量，即要求確定多余力的數量，同時也要求確定相多余力的數量，同時也要求確定相應的基本體系。應的基本體系。見圖見圖8-1-3(a)8-1-3(a)所示連續梁，去掉兩個所示連續梁，去掉兩個豎向支座鏈桿后為懸臂梁，見圖豎向支座鏈桿后為懸臂梁，見圖(b)(b) BCA(a)(a)原結構原結構

4、 BCAx1x2(b)(b)基本結構基本結構1 1 x2BCAx1x2 (c) (c)基本結構基本結構2 2 圖圖8-1-38-1-3 力法基本未知量數力法基本未知量數= =結構的多余約結構的多余約束數束數= =結構的超靜定次數結構的超靜定次數一個超靜定結構的多余約束數是一定一個超靜定結構的多余約束數是一定的，但是基本體系卻不是唯一的。的，但是基本體系卻不是唯一的。對于較復雜的超靜定結構，可采用 拆除約束法。拆除約束法。即，逐一拆除結構的約束，即，逐一拆除結構的約束，直到其成為靜定結構（力法基本結構），直到其成為靜定結構（力法基本結構），則拆除的約束就是多余約束，其數量就則拆除的約束就是多余約

5、束，其數量就是力法的基本未知量數。是力法的基本未知量數。 拆除約束法常要用到約束的約束數，現拆除約束法常要用到約束的約束數，現歸納如下：歸納如下： 切斷一根二力桿或去掉一根支座鏈桿，切斷一根二力桿或去掉一根支座鏈桿，相當于去掉一個約束；相當于去掉一個約束； （1）切開一個單鉸或去掉一個固定鉸切開一個單鉸或去掉一個固定鉸支座，相當于去掉兩個約束；支座，相當于去掉兩個約束； 切斷一根連續桿或去掉一個固定切斷一根連續桿或去掉一個固定支座，相當于去掉三個約束；支座，相當于去掉三個約束； 將固定端換成固定鉸支座或在一根將固定端換成固定鉸支座或在一根連續桿上加一個單鉸，相當于去掉連續桿上加一個單鉸，相當于

6、去掉一個約束。一個約束。 （2）（3）（4）用拆除約束法判定結構的力法基本未用拆除約束法判定結構的力法基本未知量，應注意：知量，應注意： 結構上的多余約束一定要拆干凈，結構上的多余約束一定要拆干凈，即最后應是一個無多余約束的幾何即最后應是一個無多余約束的幾何不變體系；不變體系； 要避免將必要約束拆掉，即最后不應要避免將必要約束拆掉，即最后不應是幾何可變體系或幾何瞬變體系。是幾何可變體系或幾何瞬變體系。 （2）（1）例例8-1-2試確定圖試確定圖(a)、(b)所示結構的基本未所示結構的基本未知量知量。 (a)x3x3x1x1x2x2(a1)x1x2x3(a2)(b)(b1)x3x1x2x2(b2

7、)第二節第二節 在荷載作用下的力法方程在荷載作用下的力法方程 1 1 力法基本方程力法基本方程 力法基本方程力法基本方程，是求解結構多余約束，是求解結構多余約束中多余力的位移協調條件方程。中多余力的位移協調條件方程。 變形和位移條件變形和位移條件是結構內部對外力的響是結構內部對外力的響應的外部表現形式，見圖應的外部表現形式，見圖8-1-2(a)8-1-2(a)、(b)(b)所示。所示。多余力多余力可以由基本結構中的多余力處沿可以由基本結構中的多余力處沿該多余力方向的位移與原結構一致的條該多余力方向的位移與原結構一致的條件確定。件確定。 AqB(a)(a)原結構原結構 x1qBA (b) (b)

8、基本體系基本體系 AqB(a)(a)原結構原結構 x1qBA (b) (b)基本體系基本體系 該條件可表示為：該條件可表示為：01(a)(a) 利用疊加原理，將基本體系分解為在荷載、利用疊加原理，將基本體系分解為在荷載、多余力單獨作用的兩種情況，分別分析后在多余力單獨作用的兩種情況，分別分析后在疊加。分解后，見圖疊加。分解后，見圖(c)(c)、(d)(d)所示所示 BAx1(c)(c) qBA(d)(d) 11P1疊加疊加與與11P101+ + = = 即：即： 得：得： 11P1+ + = = 0 0 (b)(b) 111x11= = 使使 式式(b)(b)改寫成：改寫成： 111xP1+

