1、第四章隨機變量的數字特征討論隨機變量數字特征的原因(1)在實際問題中，有的隨機變量的概率分布難確定，有的不可能知道，而它的一些數字特征較易確定。(2)實際應用中，人們更關心概率分布的數字特征。(3) 一些常用的重要分布，如二項分布、泊松分布、指數分布、正態分布等，只要知道了它們的某些數字特征，就能完全確定其具體 的分布。4.1 數學期望一、數學期望的概念1 .離散性隨機變量的數學期望例4. 1:大學一年級某班有32名同學，年齡情況如下：年齡171819202122人數2710841求該班同學的平均年齡解:17 2 18 7 19 10 20 8 21 4 22 12 7 10 8 4 1把上式

2、改寫為:設X為從該班任選一名同學的年齡，其概率分布為X171819202122P2/327/3210/328/324/321/32定義4.1:設離散型隨機變量 X的分布列為:x1X2X3.Xk.P1P2P3.Pk.若xkPk絕對收斂(IPxkPkxk Pk)則稱它為kkkX的數學期望或均值(此時，也稱 X的數學期望存在)，記為E(X)，即xk Pk發散，則稱X的數學期望不存在。說明:(1)隨機變量的數學期望是一個實數，它體現了隨機變量取值的平均；(2) 要注意數學期望存在的條件：xk Pk絕對k收斂；(3) 當X服從某一分布時，也稱某分布的數學期望為EX 。例4. 2:設X服從參數為p的兩點分

3、布，求EXEX=p例 4. 3:設 X?B(n,p),求 EXEX=np例4. 4:設X服從參數為？勺泊松分布，求EXEX=2 .連續型隨機變量的數學期望定義 4.2:設連續型隨機變量 X 的概率密度為f(x).若積分xf (x)dx絕對收斂，(即f (x)dx則稱它為X的數學期望或均值(此時，也稱 X的數學期望存在)，記為E(X)，即E (X ) xf (x)dx則稱X的數學期x f(x)dx望不存在。例 4.5設 X 服從 Ua,b,求 E(X)。a bEX=2例4.6設X服從參數為？勺指數分布，求EXEX=2例 4.7: X N(,)，求 EXEX=下面分析書上P101-P104例。例

4、1P101P101例3P102-103解：注意由于8:009:00, 9:0010:00者B恰有一輛車至IJ站，所以(i)8:00到車站的旅客在8:50前一定會上車，而(ii)8:20到車站的旅客則可以直到9:50才會上車。例 4 P1033 .隨機變量函數得數學期望定理4.1設隨機變量X的函數為Y =g(X),1) 若離散型隨機變量X 的分布律為/ P(XXk),k =1,2,g(xk)pk 絕對收斂，則Y 的數學期k望存在，且E(Y) Eg(X)g(xk) pkk2) ) 若連續型隨機變量X 的概率密度為f(x), Y =g(X)也是連續型隨機變量,g(x) f (x)dx絕對收斂，則Y

5、的數學期望存在，且定理4.2:設二維隨機變量(X ,Y )的函數Z=g(x,y)(1)若二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律且有i,jg(xi,yj)pij絕對收斂，則Z 的數學期望存在，且(2)若二維連續型隨機變量(X,Y)的聯合概率密度 為 f (x,y),Z=g(X,Y) 也 是 連 續 型 隨 機 變 量 g(x, y) f (x, y)dxdy 絕對收斂，則 Z 的數學期望存在，且例 5 P106例 6 P107例 7 P107以下為第一版例。并且例 4.8:設 X?U?0,?，? Y=sin X,求 E(Y )例 8 P109中,n,例4.9設(X,Y)的聯合分布律為 其/、0

