1、點、線、圓與圓的位置關系:點與圓的位置關系:1 .點與圓的位置關系的判斷點與圓的位置關系設。的半徑為r,點P到圓心。的距離為d,則有：點在圓外dr;點在圓上dr;點在圓內dr.如下表所示：八/位直大系圖形定義性質及判定點在圓外點在圓的外部dr點P在。O的外部.點在圓上缶P點在圓周上dr點P在。O的外部.點在圓內點在圓的內部dr點P在。O的外部.2 .三角形外接圓的圓心與半徑三角形的外接圓經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.三角形外心的性質：三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線

2、的交點，它到三角形各頂點的距離相等；三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合銳角三角形外接圓的圓心在它的內部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.二：直線與圓的位置關系：1 .直線與圓的位置關系設。的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,則直線和圓的位置關系如下表:位直大系圖形定義性質及判定相離1直線與圓沒有公共點.dr直線l與。O相離相切6直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，唯一公共點叫做切點.dr直線l與。O相切相交°!直線與圓有

3、兩個公共點，直線叫做圓的割線.dr直線l與OO相交2 .切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1:經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.3 .切線的判定距離法：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；定理法：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.4 .切線長定理及三角形內切圓切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.三：圓與圓的位置關系：一：點與圓的位置關系：1.點與圓的位置關系的判斷：例題1:【

4、易】一點到圓周上點的最大距離為18,最短距離為2,則這個圓的半徑為【答案】10或8【解析】當點在圓內時，圓的直徑為18+2=20,所以半徑為10.當點在圓外時，圓的直徑為18-2=16,所以半徑為8.【易】已知如圖，在ABC中，/C=90°,AC=4,BC=5,AB的中點為點M.以點C為圓心，4為半徑作。C,則點A、B、M分別與。C有怎樣的位置關系？若以點C為圓心作。C,使A、B、M三點中至少有一點在。C內，且至少有一點在圓外，求。C的半徑r的取值范圍.【答案】二.在球BC中，ZC=90°,AC=4,BC=5,AB的中點為點M.AB=Jac2+BC2=716+25=V41,

5、CM141=-AM=以點C為圓心，4為半徑作。C,41.AC=4,則A在圓上，CM=-<4,則M在圓內，BC=5>4,則B在圓外;241以點C為圓心作。C,使A、B、M二點中至少有一點在。C內時，r>-一，2當至少有一點在。C外時，r<5,皿414M4.41L故OC的半徑r的取值范圍為：<r<5.2測一測1：【易】在ABC中，C90,AC4,AB5,以點C為圓心，以r為半徑作圓，請回答下列問題，并說明理由.當r時，點A在OC上，且點B在OC內部？當r取值范圍時，點A在OC外部，且點B在OC的內部？是否存在這樣的實數，使得點B在。C上，且點A在OC內部？【答案

6、】在RtMBC中，C90,AC4,AB5,根據勾股定理得，BC.AB2AC252423當r=4時，AC=4=r,點A在OC上，BC=3<r=4,點B在OC內；當3r4時，AC=4>r,點A在OC外部，BC=3<r,點B在OC內部不存在，要使點B在OC上，BC=r=3,要使點A在OC內部，AC=4<r2.三角形外接圓的圓心與半徑例題2:【易】已知直角三角形的兩條直角邊長分別為3cm和4cm,則這個直角三角形的外接圓的半徑為cm【答案】2.5【解析】,直角三角形的兩直角邊分別為3cm和4cm,斜邊長為J32+42=5cm,，它的外接圓半徑為5+2=2.5cm.【易】在4AB

7、C中，AB=AC=10,BC=12,求其外接圓的半徑【答案】作AD±BC,垂足為D,則O一定在AD上，.AD=Jl02-62=8；設OA=r,OB2=OD2+BD2,2一2，即r=(8-r)+6,丘/口25解得r=一.4BC=24cm ,則它的外接圓的直徑測一測1:【易】若ABC中，ZC=90°,AC=10cmcm【答案】26【解析】.ABC中，/C=90°,AC=10cm,BC=24cm,.AB=AC2+BC2=,102+242=26cm二：直線與圓的位置關系1 .直線與圓的位置關系判斷：例題3:【易】如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,。是以AB為直徑