9、+ = = 0 0 (c) (c) 一次超靜定結構一次超靜定結構的力法基本方程的力法基本方程力法基本方程，是基本結構上多余力力法基本方程，是基本結構上多余力處沿多余力方向的位移與原結構一致處沿多余力方向的位移與原結構一致的條件。的條件。即位移協調條件即位移協調條件。2 2、兩次超靜定結構的力法方程、兩次超靜定結構的力法方程 AB(a)取原結構的力法基本體系如圖取原結構的力法基本體系如圖(b)x2x1BA(b)01方向的位移條件方向的位移條件 1x02方向的位移條件方向的位移條件 2x分別考慮基本結構在各個多余力、分別考慮基本結構在各個多余力、荷載單獨作用下的位移情況，見圖荷載單獨作用下的位移情

10、況，見圖(c)、(d)、(e)所示。所示。Bx2Ax1BA(c)(d)AB(e)222221111211PP將各因素單獨作用基本結構的位移將各因素單獨作用基本結構的位移疊加，得：疊加，得： (a)引入位移影響系數引入位移影響系數, ,并代入位移條件，并代入位移條件，式式(a)寫成：寫成： 01212111pxx02222121pxx(b)式式(b)既是兩次超靜定結構在荷載既是兩次超靜定結構在荷載作用下的力法方程。作用下的力法方程。 3 3、n n次超靜定結構的力法方程（力法次超靜定結構的力法方程（力法典型方程）典型方程） 由兩次超靜定結構的力法方程推由兩次超靜定結構的力法方程推廣，得：廣，得：

11、 0022222221211111212111PnnjjiiPnnjjiixxxxxxxxxx.0022112211jPnjnjjjijijjiPninjijiiiiixxxxxxxxxx.02211nPnnnjnjininnxxxxx(8-2-1)nnnjninnjnjjjijjinijiiiinjinji21212122222211111211njixxxxx11nPjPiPPP210000000+ = (8-2-1a)寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：柔度矩陣的特征：柔度矩陣的特征： 在柔度矩陣的主對角線上（左上角至右在柔度矩陣的主對角線上（左上角至右下角的斜直線）排列的是主系數。主對下角的斜

12、直線）排列的是主系數。主對角線兩側，排列的是副系數。根據位移角線兩側，排列的是副系數。根據位移互等定理，在主對角線兩側對稱位置上互等定理，在主對角線兩側對稱位置上的副系數互等。所以，力法方程的柔度的副系數互等。所以，力法方程的柔度矩陣是一個對稱方陣，其獨立的柔度系矩陣是一個對稱方陣，其獨立的柔度系數為個數為個 2()/ 2nn。力法解題一般步驟：力法解題一般步驟：確定結構的力法基本未知量，并繪出確定結構的力法基本未知量，并繪出相應的力法基本體系；相應的力法基本體系； 1 作基本結構的各單位多余力彎矩圖及荷作基本結構的各單位多余力彎矩圖及荷載作用下的彎矩圖；載作用下的彎矩圖； 3 求力法方程中的

13、系數和自由項；求力法方程中的系數和自由項； 2 將系數和自由項代入力法方程，求解多將系數和自由項代入力法方程，求解多余未知力；余未知力； 4 疊加法計算控制截面的彎矩值，作結構疊加法計算控制截面的彎矩值，作結構的彎矩圖；的彎矩圖； 5 由彎矩圖作結構的剪力圖，再由剪力圖由彎矩圖作結構的剪力圖，再由剪力圖作結構的軸力圖；作結構的軸力圖； 6 校核力法計算結果。校核力法計算結果。 7 試用力法計算圖試用力法計算圖(a)(a)所示超靜定所示超靜定梁，并作梁的彎矩圖。梁，并作梁的彎矩圖。 例例8-2-18-2-1AqB(a)(a)原結構原結構 解：解： 1)1)取基本體系如圖取基本體系如圖(b)(b)

14、。 (b) (b)基本體系基本體系qBAx1見圖見圖(c)(c)、(d)(d) PM1M作作圖圖和和 圖圖LBAx =11(c)(c) BAq22qL(d)(d) 作彎矩圖，見圖作彎矩圖，見圖(e)(e)。 82qL82qLAB(e)(e) 第三節第三節 用力法求解超靜定梁和剛架用力法求解超靜定梁和剛架 例例8-3-1使用力法計算圖使用力法計算圖(a)所示超靜定梁，并作所示超靜定梁，并作彎矩圖。彎矩圖。 LAB(a) 解：解： 1)判定梁的超靜定次數，并確定相應的力判定梁的超靜定次數，并確定相應的力法基本體系。見圖法基本體系。見圖(b)。 x1x2ABx1x2AB(b)基本體系基本體系 2)寫

