1、第11講二次函數考綱要求備考指津1.理解二次函數的有關概念2會用描點法畫二次函數的圖象，能從圖象上認識二次函數的性質3會根據公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸(公式不要求記憶和推導)，并能掌握二次函數圖象的平移4熟練掌握二次函數解析式的求法，并能用它解決有關的實際問題5會用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.二次函數是中考的重點內容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式、幾何知識等結合在一起綜合考查，且一般為壓軸題中考命題不僅考查二次函數的概念、圖象和性質等基礎知識，而且注重多個知識點的綜合考查以及對學生應用二次函數解決實際問題能力的考查考點一二次函數的概念一般地，如果y

2、ax2bxc(a，b，c是常數，a0)，那么y叫做x的二次函數注意：(1)二次項系數a0；(2)ax2bxc必須是整式；(3)一次項可以為零，常數項也可以為零，一次項和常數項可以同時為零；(4)自變量x的取值范圍是全體實數考點二二次函數的圖象及性質二次函數yax2bxc(a，b，c為常數，a0)圖象(a0)(a0)開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x直線x頂點坐標增減性當x時，y隨x的增大而減小；當x時，y隨x的增大而增大當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減小最值當x時，y有最小值當x時，y有最大值考點三二次函數圖象的特征與a，b，c及b24ac的符號之間的關系考點四二次函數圖

3、象的平移拋物線yax2與ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中|a|相同，則圖象的形狀和大小都相同，只是位置的不同它們之間的平移關系如下表：考點五二次函數關系式的確定設一般式：yax2bxc(a0)若已知條件是圖象上三個點的坐標，則設一般式yax2bxc(a0)，將已知條件代入，求出a，b，c的值考點六二次函數與一元二次方程的關系1二次函數yax2bxc(a0)，當y0時，就變成了ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a0)的解是拋物線與x軸交點的橫坐標3當b24ac0時，拋物線與x軸有兩個不同的交點；當b24ac0時，拋物線與x軸有一個交點；當b24ac0時，拋物線與x軸沒有交點1

4、當m_時，函數y(m3)xm274是二次函數2二次函數y(x4)25的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是()A向上，直線x4，(4,5)B向上，直線x4，(4,5)C向上，直線x4，(4，5)D向下，直線x4，(4,5)3已知二次函數yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結論正確的是()Aa0Bc0Cb24ac0 Dabc04二次函數yax2bxc的圖象如圖所示，那么abc，b24ac,2ab,4a2bc這四個代數式中，值為正的有()A4個 B3個C2個 D1個5把拋物線y2x2向上平移5個單位，所得拋物線的解析式為()Ay2x25By2x25Cy2(x5)2Dy2(x5)26已知二次函數y

5、x22xm的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程x22xm0的解為_7如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；(2)求這條拋物線的解析式；(3)若要搭建一個矩形“支撐架”ADDCCB，使C，D點在拋物線上，A，B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？一、二次函數的圖象及性質【例1】 (1)二次函數y3x26x5的圖象的頂點坐標是()A(1,8) B(1,8)C(1,2) D(1，4)(2)已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，且經過點(1，y1)

6、，(2，y2)，試比較y1和y2的大小：y1_y2.(填“”“”或“”)解析：(1)拋物線的頂點坐標可以利用頂點坐標公式或配方法來求1，8.二次函數y3x26x5的圖象的頂點坐標是(1,8)(2)點(1，y1)，(2，y2)不在對稱軸的同一側，不能直接利用二次函數的增減性來判斷y1，y2的大小，可先根據拋物線關于對稱軸的對稱性，然后再用二次函數的增減性即可設拋物線經過點(0，y3)，拋物線對稱軸為直線x1，點(0，y3)與點(2，y2)關于直線x1對稱y3y2.a0，當x1時，y隨x的增大而減小y1y3.y1y2.答案：(1)A(2)1將拋物線解析式寫成ya(xh)2k的形式，則頂點坐標為(h