8、的圓，則直線DC與。O的位置關系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定【答案】C【解析】解：二矩形ABCD中，BC=4,圓心到CD的距離為4.,.AB為直徑，AB=6,半徑是3.4>3直線DC與。O相離，故選C.AB測一測1:【中】如圖，以點O為圓心的兩個同心圓，半徑分別為5和3,若大圓的弦與小圓相交，則弦長AB的取值范圍是（）A.8WABW10B.AB>8C,8<AB<10D.8<AB<10【答案】C【解析】當AB與小圓相切時，OCLAB,則AB=2AC=2-25-9=2?48;當AB過圓心時最長即為大圓的直徑10.則弦長AB的取值范圍是8VABW10

9、2.切線的性質：例題4:【易】如圖，AB是。O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與OO相切于點D.若？C18?,貝U/CDA=【答案】126°【解析】連接OD則/ODC=90°,zCOD=72°-.OA=OD,-1.?ODA?A一？COD,2XDA=ZCDO+ZODA=90+36=126【易】如圖，點A,B在。O上，直線AC是。O的切線，OCOB,連接AB交O于點D.AC與CD相等嗎？為什么？若AC=2,AO=J5,求OD的長度【答案】證明：.AC是。O切線，.OAXAC,，QAC=90° .QAB+ZCAB=90° .OCLOB,XOB=90

10、° .QDB+ZB=90°,.OA=OB，QAB=ZBXAB=ZODB,.QDB=ZADCXAB=/ADC.AC=CD解：在RtOAC中，OC=JOA2+AC2=3,.OD=OC-CD=OC-AC=3-2=1測一測1:【易】如圖，P是O0的直徑AB延長線上的一點，PC與O0相切于點C,若ZP=20°,貝【答案】350【解析】PC與OO相切于點C,OCXCP,ZP=20°,XOB=70°,-.OA=OC,."=35°.測一測2:【易】如圖所示，AP為圓0的切線，A0交圓。于點B,若？A40?,則?APB【答案】25°

11、【解析】如圖，連接OP, .AP為圓O的切線，P為切點，dOPA=90°, 3=90-ZA=50°, .OB=OP, .dDPB=ZOBP=(180-ZO)+2=65，"PB=90°-ZOPB=25故答案為2503.切線的判定ZB.求線段例題5:【中】如圖，AB是。O的直徑，經過圓上點D的直線CD恰使ZADC=求證：直線CD是。O的切線；過點A作直線AB的垂線BD交BD的延長線于點E,且AB爬,BD=2,AE=.AB是。O的直徑，"DB=90°,./+Z2=90°X/OB=OD, 么ZB,而/ADC=ZB,./+/ADC=Z

12、ADO=90°,即CDOD.又.OD是。O的半徑， 直線CD是。O的切線；解：二.在直角"DB中，AB=J5,BD=2, 根據勾股定理知，AD=、AB2-BD2=1 .AEXAB,ZEAB=90°.又/ADB=90°, AEDs/baD,ADBD口.12 '1=,即=,AEBAAE,5解得，AE=,即線段AE的長度是聶.22【中】如圖，在ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。O分別交BC、AC于D、E兩點,過點D作DFLAC,垂足為F.求證：DF是。O的切線；若Ae=De,DF=2,求。O的半徑.【答案】證明：連接OD,如圖, .AB=AC,.&

13、#163;=ZB,-.OD=OB,zB=Z1,zC=Z1,.OD/AC.z2=ZFDO, .DFXAC,z2=90°,zFDO=90°, .OD為半徑， .FD是OO的切線;解：:AB是。O的直徑，"DB=90,即AD ±BC,.AC=AB,生Z4.Ed=Db而Ae=De,.De=Db=Ae,ZB=2么，ZB=60°,#=60°,zOBD為等邊三角形,在RtACFD中，DF=2,ZCDF=30CF=132.3DF=,34.3CD=2CF=3.-c4.3-DB=,3即。o的半徑為火3 3.OB=DB=43,3【易】如圖，ABC為等腰三角