15、力法方程。寫力法方程。 01212111pxx02222121pxx(a)3)求力法方程中的系數和自由項。求力法方程中的系數和自由項。 作基本結構分別在各多余力及荷載作用作基本結構分別在各多余力及荷載作用下的彎矩圖。見圖下的彎矩圖。見圖(c)、(d)、(e)。 （1）x =11AB(c)ABx =11(d)AB(e)圖乘求系數和自由項。圖乘求系數和自由項。 (2)EILLEI3) 132121(12211EILLEI6) 131121(12112EIqLLqLEIPP24) 121832(1322111可由可由 1M的面積與該面積形心處的豎的面積與該面積形心處的豎標相乘得出，叫做標相乘得出，叫

16、做自乘自乘。122M可由可由 圖的面積與該面積形心對圖的面積與該面積形心對對應的圖的豎標相乘得出（由位移互對應的圖的豎標相乘得出（由位移互等定理，也可交換取面積和豎標），等定理，也可交換取面積和豎標），叫做叫做互乘互乘。由此，將求柔度系數和自由項的過程，演由此，將求柔度系數和自由項的過程，演變成各彎矩圖變成各彎矩圖自乘自乘或或互乘互乘的過程。的過程。 將所的系數和自由項代入力法方程將所的系數和自由項代入力法方程(a)，并求解多余力。并求解多余力。 (3)0243602463321321EIqLxEILxEILEIqLxEILxEIL簡化為：簡化為： 08210821221221qLxxqLxx

17、(b)解方程，得：解方程，得： 1221qLx1222qLx (c)作彎矩圖。見圖作彎矩圖。見圖(f)。 (4)AB242qL122qL122qL(f)M圖圖 例例8-3-2計算圖計算圖(a)所示超靜定剛架，并作彎矩圖。所示超靜定剛架，并作彎矩圖。 L/2ACBL/2L(a) 解：解： 1)確定基本未知量，并選擇基本體系。確定基本未知量，并選擇基本體系。 對圖對圖(b)、(c)所示的兩個基本體系比所示的兩個基本體系比較。較。 Ax2BCx1(b)基本體系基本體系1 L/3L/3x2x1x1CBAx2(c)基本體系基本體系1 x =11ABCL(b1)Ax =12LCBL(b2)ABC(b3)x

18、1x =11CBA1/2x2x =12CBA13/2CBAF L/4P(c1)(c2)(c3)2)計算系數和自由項計算系數和自由項 EILLEILLEI125) 132121(21) 13232121213232121(111EILLEI43)23322321(122EILFLLFEIPPP32) 121421(212102P3)將系數和自由項代入力法方程，并求解：將系數和自由項代入力法方程，并求解： 043032125221xLLFxLP解得：解得： 04031xEILFxP4)計算桿端彎矩，并作彎矩圖計算桿端彎矩，并作彎矩圖 EILFEILFMxxMPPPABAB803)403(21232

19、121（右側受拉（右側受拉） EILFxMMPBCBA4031（左、上側受拉）（左、上側受拉） ABC(d)M圖圖 說明：說明： 力法簡化計算主要是使力法方程解耦或使力法簡化計算主要是使力法方程解耦或使聯立數目減少。聯立數目減少。 當所有的副系數等于零時，力法方程是完當所有的副系數等于零時，力法方程是完全解耦的。所以，在選擇力法基本體系時，全解耦的。所以，在選擇力法基本體系時，應是盡可能多的副系數等于零應是盡可能多的副系數等于零 。 在選擇力法基本體系上注意比較對照，往在選擇力法基本體系上注意比較對照，往往起到使力法方程解耦、或減少計算量的往起到使力法方程解耦、或減少計算量的效果，節省時間并有

20、利于得出正確的結果。效果，節省時間并有利于得出正確的結果。 力法解題的主要步驟為：力法解題的主要步驟為： 判定結構的力法基本未知量，確定基本體判定結構的力法基本未知量，確定基本體系，并寫出力法方程系，并寫出力法方程 (1)計算基本結構在各印數單獨作用下的內力，計算基本結構在各印數單獨作用下的內力，然后計算力法方程中的系數和自由項；然后計算力法方程中的系數和自由項； (2)將系數和自由項代入力法方程，并求解出多將系數和自由項代入力法方程，并求解出多余力；余力； (3)計算控制截面內力，做內力圖，并進行最后計算控制截面內力，做內力圖，并進行最后結果的校核。結果的校核。 (4)第四節第四節 用力法求

