1、授課主要內(nèi)容教學方法與說明引 言一、電動力學的研究對象電動力學研究電磁場的基本屬性 ，運動規(guī)律及其與帶電物質(zhì)之 間的相互作用。電磁場是物質(zhì)世界的重要組成部分，是我們每天都要接觸到的， 無論是照明，通訊及生活的方方面面，都離不開電磁場。電磁場對生 產(chǎn)科研的重要性自不必說。二、電動力學發(fā)展簡史任何一門學科都是人類生產(chǎn)斗爭，科學實驗的經(jīng)驗總結，電動力學也是如此。最初,人們研究靜電，靜磁,電流等現(xiàn)象，得到一些實驗定律，例如庫 侖定律（1785年，法國物理學家?guī)靵觯厞W一薩伐爾定律。但并未 認識電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系。1820年7月21日，丹麥物 理學家奧斯特（關于磁針上電流碰撞的實驗）發(fā)現(xiàn)電流

2、的磁效應。 據(jù)此，人們知道了“電”能生“磁”。1821年，英國物理學家法拉第開始考慮“磁”能否生“電”。歷經(jīng)十年艱辛探索，法拉第終于 在1831年8月26日，發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象，1851年建立了電磁感應 定律的數(shù)學表達式。法拉第還提出“場”的思想（電荷和電荷之間 的作用不是超距作用，而是借助于電場），為建立電磁場的數(shù)學理 論提供了物理依據(jù)。以后人們才把電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象統(tǒng)一起來討論。 英國數(shù)學物理學家麥克斯韋總結了 1785年以來的電磁學實驗和相 關規(guī)律，在法拉第提出的場的物理觀念基礎上， 于1862年提出“位 移電流”的新概念，終于在 1864年，把電磁學規(guī)律統(tǒng)一起來，總 結為麥克斯韋方程組。原始

3、形式包括 20個變量，20個方程，其中 包括已經(jīng)不再作為電磁場基本方程的公式，比如庫侖定律、歐姆定律、安培定律、畢奧一薩伐爾定律，位移電流、電流連續(xù)性方程等。 在理論上預言了電磁波的存在。1888年，德國物理學家赫茲用實驗 中實現(xiàn)了電磁波，證明了麥克斯韋理論的正確性，并于1890年把麥克斯韋方程組的原來形式，改造成為現(xiàn)在的通用形式。電磁波的發(fā)現(xiàn)和現(xiàn)代無線電技術的發(fā)展豐富了電磁場理論。但 是，人們對電磁場的本質(zhì)認識卻仍然包含著很大錯誤，即把電磁場 理解為某種“絕對靜止”地充滿整個空間的，類似于彈性介質(zhì)的“以 太”的運動形態(tài)。但在對運動介質(zhì)中電磁現(xiàn)象的進一步研究中，表 明了這種理論存在的根本困難。

4、1905年愛因斯坦提出真空中光速不 變原理和狹義相對性原理，建立了 “狹義相對論”，建立了新的時空 觀（時空是物質(zhì)運動的屬性），否定了牛頓時代的時空觀（時空是 獨立于物質(zhì)運動的客體，空間框框，時間之流，然后再把物質(zhì)放入 其中），使電動力學在新的時空理論基礎上，發(fā)展成為完整的、適 用于任何慣性參照系的理論。狹義相對論是現(xiàn)在物理學發(fā)展的重要 理論基礎之一，對物理學的發(fā)展具有深遠的影響。1915年，愛因斯 坦提出了“廣義相對論”，認為時空是彎曲的（分布決定幾何，幾 何決定運動）。20世紀30年代以后,隨著量子力學的建立，又發(fā)展了“量子電動 力學”（費曼），成為研究微觀世界電磁現(xiàn)象的有力工具。近些年來

5、 的進一步研究，又發(fā)現(xiàn)了電磁相互作用與弱相互作用在本質(zhì)上是統(tǒng) 一的，建立了弱電統(tǒng)一理論，并得到了實驗的驗證。現(xiàn)在人們正在 為四大相互作用的統(tǒng)一而努力著。 超弦理論是其中最有可能的候選 者之一。三、電動力學課程的基本內(nèi)容1.電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律2與時間無關的電磁問題，靜電，靜磁（相對于觀察者來說，靜 止不動）。3.電磁波的傳播和輻射（與時間有關，我們研究的只是這兩個方面）。4.狹義相對論的基礎。四、學習電動力學的目的電動力學是普通物理“電磁學”的后續(xù)課 ，電磁學著重于電磁場 的基本性質(zhì)和基本概念，而電動力學在電磁學的基礎上更深入討論電 磁場的本質(zhì)。比起電磁學來，理論性更強，使用更多的數(shù)學工具。學習