7、，k)，對稱軸為直線xh，也可應用對稱軸公式x，頂點坐標來求頂點坐標及對稱軸2比較兩個二次函數值大小的方法：(1)直接代入自變量求值法；(2)當自變量在對稱軸兩側時，看兩個數到對稱軸的距離及函數值的增減性判斷；(3)當自變量在對稱軸同側時，根據函數值的增減性判斷二、利用二次函數圖象判斷a，b，c的符號【例2】 如圖所示，二次函數yax2bxc的圖象開口向上，圖象經過點(1,2)和(1,0)，且與y軸交于負半軸(1)給出四個結論：a0；b0；c0；abc0，其中正確結論的序號是_；(2)給出四個結論：abc0；2ab0；ac1；a1.其中正確結論的序號是_解析：(1)拋物線開口向上，a0；對稱軸

8、在y軸右側，0，b0；與y軸的交點在x軸下方，c0；當x1時，y0，abc0，故填.(2)由(1)問知a0，b0，c0，abc0；又知1，2ab0；又知x1時，y0；x1時，y2，ac1；又知c0，a1c1，故填答案：(1)(2)根據二次函數的圖象確定有關代數式的符號，是二次函數中的一類典型的數形結合問題，具有較強的推理性解題時應注意開口方向與a的關系，拋物線與y軸的交點與c的關系，對稱軸與a，b的關系，拋物線與x軸交點數目與b2-4ac的符號的關系；當x=1時，決定a+b+c的符號，當x=-1時，決定a-b+c的符號在此基礎上，還可推出其他代數式的符號運用數形結合的思想更直觀、更簡捷已知二次

9、函數yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，有下列結論：b24ac0；abc0；8ac0；9a3bc0.其中，正確結論的個數是()A1 B2 C3 D4三、二次函數圖象的平移【例3】 二次函數y2x24x1的圖象怎樣平移得到y2x2的圖象()A向左平移1個單位，再向上平移3個單位B向右平移1個單位，再向上平移3個單位C向左平移1個單位，再向下平移3個單位D向右平移1個單位，再向下平移3個單位解析：首先將二次函數的解析式配方化為頂點式，然后確定如何平移，即y2x24x12(x1)23，將該函數圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位就得到y2x2的圖象答案：C二次函數圖象的平移實際上就是頂點位置的

10、變換，因此先將二次函數解析式轉化為頂點式確定其頂點坐標，然后按照“左加右減、上加下減”的規律進行操作四、確定二次函數的解析式【例4】 已知一拋物線與x軸的交點是A(2,0)，B(1,0)，且經過點C(2,8)(1)求該拋物線的表達式；(2)求該拋物線的頂點坐標解：(1)設這個拋物線的表達式為yax2bxC由已知拋物線經過A(2,0)，B(1,0)，C(2,8)三點，得解這個方程組，得所以所求拋物線的表達式為y2x22x4.(2)y2x22x422，所以該拋物線的頂點坐標是.用待定系數法求二次函數解析式，根據已知條件，用圖象上三個點的坐標，設一般式求解五、二次函數的實際應用【例5】 某商品的進價

11、為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件(每件售價不能高于65元)設每件商品的售價上漲x元(x為正整數)，每個月的銷售利潤為y元(1)求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？(3)每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2 200元？根據以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2 200元？解：(1)y(21010x)(50x40)10x2110x2 100(0x15且x為整數)；(2)y10(x5.5)22 402.5.a

12、100，當x5.5時，y有最大值2 402.5.0x15，且x為整數，當x5時，50x55，y2 400(元)，當x6時，50x56，y2 400(元)，當售價定為每件55或56元時，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2 400元(3)當y2 200時，10x2110x2 1002 200，解得x11，x210.當x1時，50x51，當x10時，50x60.當售價定為每件51或60元時，每個月的利潤為2 200元當售價不低于51元且不高于60元且為整數時，每個月的利潤不低于2 200元(或當售價分別為51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元時，每個月的利潤不低于2 200元)