21、解超靜定桁架、組用力法求解超靜定桁架、組合結構和拱合結構和拱 例例8-4-1用力法計算圖用力法計算圖(a)所示組合結構，求出各所示組合結構，求出各桁架桿的軸力，并作梁式桿的彎桁架桿的軸力，并作梁式桿的彎矩圖。已矩圖。已知梁式桿的抗彎剛度知梁式桿的抗彎剛度EI=常數，各桁架桿常數，各桁架桿的軸向剛度的軸向剛度EA=常數，且常數，且A=I/16。4m3m4mq=10kN/mDBCA(a) 解：解： 1)確定力法基本體系確定力法基本體系 q=10kN/mx1x1DBCA(b)力法方程為：力法方程為： 01111px2)計算力法方程中的系數和自由項計算力法方程中的系數和自由項 x =11x1DBCA(

22、c)因本例僅在梁式桿上有均布荷載，桁架部分因本例僅在梁式桿上有均布荷載，桁架部分上無軸力發生，只有梁式桿上有彎矩，見上無軸力發生，只有梁式桿上有彎矩，見圖圖(d)。 q=10kN/m30kN40kNmDBCA10kN(d)顯然，計算系數或自由項均應分別考慮顯然，計算系數或自由項均應分別考慮梁式桿和桁架桿各自變形特點的位移計梁式桿和桁架桿各自變形特點的位移計算式。計算如下：算式。計算如下： EIEIEA78.169)2324221(25)65)(65(2)311(111EIEIP67.266)2214841032232440212(121 3)將系數和自由項代入力法方程，并解之：將系數和自由項代

23、入力法方程，并解之： 067.26678.1691EIxEIkNx57. 114)計算內力計算內力 mkNMxMMPCACBCA86.3640)57. 1(221（下側受拉）（下側受拉） 桁架桿軸力：桁架桿軸力： kNxFNDC57. 111（壓力）（壓力） kNxFFNDANDB31. 1651（拉力（拉力） DBCA(e) 桁架：桁架： EALFNiii2LEAFFNPNiiPLEAFFNjNiij組合結構中的梁式桿和桁架桿分別按各組合結構中的梁式桿和桁架桿分別按各自的計算式計算后疊加。自的計算式計算后疊加。 力法方程中的柔度系數和荷載作用時自力法方程中的柔度系數和荷載作用時自由項計算公式

24、：由項計算公式： 梁和剛架：梁和剛架： dxEIMiii2dxEIMMjiijdxEIMMPiiP第五節第五節 力法中的對稱性利用力法中的對稱性利用 若結構是對稱的，荷載是正對稱若結構是對稱的，荷載是正對稱時，結構的彎矩、軸力是正對稱時，結構的彎矩、軸力是正對稱的，剪力是反對稱的；荷載是反的，剪力是反對稱的；荷載是反對稱時，結構的彎矩、軸力是反對稱時，結構的彎矩、軸力是反對稱的，剪力是對稱的。對稱的，剪力是對稱的。 內力的對稱性內力的對稱性若取對稱的基本結構，并且多余若取對稱的基本結構，并且多余力也具有正或（和）反對稱性，力也具有正或（和）反對稱性，則，在正對稱荷載作用下，結構則，在正對稱荷載

25、作用下，結構只有正對稱多余力，反對稱多余只有正對稱多余力，反對稱多余力等于零；在反對稱荷載作用下，力等于零；在反對稱荷載作用下，結構只有反對稱多余力，正對稱結構只有反對稱多余力，正對稱多余力等于零多余力等于零。多余力的對稱性多余力的對稱性例例8-5-1計算并繪制一超靜定剛架分別在圖計算并繪制一超靜定剛架分別在圖(a)、(b)所示荷載作用下的彎矩圖。所示荷載作用下的彎矩圖。 CAABBL/2L/2L/2L/2CAABBL/2L/2L/2L/2(b)(a)返回返回 解：解： 圖圖(a)，剛架在正對稱荷載下的內力計算：，剛架在正對稱荷載下的內力計算： x1CAx1ABBCLLx1CAx =11ABB

26、C(a1)(a2)返回返回由圖由圖(a2)、(a3)圖乘求系數和自由項：圖乘求系數和自由項： AABBC C(a3)EILLLLEI32)3221(2311EILFLLLFEIPPP245)652221(231代入力法方程，解得：代入力法方程，解得： 1651111PPFx計算桿端彎矩：計算桿端彎矩： 1632)165(LFLFFLMPPPAB（外側受拉）（外側受拉） 彎矩圖見圖彎矩圖見圖(c)。 CAABB(c)圖圖(b)，剛架在反對稱荷載下的內力計算：，剛架在反對稱荷載下的內力計算： 取對稱的基本結構，只考慮反對稱的多取對稱的基本結構，只考慮反對稱的多余力，見圖余力，見圖(b1)、(b2)