6、本課程,首先要掌握電磁場的基本規(guī)律和加深對電磁場物質(zhì) 性的理解。其次，要掌握本課程的基本思想方法和相應的數(shù)學方法， 并能用這些方法解決實際問題。最后，通過相對論的學習，進一步加 深對時空本質(zhì)的認識及其它物理規(guī)律本質(zhì)的認識。學生通過本門課程 的學習，提高分析處理問題的水平和增強理論思維能力。五、知識前提1. 普通物理（主要是電磁學），初等微積分，矢量代數(shù) 一應很熟 悉2. 矢量分析，場論基礎一作為本課程的第O章3. 數(shù)理方法（程），特殊函數(shù)一提到時應該能理解六、參考書目羅春榮電動力學西安交通大學出版社 2000 （第三版）尹真電動力學科學出版社2005 （第二版）汪德新電動力學科學出版社2005

7、其它說明1.課前預習,課后復習2. 課中認真聽講，及時溝通，記筆記（三方面的信息都要記，板 書，語言，動作）3. 利用好輔導答疑時間，及時完成作業(yè)4. 本課程沒有期末總復習，不圈定考核重點第O章數(shù)學準備第一節(jié)矢量分析與場論基礎在電動力學中應用較多的數(shù)學知識是矢量分析與場論基礎。因而,我們首先對這兩方面的有關內(nèi)容進行總結歸納主要是為了應用而不追求數(shù)學上的嚴格.一、矢量代數(shù)1. 兩個矢量的點乘、叉乘VV右 a (a1,a2,a3)b (b1,b2,b3)則V，b的點乘(也稱標量積)V VVVVVVVa ba1b1a2b2a3b3( a bb aa b COS)a1 a2 a3b1b2b3V，b的叉

8、乘(也稱矢量積)ea2b3 a3b2) e2(a3b1 a1b3) e3(a1b2 a2b1)a b的大小 a b Sin ,為a, b的夾角方向：既垂直于a,又垂直于b,與a,b滿足右手螺旋關系叉乘的不可交換性a b b a2. 三個矢量的混合積V (V b) G& b)1 C2& b)2 C3(V b)3= c1(a2b3a3b2) C2(a3b1 a1b3) C3(a1b2 a2b1)幾何解釋：以a,b,c為棱的平行六面體的體積性質(zhì)：(1)輪換不變性，在點乘號，叉乘號位置不變的情況下，把矢量按順序輪換，其混合積不變V (V (V)VVV VVV b (C a) C (a

9、b)(2)若只把兩個矢量對調(diào)V (V (V),混合積反號。V(VIV) bV VVVV(a C)C (b a)(3)若矢量位置不變只交換點乘號叉乘號,混合積不變一但必須先做叉乘(用括號保證這個順序V(bC)。(VIv) V3.三個矢量的叉乘(VVb)Ve1C1a2b3a3b2Ve2C2a3b1aib3Ve3C3a1 b2a? bf1 C2(a1b2 a2b1)a1(C2b2 C3b3) b1(c2a2 C3a3) 印(晌 C2b2 c3b3) a1(c b) b1(C a)V V2 a2(c b)c3(a3b1 a1b3)b1 (CIaI c2a2 c3a3)同理b2(V V)V V3 a3(

10、c b)V V b3(c a)故 V(VlV)V Vf (VV)V (V V)IV而(VV)V (V V)b (V IV)V二者都是：把括號外的矢量與離它較遠的矢量點乘， 再乘以另一矢量所得的項取正號，把括號外的矢量與離它較近的矢量點乘，再乘以另一矢量所得的項取負號。兩者取和。(遠正近負，再取和”)、場的概念 在許多科學技術問題中，常常要考慮某種物理量（如溫度、密度、電 勢、力、速度）在空間的分布和變化規(guī)律。這是需要引入場的概念。 如果在全部空間或部分空間里的每一點.，都對應著某個物理量的一個 確定的值，就說在這空間里確定了該物理量的一個場。1. 數(shù)學上，場是空間時間的函數(shù)時間坐標t空間坐標X