14、形，AB=AC,O是底邊BC的中點，OO與腰AB相切于點D,求證：AC與。O相切.【答案】證明：連接OD,過點O作OELAC于E點,貝叱OEC=90.AB切。O于D,.-.OD±AB,dODB=90°, .dDDB=ZOEC又。是BC的中點， .OB=OC,.AB=AC,.ZB=ZC, OBDzOCE, .OE=OD,即OE是。O的半徑,測一測1:【中】如圖所示，已知AB是圓O的直徑，圓O過BC的中點D,且DELAC.(1)求證：DE是圓O的切線；(2)若/C=30°,CD=10cm,求圓O的半徑=.【答案】證明：連接OD,.D是BC的中點，。為AB的中點,.OD

15、/AC.X/DE±AC, ODIDE,.OD為半徑， .DE是圓O的切線.(2)解：連接AD;.AB是圓O的直徑，"DB=90=/ADC,二.ADC是直角三角形.ZC=30°,CD=10,.AD.OD/AC,OD=OB,ZB=30二.HAD是等邊三角形,103.OD=AD=3圓O的半徑為10 3cm測一測2:【易】如圖，已知O是正方形ABCD對角線上一點，以O為圓心、OA長為半徑的。與BC相切于M,與AB、AD分別相交于E、F.求證：CD與。O相切若正方形ABCD的邊長為1,求。O的半徑=DC解:過。作ON±CD于N,連接OM,則OM±BC.

16、.AC是正方形ABCD的對角線, .AC是BCD的平分線. .OM=ON,即圓心O到CD的距離等于。O的半徑, CD與。O相切；(2)由(1)易知AMOC為等腰直角三角形，OM為半徑，.OM=MC=12_2_2_.OCOMMC112.ACAOOC12.ABC是等腰直角三角形4.切線長定理及三角形的內切圓例題6:【易】如圖，PA、PB、DE分別切。于A、B、C,DE分別交PA、PB于D、E,已知P到。O的切線長為8cm,則4PDE的周長為（）A.16cmB.14cmC.18cmD.12cm【答案】A【解析】解：:PA、PB、DE分別切。于A、B、C,.PA=PB,DA=DC,EC=EB;，C#D

17、E=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16.ZPDE的周長為16.【易】如圖RtMBC中，ZC=90°AC=6,BC=8,則9BC的內切圓半徑r=【答案】2【解析】解：如圖在RtABC,/C=90°,AC=6,BC=8;根據勾股定理AB=.AC2+BC2=10;四邊形OECF中，OE=OF,ZOEC=ZOFC=ZC=90，四邊形OECF是正方形；由切線長定理，得：AD=AF,BD=BE,CE=CF;1.CE=CF=(AC+BC-AB);2rr1，即：r=(6+8-10)=2.2則三角形的周長為測一測1:【易】RtAABC中，ZC=90°

18、AB=5,內切圓半徑為1,解：連接 OA、 OB、 OC、 OD、 OE、 OF,。是那BC的內切圓，切點分別是 D、E、F,.-.OD ±AC , OE ± AB , OF ±BC, AD=AE , BE=BF ,QDC= ZOFC= ZACB=90 ° ,.OD=OF ,，四邊形ODCF是正方形，.CD=OD=OF=CF=1,. AD=AE , BF=BE ,.AE+BE=AB=5 ,.AD+BF=5 ,ABC 的周長是：AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=5+1+1+5=12三、圓與圓的位置關系例題7:【易】圖中圓與圓之間不同的位置關系

19、有（C.4種D.5種【答案】A相交和內切.故【解析】由圖形可以看出圖中的圓有兩個交點和有一個交點的兩種位置關系,選A.【易】已知。Oi與。2的半徑分別是a、b,且a、b滿足a2J3b0,圓心距O1O25則兩圓的位置關系是.【答案】外切【解析】解：:a2技衛0.a-2=0,3-b=0解得：a=2,b=3圓心距O1O252+3=5，兩圓外切故答案為：外切.【易】已知：半徑分別為3cm和5cm的兩圓相切，則兩圓圓心距d為（）A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.2cm<d<8cm【答案】C【解析】兩圓半徑分別為3cm、5cm,兩圓圓心距為d,.d的取值范圍為5cm-3cmvdv5cm+3cm,即2cmvdv8cm.故選D.測一測1 :如果半徑分別是2cm和3cm的兩圓外切，那么這兩個圓的圓心距是（A.1cmB