27、。 x2CAx2ABBCx2CAx =12ABBC(b1)(b2)CAABBC(b3)由圖由圖(b2)、(b3)圖乘求系數和自由項：圖乘求系數和自由項： EILLLLLLLEI127)232222122(2322EILFLLLFEIPPP8)22221(232代入力法方程，解得：代入力法方程，解得： 1432222PPFx計算桿端彎矩：計算桿端彎矩： 28112)143(2PPPABFLFFLM（左側受拉）（左側受拉） 283)143(2LFFLMPPBA（右側受拉）（右側受拉） 彎矩圖見圖彎矩圖見圖(d)。 CAABB11F L/28P3F L/28P(d)力法利用對稱性需要且僅需要力法利用

28、對稱性需要且僅需要(1)取對稱的基本結構；取對稱的基本結構；(2)使多余力具有正對稱或（和）反對使多余力具有正對稱或（和）反對稱性。稱性。這兩條必須同時滿足。而不需要考慮荷這兩條必須同時滿足。而不需要考慮荷載是否具有對稱或反對稱性。載是否具有對稱或反對稱性。 更一般情況下的對稱性的利用更一般情況下的對稱性的利用BqABAC(a)原結構原結構 圖圖8-3-1(a)所示為一般荷載作用下的對所示為一般荷載作用下的對稱結構，力法基本未知量為稱結構，力法基本未知量為3,因而力法因而力法方程為：方程為： 000333323213133322221211313212111PPPxxxxxxxxx(a)取對稱

29、的基本結構如圖取對稱的基本結構如圖(b)，其上的多余，其上的多余力具有正對稱和反對稱性。力具有正對稱和反對稱性。 x1x3x2Bx2x1qABACCx3(b)基本體系基本體系 其上的多余力具有正對稱和反對稱性。其上的多余力具有正對稱和反對稱性。基本結構在各多余力單獨作用下彎矩圖基本結構在各多余力單獨作用下彎矩圖自然具有相應的對稱和反對稱性。自然具有相應的對稱和反對稱性。 qBABACC(c)CCBABA(d)x2x2BACACB(e)x3x3CCBABA(f)032233113代入方程代入方程(a)，得：，得： 000333322221211212111PPPxxxxx(b)副系數為兩個單位彎

30、矩圖的互乘，由于副系數為兩個單位彎矩圖的互乘，由于正對稱與反對稱的彎矩圖互乘等于零，正對稱與反對稱的彎矩圖互乘等于零，所以有副系數：所以有副系數： 最一般情況下的對稱性的利用最一般情況下的對稱性的利用僅僅結構具有對稱性，荷載和多余力都僅僅結構具有對稱性，荷載和多余力都不具有對稱性或（和）反對稱性。不具有對稱性或（和）反對稱性。方法方法1 1：構造對稱（反對稱）荷載：構造對稱（反對稱）荷載方法方法2 2：構造對稱（反對稱）多余力：構造對稱（反對稱）多余力利用對稱性計算圖利用對稱性計算圖(a)所示對稱剛架。所示對稱剛架。例例8-5-2BCCAq=6kN/m(a)圖圖(a)所示對稱剛架，為兩次超靜定

31、結構所示對稱剛架，為兩次超靜定結構。 取圖取圖(c)所示基本結構，但在對稱位置上所示基本結構，但在對稱位置上的兩個多余力在一般荷載作用下不具有的兩個多余力在一般荷載作用下不具有對稱性，也不具有反對稱性。對稱性，也不具有反對稱性。 BCCx2Ax1q=6kN/m(c)方法一：構造對稱和反對稱荷載方法一：構造對稱和反對稱荷載對稱荷載對稱荷載反對稱荷載反對稱荷載計算系數和自由項：計算系數和自由項：1121218(3 33)23EIEI 22212190(3 33)(6 4 6)232EIEIEI 1213243(13.5 33)344PEIEI 221311539(13.5 33)( 27 4 6)

32、3424PEIEIEI 代入力法方程，求多余力：代入力法方程，求多余力： 0022221111PPxx123.3754.275xx計算桿端彎矩：計算桿端彎矩： 12002761.35ABBAMMxxkN m （右側受拉）（右側受拉） 1213.5313.534.05BCMxxkN m（上側受拉）（上側受拉） 1213.5313.532.7BCMxxkN m（上側受拉）（上側受拉） 仍然取與圖仍然取與圖(c)相同的基本結構，所不相同的基本結構，所不同的是將在對稱位置上的兩個多余力進同的是將在對稱位置上的兩個多余力進行分組，分成一組正對稱的和一組反對行分組，分成一組正對稱的和一組反對稱的，見圖稱的