11、（x, y,z） ix Vy kz， v, ,k構成右手系。標量場空間的每一個點對應一個標量矢量場空間的每一個點對應一個矢量張量場空間的每一個點對應一個張量2物理上，描述某一物理客體，具有一定分布規(guī)律的物理量3.記號標量場(X)矢量場V V V F F(X)張量場T T(4場中的物理量在各點處的對應值隨時間變化的，這個場稱為穩(wěn)定場；否則稱為不穩(wěn)定場。三、場分析及其微分特征量（矢量微分）整體上來看分析場的奇異性，斂散性局域上來看 函數(shù)某點附近的性質(zhì)，微分特征量。1梯度在標量場中，標量的分布情況，可以將借助等值面或等值線來進 行了解。但是這只能大致地了解到標量在場中總的分布情況，是一種整體性的了解

12、。 而研究標量場的另一個重要方面，就是還要對它作局部性的了解，即還要考察標量在場中各個點的鄰域內(nèi)沿每個方向的 變化情況。為此，弓I入方向?qū)?shù)，梯度的概念。方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)給出了函數(shù)(V)在給定點處沿某個方向的變化率問題。然 而從場中的給定點出發(fā)，有無窮多個方向，函數(shù)沿哪個方向的變化率 最大呢？最大變化率為多少呢？帶著這些問題，我們來看方向?qū)?shù)。函數(shù)(V)在M點i方向上的方向?qū)?shù)為(場的空間坐標為 V V(I)d &) dx(I), y(l), z(I)dl dlXyZXl y l ZlV V Xl方向上的單位矢量0 i 一 ly k Z。X cos，y cosl lllVVV-eQ e

13、z。XyZ這樣上式可以表示為ddl從該式可以看出梯度是方向?qū)?shù)的一種,方向為標量函數(shù)儀)上 CoS在Ml點I方向上的方向余弦。其余三個數(shù) 一，一，一也lXyZ可視為某一矢量的坐標(VM V e。XyZ(2) 梯度在直角坐標系下，定義梯度(gradient): grad升最快的方向，大小為其改變率數(shù)值。梯度的性質(zhì)(1) 梯度與坐標系的選取無關，只取決于場的分布;(2) 方向?qū)?shù)是梯度在該方向上的投影；(3) 梯度的方向為指向(V)增加最快的方向2. 散度：(1) 通量通量的定義，設有矢量場IV，沿某一有向曲面S的某一側(cè)面的曲面積分V V F dSS叫做矢量場F向積分所沿一側(cè)穿過曲面S的通量說明：

14、1.積分號無論幾重積分都用單重記號，看變量而定幾重積分；2. 通量可以疊加；3. 若為閉合面，?F dS，一般約定以球面的外法線方向為S正方向，穿出曲面為正，穿入曲面為負，相切為零。根據(jù)通量的正負可以得知S內(nèi)有產(chǎn)生通量的正源（源）或負源（匯、壑、閭）。但僅此還不能了解源在 S內(nèi)的分布情況以及源的 強弱程度等問題。為了描述上述問題，我們引入散度的概念。 散度V V、VVQFdS散度（diVergence）的定義 diVff lim - 旋度 （1）環(huán)量的定義：設有矢量場岸，則沿場中某一閉合的有向曲線I的 曲線積分VS 0 VS散度表示在場中一點處通量對體積的變化率，又稱為通量體密度。 也就是在該

15、點處對一個單位體積來說所穿過的通量，稱之為該點處源 的強度（散發(fā)通量或吸收通量的能力）。其符號的正負表示在該點處 有散發(fā)通量之正源或有吸收通量之負源，其絕對值IdiVVI就相應的表示在該點處散發(fā)通量或吸收通量的強度。對于流體來說，散度表示穩(wěn) 定流動的不可壓縮流體在源點處的 源頭強度，（單位時間單位體積內(nèi) 所產(chǎn)生的流體質(zhì)量）。散度的性質(zhì)（1）與坐標系的選取無關，取決于場的分布。V（2）在直角坐標系下有diVfV V?F dl稱為此矢量場按積分所取方向沿曲線I的環(huán)量。我們已知磁場中有V V?H dl I由上式可以知道，磁場 H的環(huán)量，I為通過磁場中以I為邊界的一塊 面積S的總的電流強度。顯然，僅此