13、運用二次函數的性質解決生活和實際生產中的最大值和最小值問題是最常見的題目類型，解決這類問題的方法是：1列出二次函數的關系式，列關系式時，要根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍2在自變量取值范圍內，運用公式法或配方法求出二次函數的最大值和最小值1(2012四川樂山)二次函數yax2bx1(a0)的圖象的頂點在第一象限，且過點(1,0)設tab1，則t值的變化范圍是()A0t1 B0t2C1t2 D1t12(2011湖南株洲)某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線yx24x(單位：米)的一部分，則水噴出的最大高度是

14、()A4米 B3米 C2米 D1米3(2011四川雅安)已知二次函數yax2bxc的圖象如圖，其對稱軸x1，給出下列結果b24ac，abc0，2ab0，abc0，abc0，則正確的結論是()A BC D4(2012浙江寧波)把二次函數y(x1)22的圖象繞原點旋轉180°后得到的圖象的解析式為_5(2011山東棗莊)拋物線yax2bxc上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x21012y04664從上表可知，下列說法中正確的是_(填寫序號)拋物線與x軸的一個交點為(3,0)；函數yax2bxc的最大值為6；拋物線的對稱軸是x；在對稱軸左側，y隨x增大而增大6(2012湖南益陽)

15、已知，如圖，拋物線ya(x1)2c與x軸交于點A(1，0)和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P(1,3)處(1)求原拋物線的解析式；(2)學校舉行班徽設計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P作x軸的平行線交拋物線于C，D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠；而且小明通過計算驚奇地發現這個“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比(約等于0.618)請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？(參考數據：2.236，2.449，結果可保留根號)1二次函數y4x2mx5

16、，當x2時，y隨x的增大而減小；當x2時，y隨x的增大而增大，則當x1時，y的值為()A7 B1 C17 D252將二次函數yx22x3化為y(xh)2k的形式，結果為()Ay(x1)24 By(x1)24Cy(x1)22 Dy(x1)223函數yx22x2的圖象如圖所示，根據其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范圍是()A1x3 B1x3Cx1或x3 Dx1或x34已知一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩個實數根x1，x2滿足x1x24和x1·x23，那么二次函數yax2bxc(a0)的圖象有可能是()5已知函數yax2bxc(a0)，當x3時，函數取得最大值，且最大值為4

17、，當x0時，y14，則函數表達式為_6二次函數y2x22kx3的頂點在x軸上，則k_.7拋物線yx2bxc的圖象如圖所示，若將其向左平移2個單位，再向下平移3個單位，則平移后的解析式為_8某市政府大力扶持大學生創業李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈銷售過程中發現，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似的看做一次函數：y10x500.(1)設李明每月獲得利潤為w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？(2)如果李明想要每月獲得2 000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？(3)根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月

18、獲得的利潤不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本進價×銷售量)參考答案基礎自主導學自主測試132.A3.D4.A5.A6.x11，x237解：(1)M(12,0)，P(6,6)(2)設拋物線解析式為ya(x6)26.拋物線ya(x6)26經過點(0,0)，0a(06)26，即a.拋物線解析式為y(x6)26，即yx22x(3)設A(m,0)，則B(12m,0)，C(12m，m22m)，D(m，m22m)“支撐架”總長ADDCCB(122m)m22m12(m3)215.此二次函數的圖象開口向下，當m3時，ADDCCB有最大值為15米規律方法探究變式訓練D知能優化訓練中考回顧1B2.A3.D4.y(x1)22 56解：(1)P與P(1,3)關于x軸對稱，P點坐標為(1，3)拋物線ya(x1)2c過點A(1，0)，頂點是P(1，3)，解得則拋物線的解析式為y(x1)23，即yx22x2.(2)CD平行x軸，P(1,3)在CD上，C，D兩點縱坐標為3.由(x1)233得x11，x21，C，D兩點的坐標分別為(1，3)，(1，3)CD2.“W”圖案的高與寬(CD)的比(或約等于0.612 4)模擬預測1D2.D3.D4.C5y2x212x146.±7yx22x8解：(1)由題意，得(x20)·y(x20)·(10x500)10x