33、，見圖(b)所示。所示。 CCx2Ax1Bx2x1q=6kN/m(b)方法二：構造對稱和反對稱多余力方法二：構造對稱和反對稱多余力計算系數和自由項：計算系數和自由項：EIEI18)3323321(21122212190(3 33)(6 4 6)232EIEIEI EIEIP4243)34332731(11EIEIEIP41539)6427(21)34332731(12代入力法方程，求多余力：代入力法方程，求多余力： 0022221111PPxx計算桿端彎矩：計算桿端彎矩： 1227061.35ABBAMMxxkN m （右側受拉）（右側受拉） 1227334.05BCMxxkN m（上側受拉）

34、（上側受拉） 123.3754.275xx120332.7BCMxxkN m（上側受拉）（上側受拉） 第六節第六節 在支座移動、溫度改變時的在支座移動、溫度改變時的力法方程及示例力法方程及示例 1.支座移動時的內力計算支座移動時的內力計算 與荷載作用下力法思路和建立方與荷載作用下力法思路和建立方程的方法相同，所不同的是：程的方法相同，所不同的是： 基本結構（靜定結構）在支座基本結構（靜定結構）在支座移動時是剛體位移，并且無內移動時是剛體位移，并且無內力發生力發生 ；12基本結構多余力處沿多余力基本結構多余力處沿多余力方向上與原結構一致的位移方向上與原結構一致的位移條件一般不全等于零。條件一般不

35、全等于零。以圖以圖8-4-1(a)所示超靜定梁所示超靜定梁為例，建立超靜定結構在支為例，建立超靜定結構在支座移動時的力法方程座移動時的力法方程 BAB 圖圖8-4-1(a)x2x1BBA (b)基本結構基本結構其多余力處沿多余力方向上與其多余力處沿多余力方向上與原結構一致的位移協調原結構一致的位移協調條件：條件： B102取力法基本體系如圖取力法基本體系如圖(b)疊加基本結構在各因素單獨疊加基本結構在各因素單獨作用下的位移，得力法方程：作用下的位移，得力法方程：022221211212111xxxxB(a)12式式中中分別表示基本結分別表示基本結構在支座移動時沿多構在支座移動時沿多余力方向上的

36、位移余力方向上的位移 自由項的計算是靜定結構在支自由項的計算是靜定結構在支座移動時的位移計算，即座移動時的位移計算，即cFRii(8-4-1)上式中：上式中：i表示基本結構由于支表示基本結構由于支座移動引起的在多余力座移動引起的在多余力 方向上的位移方向上的位移 ixRiF多余力多余力 =1單獨作用在單獨作用在基本結構上時引起的支座反基本結構上時引起的支座反力力 ixc基本結構的支座位移基本結構的支座位移 注注基本結構的支座移動，指基基本結構的支座移動，指基本結構保留的支座上的位移本結構保留的支座上的位移 例例8-4-1圖圖(a)所示剛架，固定所示剛架，固定支座支座A在三個約束方向上都有在三個

37、約束方向上都有位移發生，即水平位移發生，即水平位移位移a，豎向，豎向位移位移a/2，轉角位移，轉角位移a/L。各桿。各桿EI相等，并為常數。只用力法相等，并為常數。只用力法計算該剛架，并作彎矩圖。計算該剛架，并作彎矩圖。LLa/2aAACAa/La/LBBa/2x2x1ACBaBa/LA解解取基本體系如圖取基本體系如圖(b)所示。所示。力法方程：力法方程： Laxxxx/022221211212111(a)作各單位多余力單獨作用下的作各單位多余力單獨作用下的彎矩圖，并求出相應的支座反彎矩圖，并求出相應的支座反力見圖力見圖(d)、(e)Lx1=1CABL0 x2=1CAB11(d)(e)計算柔度

38、系數方法同前，即：計算柔度系數方法同前，即：EILLLLEI32)3221(2311EILLLEI34) 11132121(122EILLLLLEI65)21132121(122112本例自由項計算如下：本例自由項計算如下：2)211 (1aaaLaaLa2)210(2求解多余力：求解多余力： aLEIx31769aLEIx22751計算桿端彎矩EILaxxMAB22175110EILaxxLMMBCBA2217181右側受拉 左側、上側受拉 彎矩圖見圖彎矩圖見圖(c)CBAEILa2751EILa2718(c)結構在支座移動下結構在支座移動下的最后彎矩疊加公的最后彎矩疊加公式僅含各多余力的式

39、僅含各多余力的影響。即：影響。即： 1212ijijNijijnMMxMxMx(8-4-2)注注意意超靜定結構在支座移動的影超靜定結構在支座移動的影響下，會產生內力，并且內響下，會產生內力，并且內力與結構的剛度的絕對值有力與結構的剛度的絕對值有關；關；1 1由于超靜定結構的基本結構是由于超靜定結構的基本結構是靜定結構，在支座移動的影響靜定結構，在支座移動的影響下不產生內力，因此超靜定結下不產生內力，因此超靜定結構在支座移動的影響，其內力構在支座移動的影響，其內力是多余力作用在基本結構上的是多余力作用在基本結構上的內力的體現。內力的體現。或者更簡單得說，其內力是由或者更簡單得說，其內力是由多余力