16、還不能了解磁場中任一點M處通向任一方向V的電流密度（即在點M處沿V的方向，通過與V垂直 的單位面積的電流強度）。為了研究這一類問題，我們引入環(huán)量面密 度的概念。（2）環(huán)量面密度。設M為矢量場IV中的一點，在M點處取定一個方向V ,再過M任作 一微小曲面 S ,以IV為其在M點處的法矢，對此曲面，我們同時又 以S表其面積，其周界I之正向取作與V構成右手螺旋關系。則矢 量場沿I之正向的環(huán)量與面積S之比，當曲面S在保持M點于其上的條件下，沿著自身縮向M點時，若一的極限存在，則稱其為S矢量場F在點M處沿方向V的環(huán)量面密度（就是環(huán)量對面積的變化作 己u-S mM HS?mMHSd例如，在磁場強度H所構成

17、的磁場中的一點 M處，沿方向V的環(huán)量mMHSdVHZSmMdI （電流密度） dS又如在流速場V中的一點M處，沿方向V的環(huán)量面密度為mM HSHSn即為在點M處與V成右手螺旋方向的環(huán)流對面積的變化率，稱為環(huán)流密度（或環(huán)流強度）。單位時間單位面積流走的電荷電量從上面我們可以看出，環(huán)量面密度是一個和方向有關的概念，正 如標量場中的方向?qū)?shù)與方向有關一樣。 然而在標量場中，梯度矢量， 在給定點處，它的方向表出了最大方向?qū)?shù)的方向，其模即為最大方向?qū)?shù)的數(shù)值， 而且它在任意方向的投影，就給出該方向上的方 向?qū)?shù)。這種情況，給我們一種啟示，能否找到這樣一種矢量，它與 環(huán)量面密度的關系，正如梯度與方向?qū)?shù)

18、之間的關系一樣。這個矢量 我們稱之為旋度.下面，我們給出旋度的定義，（3）旋度若在矢量場F中的一點M處存在這樣的一個矢量R,矢量場F 在點M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，這個最大的數(shù)值，正好就 是IRI ,則稱矢量R為矢量場F在點M處的旋度（rotation, curl）,記作V 陽 rotF ,即V VrotF R簡言之，旋度矢量在數(shù)值和方向上標出了最大的環(huán)量面密度。（4）旋度的性質(zhì)（1）旋度與坐標系的選取無關，只取決于場的分布;（2）旋度矢量在任一方向上的投影，就等于該方向上的環(huán)量面密度,V即有rotnFV VV V?IFdIn n rotF Iim -lS 0 S 、V例子1:在磁場H中

19、，旋度rotH是在給定處，它的方向乃是最大電流 密度的方向，其模即為最大電流密度的數(shù)值，而且它在任一方向上的 投影，就給出該方向上的電流密度。在電學上稱 rotH7為電流密度矢例子2:在流速場V中，旋度rov是在給定處，它的方向是最大環(huán)流密而且它在任一方向上的投度的方向，其模即為最大環(huán)流密度的數(shù)值, 影，就給出該方向上的環(huán)流密度。(3) 在直角坐標系中V rotf例題：V V1XyZ(ZX)ey設一剛體繞過原點0的某個軸I轉(zhuǎn)動，V2 j3V，則剛體上的每一點處都具有線速度一個線速度場。由運動學知道，矢徑為V其角速度為V，從而構成XV yV Zk的點M的線速度為V VVV(2Z 3y)i ( 3

20、X z)j1y 2X)k ,求線速度IV的旋度。解：由速度場的雅可比(JaCOb)矩陣DVV2 2jV2 3k2v這說明，在剛體轉(zhuǎn)動的線速度場中，任一點M的旋度，除去一個常數(shù)因子外：恰恰等于剛體轉(zhuǎn)動的角速度(旋度因此得名)。 注，對于一個矢量f (x, y, Z) IfX fy kfz ,雅可比矩陣可以表示為fxXfx yfxZVfyDfyfyfyXyZfzfzfzXyZ其中對角元fxX-y，-之和為dIvf，其余八個正好是旋度的公式 y Z中所需要的。按照逆S順序排列，每兩個作為一組求和，其中后面的 偏導數(shù)前面加負號，并且按照V，V,k的順序排列 四、幾個重要定理1.牛頓一萊布尼茲定理VVb

21、V（b）（a）dla（由方向?qū)?shù)的公式ddlVo，得 dV VVdl ,從V到b取積分得到VVb(b)(a)adVdl)2 奧斯特羅格拉得斯基公式（或稱高斯（GauSS） 公式，奧高公式）：?f dSf dVSV閉曲面S為V的表面，ds等于ds乘以外法線方向單位矢量。（在矢量場中任取體積V ,包圍這個體積的閉合面為S ,用垂直于坐標軸的三組平行面把體積 V分割成許多無限小的六面體（分割足夠、V細，可以看成六面體），由散度的定義divfV VV ? FdS f Iimq 可知,VS 0 VS通過每個六面體表面的通量是VfdV，在 S 所圍VS一種是內(nèi)部的面，它們但是對于這兩六面體，此面的的體積V

22、中，小六面體的表面可以分成兩種: 每個同時是相鄰兩個小六面體的表面， 法線方向應當是相反的，所以此面的通量對一個六面體來說是正的對 另一個就是負的，因而在求和時，所有內(nèi)部的面上通量都互相抵消，另一種是外部的面，它們是面S的一部分，而且只是六面體的一個表 面，所以求和時只剩下這部分通量的和，由此可見，上式的右邊就是 通過面S的通量即?F ds ,最后得到V VV?f dSf dV ）SV3. 斯托克斯（StOkeS）公式：V VVV? f dlf dSLS閉曲線L為S的邊界。S方向與L成右手螺旋關系。（在矢量場X中，任取一個非閉合面S ,它的圓周界長度為I ,把S任意分割為無數(shù)多的面積元dSi，

23、ds的邊界為Ii，繞行的方向與I的繞行V VV V ? F dl 方向相同，根據(jù)旋度的定義式 nenrotFIim- l ，S MSVVVVVV對于每個面積元矢量 A的線積分為?F dlendSrotF（rotF ）eedS，-liV VVV將此結果求和？Fdl （rotF ）endSs（rotF）VndS ,沿小面積元的邊界取線積分時，內(nèi)部沿每兩個面積元的邊線都計算了兩次，而且積分的方向相反，在求和時這兩部分互相抵消，結果只剩下外邊與I重 合部分的積分值，因而得到蜒VdVFV dV ,于是最后得到i liIV VVV V?F dlF VdSFdS）enLSS4. 標量場本質(zhì)上可以由該場的梯度

24、確定，矢量場本質(zhì)上由該場的散度、旋度確定。五、微分算符（nabla，HamiItOn ,代爾）1.的性質(zhì)（1） 算符性（約定被作用量放在算符的右側(cè)）（2）矢量性（3）階微分性（4） 直角坐標系下，一 ex ey ezXyZ2二次微商(1)（ ）0X證明:eye<y Z Z y=O逆定理：反之，在單連通區(qū)域，如果某一矢量f的旋度為零0),則矢量f可表示為某個標量的梯度，稱為矢量場f的標量勢。補：單連通區(qū)域的判定辦法：對于區(qū)域內(nèi)任意選取閉合回路，都能使 之在區(qū)域內(nèi)連續(xù)收縮，若能收縮為區(qū)域內(nèi)的一點，則該區(qū)域為單連通區(qū)域(1)無孔的三維空間一單連通(2)三維空間抽出Z軸一非單連通(3)三維空間挖

25、出一個球 一單連通(4)三維空間挖出一個球殼 一非連通，球內(nèi)球外均為單連通，整體為非連通區(qū)域。(5) (2)中去掉包含Z軸的半個空間一單連通(6)除去包含閉合電路為邊界所張成的面后的空間 一單連通(2):V fXfZ fy y Zfx y ZfZXfyZXfXy0記憶：VVff0O證明A 0 )，則矢量A可表為逆定理：如果某一矢量A的散度為零(另一矢量的旋度f稱為矢量場A的矢量勢(3)2 2 2(2 2 2 )XyZ2 V 2 v2J2f2fV2fy V2fz Vf 亍2 y22 ex2ZXyeyz Zez(4)(V f)V2 V(f) 2f證明：由VZ V (aVVVVVVVb) (V b)