40、引起的。多余力引起的。2 22.溫度改變時的內力計算溫度改變時的內力計算 t2Bt1A (a)原結構原結構x2x1t2Bt1A (b)基本結構基本結構x1ABB(c)圖圖8-4-2x2BBAtt2Bt1ABt(d)(e)圖圖8-4-2圖圖8-4-2(a)所示兩次超靜定梁，所示兩次超靜定梁，溫度改變影響下的力法方程溫度改變影響下的力法方程：0022221211212111ttxxxx(b)式式中中自由項自由項t 1t2分別表示基本結構在分別表示基本結構在溫度改變時沿多余力溫度改變時沿多余力 和和 方向上的位移。方向上的位移。1x2x自由項的計算式可寫成一自由項的計算式可寫成一般形式：般形式：0(

41、 )( )NiitFMittSSh (8-4-3)式中式中NiFSMiS分別表示基本結構在多分別表示基本結構在多余力余力 =1單獨作用下，結單獨作用下，結構的桿件中產生的軸力圖和構的桿件中產生的軸力圖和彎矩圖的面積。彎矩圖的面積。ix例例8-4-2圖圖(a)所示結構，除承受所示結構，除承受圖示的荷載外，內外側的溫度圖示的荷載外，內外側的溫度也發生了改變，其也發生了改變，其內側升高了內側升高了5，外側升高了外側升高了25。桿件截面為矩。桿件截面為矩形，尺寸見圖示。已知：材料形，尺寸見圖示。已知：材料在溫度下的線膨脹系數為在溫度下的線膨脹系數為0.00001。用力法計算并作彎矩。用力法計算并作彎矩

42、圖和軸力圖。圖和軸力圖。60cm40cmq=20kN/mt1CDAt2Bx1q=20kN/mt1CDAt2B (a)原結構原結構 (b)基本結構基本結構解解該剛架為一次超靜定結構，基該剛架為一次超靜定結構，基本體系如圖本體系如圖(b)，力法方程：，力法方程：011111tPx(a)120kNmq=20kN/mCDABt1CDAt2BDB(c)(d)1/6CA1x =11DB11/6(1/6)(0)(e)計算系數和自由項：計算系數和自由項：由圖由圖(e)彎矩圖自乘，彎矩圖自乘，得：得：EIEI8) 1611326121(111由圖由圖(e)和圖和圖(c)兩彎矩圖兩彎矩圖互乘，得互乘，得EIEIP

43、60) 1216862032131612021(121由式由式(8-4-3)計算：計算：(b)0( )( )NiitFMittSSh 由題給條件知：由題給條件知：Cttt1525252210Cttt2052512溫度升高溫度升高外側溫度高外側溫度高3211085. 2)616121(10602000001. 06611500001. 0t則則251044. 1mkNEI將以上所得值代入力法方將以上所得值代入力法方程程(a)式中，解得：式中，解得：矩形截面的抗彎剛度：矩形截面的抗彎剛度：mkNxPt8 .4311111計算桿端彎矩：計算桿端彎矩：mkNxMAB8 .4311右側右側受拉受拉BCD

44、A(f)注注意意超靜定結構在溫度的改變的超靜定結構在溫度的改變的影響下，會產生內力，并且影響下，會產生內力，并且內力與結構的剛度的絕對值內力與結構的剛度的絕對值有關；有關；1 1由于基本結構是靜定結構，溫由于基本結構是靜定結構，溫度改變不產生內力。超靜定結度改變不產生內力。超靜定結構由于溫度的改變所產生的內構由于溫度的改變所產生的內力是由多余力作用在基本結構力是由多余力作用在基本結構上的內力體現的。上的內力體現的。或者更簡單得說，其內力是由或者更簡單得說，其內力是由多余力引起的。多余力引起的。2 2 第七節第七節超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算及力法結果的校核及力法結果的校核 原結構和

45、基本結構的變形比較原結構和基本結構的變形比較超靜定結構的基本結構不僅在多超靜定結構的基本結構不僅在多余力方向與原結構的位移一致余力方向與原結構的位移一致（力法方程條件），并且滿足基（力法方程條件），并且滿足基本結構在任一截面上的位移都一本結構在任一截面上的位移都一定與原結構一致。定與原結構一致。1.超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算就是其任意一就是其任意一個基本結構（靜定結構）在廣義荷載個基本結構（靜定結構）在廣義荷載（狹義荷載、支座移動、溫度）和多（狹義荷載、支座移動、溫度）和多余力的共同作用下的位移計算（因超余力的共同作用下的位移計算（因超靜定

46、結構的基本結構不是唯一的）。靜定結構的基本結構不是唯一的）。計算超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移時的虛單位力時的虛單位力可加在其原結構的任意一個基本結構可加在其原結構的任意一個基本結構上。上。 00( )( )NQNQNFMRF FF FMMdskdsdsEAGAEIttSShFc 廣義荷載廣義荷載作用下的位移計算公式作用下的位移計算公式1 1）荷載作用下的位移計算）荷載作用下的位移計算dsEIMMdsGAFFkdsEAFFQQNN0(7-5-1)超靜定結構在荷載作用超靜定結構在荷載作用下的位移計算步驟：下的位移計算步驟：1 1計算超靜定結構（原結構）計算超靜定結構（原結構）在荷載作用下的

47、內力（實際在荷載作用下的內力（實際狀態）；狀態）；2 2在原結構的任意一個基本結在原結構的任意一個基本結構上沿擬求位移方向施加虛構上沿擬求位移方向施加虛單位力，并計算由此單位力，并計算由此產生的產生的內力；內力；3 3將以上所得兩種狀態內力代將以上所得兩種狀態內力代入位移計算公式（入位移計算公式（7-5-1）計）計算算。例例8-5-1求圖求圖8-5-1(a)所示剛架所示剛架在荷載作用下在荷載作用下C端截面的轉端截面的轉角位移角位移q qC。L/2ACBL/2LAx2BCx1 (a)原結構原結構 (b)基本結構基本結構ABC1ABC1ABC(d)M圖圖(e)(f)圖圖8-5-1解剛架在荷載作用下

48、的最后彎矩剛架在荷載作用下的最后彎矩圖已在例圖已在例8-2-2中得出，見圖中得出，見圖(d)。圖圖(e)、(f)示出了原結構的兩個示出了原結構的兩個基本結構的虛單位力作用下彎基本結構的虛單位力作用下彎矩圖，比較后，顯然后者與最矩圖，比較后，顯然后者與最后彎矩圖互乘較簡單，因此取后彎矩圖互乘較簡單，因此取圖圖(f)為原結構的虛力系。為原結構的虛力系。將圖將圖(d)、(f)互乘，得互乘，得EILFLLFLLFEIPPPC40) 12142113140321(212q（）一般選擇虛單位彎矩圖在結一般選擇虛單位彎矩圖在結構上分布盡可能簡單構上分布盡可能簡單的基本的基本結構作為虛力系。結構作為虛力系。注

49、意注意2)支座移動時的位移計算支座移動時的位移計算一般形式一般形式cFdsEIMMdsGAFFkdsEAFFRQQNN0(7-5-1)例例8-5-2求圖求圖(a)所示超靜定梁由所示超靜定梁由于于B支座位移引起的梁中點的豎支座位移引起的梁中點的豎向位移。向位移。LABCbBx1AbBBC (a)原結構原結構 (b)基本結構基本結構解解1)用力法計算原結構，作梁在支用力法計算原結構，作梁在支座移動時的最后彎矩圖（實際狀座移動時的最后彎矩圖（實際狀態）。態）。取圖取圖(b)所示簡支梁為力法基本所示簡支梁為力法基本結構，力法方程為：結構，力法方程為：01111x(1)方程中的系數和自由項：基方程中的系

50、數和自由項：基本結構在單位多余力作用下的本結構在單位多余力作用下的彎矩圖和支座移動單獨作用下彎矩圖和支座移動單獨作用下的剛體位移見圖的剛體位移見圖(d)、(f)。bABCB1/Lx =11AB1(c)(d)將系數和自由項代入力法將系數和自由項代入力法方程，求解多余力：方程，求解多余力：211113LEIbxEILLEI3) 132121(111LbbLcFR)1(11ABC23LEIbABCx =-123LEIb(e)M圖圖(f)M圖圖桿端彎矩：桿端彎矩：作最后彎矩圖：作最后彎矩圖：2113LEIbMxMAB上側受拉上側受拉梁的最后彎矩圖見圖梁的最后彎矩圖見圖(e)所示。所示。2)虛設單位力見圖虛設單位力見圖(g)，作，作虛單位彎矩圖并求支座反虛單位彎矩圖并求支座反力（虛力狀態）。力（虛力狀態）。F =1PABCbABCB(g)虛單位彎矩圖虛單位彎矩圖(h)3)利用位移計算公式利用位移計算公式(7-3-3)求位移求位移CV