26、a (G a)bV(VV b)(V V)Ib故ffff 2f3.乘積場的微商，算子具有矢量性和微分性) (18)VVV(f) f () f(.19)VVV(f)ff(.20) VVVVVV(fg)g (f)f(g)(.21)V VVVVVVVV(fg) (g )f f( g)(f)gg(f)(.22)VVVV VVVVVV(f g)f(g) (f )g CJ(f)(g)f(.23)只要把看成具有矢量運算和微分運算雙重性質(zhì)的量，從這兩種 運算的特點考慮，即可得到上面這些式子。(.18)作為一個矢量，與標量 相乘，結果應是矢量，由于 又是微分算子，因而它對的乘積的作用()應得。(1.19)作為微分

27、算子，既要作用到 上，又要作用到f上，再 考慮到 的矢量性質(zhì)，必須把點乘放在正確的位置上，不能有V() 而應得f( f)兩項。（1.20）與上式道理相同，作為微分算子既要作用到上，又要 作用在f上，但叉乘號必須放到正確位置上，因而得VVff。（.21） V V根據(jù) 的微分性質(zhì)，應分別作用到f， g上，可 形式上寫為（VV） f V g g V g而且 還有矢量性 質(zhì)，可通過矢量混合積的性質(zhì)改寫，使其分別直接作用到 f和g上。 由ViVVVVV有 f v V f v g V g第二項g V g不能寫成（g f） g，因g要作用在g上。考慮到gV fV ggV gV ffg VfW g故得（V f

28、&)V(V f)V f (V)(.22)V (fg)fV Vgf V（微分性）由V VV GVVIg a g bV aIg V因而由矢量性得VVVVVVgggVffggf fg ff g f gf（f孑）v g v，因f只作用在f上同理，gfV gfV g gg fg f g fV g最后得V (f(V)(<gg )fVgf( V)g (f)g g( V)(.23)V fg gfVgg g fg g（由微分性）而由(Vgb)g G(C g)bIg V,(G b)a得a IgVg aG bVIgV a b G故fVg g fgffg fVVVVg g f g、 f(括號里面的量一個

29、一定在括號外，有一個一定在括號里面。其 腳標的量一定在括號內(nèi)，不是腳標的量一定在括號外。f表示對V作 用，因此V一定在括號里面，因此有 f V ,然后根據(jù)三個矢量叉 乘進行運算分析即可。)同理 g v g g 孑 VVdfZV于是 (VB) V ( g) (V )g g ( V) (g )v六、特別提醒以上應用 的微分運算要嚴格按照要求，規(guī)范書寫。作業(yè)：書后習題1、 2、 3、 4、 5、 6第二節(jié)-函數(shù)簡介本節(jié)是為了格林函數(shù)做基礎的，可視具體學時適當刪減。一、電荷密度的 函數(shù)表示1、數(shù)學上的函數(shù)定義質(zhì)點X 0處的函數(shù)定義為:V(X)0(v)dVV1積分區(qū)域V為包含X 0點的任意區(qū)域。可見，在

30、X 0點,(X)必為無窮大，否則不可能使包圍X 0點的小區(qū)域內(nèi)的積分為1。性質(zhì)(1)選擇性Vf(V)(V)dVf (0)， f (X)為原點V 0附近的連續(xù)函數(shù)。V為包含V 0在內(nèi)的任意區(qū)域。(2)偶函數(shù) (x)( x) (ax) (X) a更一般的函數(shù)應定義在V附近：(V V) 0 當V V時(V X)dV 1 當 V V 時V性質(zhì)選擇性f(X) (V V )dV f (V)f (V)為X點附近的連V續(xù)函數(shù)，V為包含V點在內(nèi)的任意區(qū)域。2、電荷密度：通常電荷密度是與空間位置有關的有限連續(xù)函數(shù)。如果不是有限 連續(xù)的，例如點電荷(點電荷是體積很小 ，電荷密度很大的帶電小球 的極限)，或分布在一表

31、面上或一曲線上的電荷，可用函數(shù)表示，因此我們可以用來表示 一個點電荷的電荷密度為(Xr) q (V V) 一組點電荷的電荷密度為(Xr)qi (V Xi)i 一個在原點處的電偶極子的電何密度為VVVVq的中心為坐標原(X) (P ) (X)(V)函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，以電偶極子Vl 一2V弓yvX點，兩個點電荷 q分別處于X v 0 ,該體系的電荷密度為(r)q4 R2(rR)(r)r2drsin d d4；R2(r R)r2dr q(X)q (X 2)q (X2)q(V)q-(X) X -(V)y(X) zXyZV q(V)(V)(X)其中.)在曲I線坐標系中用函數(shù)表示電荷密度。例如，在球坐標

32、系中均與分布在半徑為R的球殼上的電荷為q ,則電荷密度為V4在柱坐標系中均勻分布于半徑為 b的圓柱面上每單位長度的電荷為，則電荷密度為(r)2 b (rb)(r)rdrd dz d2 b(r b)rdr、一個有用的公式V)，(其中 r.'(X X)2 (y y)2 (Z z)2由此得由庫侖定律:4 0這個式子在V 0處是沒有意義的，那么這個式子代表什么。原來一V V1V個封閉面的面積分r3 dS ( 1) dS是有意義的。右方等于4rr(如果積分面所包含的體積包含原點)；或等于零，(如果積分面所包 含的體積不包含原點)。將上式改寫為1 2 1( )dV ( )dV rr如果體積包括原點

33、，右方等于 4 ;如果體積不包含原點，右方等于 零。因此可以用1V V(-)dV4 (X x)dVr由于其中所選的體積任意 則有V V4 (X X)這個式子的意義僅是原來的1 V(-)dS 4或O (視面所包含的體積是否包含原點)r這個式子是有實際用途的。IV證明：21r34 (V V)(此種證明并不嚴謹)rr V在r O即X V處，r3 O ,但在r O處其值是無窮大的，即它是r一個 函數(shù)。取以r O點為中心，半徑r O的小球面，由高斯定理，v2V及球面元矢量dS r2sin d d & ,有VV V-TdVdS 4rS r由關于函數(shù)的定義，有4(V V )dV 4 (當 V 在 V

34、 內(nèi))，V由于所選體積任意,因此r2 1ZV VP- 4 (x X )。rr嚴謹證明：在球坐標系中，21丄r2 (1) 0, r 0。r r rr r在r O點，-奇異，上式不成立。因此2I是這樣一個函數(shù)，它rr在r O處的值為零，只有在r O點上可能不為零。我們采用極限的方法來求此積分2 1 dV Iim21 I dVra 022 2(r a )2Iim d2 r1 dr a 00 r rr ( 22)2(r a ) 2 23a rIim d dra 0 2 2、2(r a )作積分變數(shù)變換r a ,可見上式極限存在I 2d 32 dV 12 0543 Io 4r ( 2 1)2( 2 1)

35、'其中利用tan代換，積分區(qū)間為0。2因此證明了 214(VV)。r三、函數(shù)一些其他性質(zhì)引入函數(shù)的導數(shù) (X)，f (x) (X x0)dx df(x)dx f (x0)這個式子和 (X)0定義了 (X)。函數(shù)顯然滿足了 (X)( X)由此得(X)( x)函數(shù)與函數(shù)，滿足下面的式子f(x) (X x) f(x) (X X)X (x)0(x)(X XS)(其中 XS為(X)的根),S(XS)此外又有(ax)(x)a,(x2 a2) (X a) (X a) 2 aH (x2)(X)f(x)而積分的結果上面式子的證明，只消討論雙方乘上一任意函數(shù)第三節(jié)張量代數(shù)與張量分析一、二階張量標量場，可以

36、用一個數(shù)描述，30V3矢量場FFeV ,可以用三個數(shù)描述，31i 1二階張量可以寫為TTijee ( i, j 1,2,3 ) , 32ij從上面公式可以看出，張量是具有九個分量的物理量。張量T 的九個分量寫為TIT12T13T21T22T 23T31 T32 T33當這九個分量在坐標系轉(zhuǎn)動下按照Tij aikajJk 1變化時，由它們組 成的物理量就稱為張量。若Tij Tji，稱為對稱張量，對稱張量只有六 個獨立分量。若Tij Tji稱為反對稱張量，反對稱張量只有三個獨立分 量。1.并矢兩個矢量A和B并列放在一起，它們之間不做任何運算，稱為并 矢。A和B的并矢記為AB。它是二階張量的一個特例，它有九個分 量若直角坐標系的單位基矢為V, ,則并矢AB可以寫為VVV VVVV VAB A B1 e e A B2 2 A1B3