6、;0 p 1; n 0, 1, 2, ;m 0,1,求 E(XY)。二 .數學期望的性質性質1:若c為常數，則E(c)=c。性質2:若c為常數，隨機變量X的數學期望存在，則:cX的數學期望存在，且E(cX尸cE(X)性質3:若二維隨機變量(X,Y)的分量X,Y的數學期望都存在，則X+Y的數學期望存在，且E(X+Y)=E(X)+E(Y)推論:若 n 維隨機變量(X1,X2,.,Xn )的分量X1,X2,.,Xn 的數學期望都存在，則X1 + X2+.+ Xn的數學期望存在，且性質4:若隨機變量X,Y相互獨立，它們的數學期望都存在，則 X?Y的數學期望存在，且推論:若隨機變量Xl,X2，.X相互獨

7、立，它們的數學期望都存在，則 XlX23Xn的數學期望存在,且性質5:若隨機變量只取非負值，又 E(X)存在，則E(X)?0。若 X Y 對任何 S ， E(X), E(Y) 存在，則E(X) E(Y)。特 別 地 ， 若 a X b,a,b 為 常 數 ， E(X) 存 在 ， 則a E(X) b。例 9 P110第一版例例4.14:設一批同類型的產品共有 N件，其中次品有M件。今從中任取n (假定n& N-M )件，記這n件中所含次品數為X,求E (X)。三.綜合性的例題(第一版)例:設X的概率密度為 .2f (x)a bx 0 x 10其它 ，3其中a,b為常數，且E (X)=。求a,b

8、的值。5注意：f(x)中有幾個未知數要建幾個方程來求之。例：射擊比賽規定：每位射手向目標獨立重復射擊四法子彈， 全未中的0分，僅中一發得 15分，恰中兩發得30分，恰中三發得55分，全中得100分。若某射手的命中率為0.6, 求他得分的數學期望。例:某水果商店，冬季每周購進一批蘋果。已知該店一周蘋果銷售量X(單位:kg)服從U1000,2000購進的蘋果在一周內售出，1kg獲純利1.5元；一周內沒售出，1kg需付耗損、儲藏等費用0.3元。問一周應購進多少千克蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤。 4-2方差一.方差的概念1、定義4.3設 隨機變量X的數學期望為E(X)，若E(X-E(X)2存在，則

9、稱它為X的方差(此 時，也稱X的方差存在)，記為D(X)或Var(X)，即D(X)=E(X-E(X) 2稱D(X)的算術平方根 Jd (X)為X的標準差或均方差，記為 (X )，即由數學期望的性質5知，若隨機變量X的方差D(X)存在，則D(X)?0o簡言之，方差 是一個非負實數。當X服從某分布時，我們也稱某分布的方差為 D(X)02、計算方差(1)若X是離散型隨機變量，其分布律為 pi=P(X=Xi),i=1,2,旦D(X)存在,則(2)若X是連續型隨機變量，其概率密度為 f(x)，且D(X)存在，則(第一版)例 1:設 X?B(1,p),求 D(X)例 2:設 X?N(?,?),求 D(X)

10、例 3:設 X?Ua,b,求 D(X)(3)D(X)=E(X 2)-(EX)2證明： P112.例 1P112例 2P112(第一版)例 4:設 X?(?)求 D(X)例 5：已知X N (10,22),Y (3)，求 E(X2 2Y2)二 .方差的性質性質1:若 C 為常數，則D(C)=0性質2:若 C 為常數,隨機變量X 的方差存在，則CX 的方差存在，且D(CX)=C 2D(X)證明由自己完成性質3:若隨機變量X,Y相互獨立，它們的方差都存在，則 X?Y的方差也存在，且D(X?Y)=D(X)+D(Y)證明： P113推論:若隨機變量Xi,X2，,Xn相互獨立，它們的方差都存在，則Xi+X

11、2 + .+Xn的方差存在, 且性質4:若隨機變量X的方差存在，對任意的常數 C?E(X)則D(X)= E(X EX )? E(X-C)2即函數g(C)=E(X-C)2在C=E(X)處達到最小值 D(X)。性質5若D(X)存在，則D(X)=0的充要條件是：P(X=E(X)=1例 3 P113第一版例：例 6: X 服從 B(n,p),求 D(X).例 7：某種商品每件表面上的疵點數X 服從泊松分布，平均每件上有0.8個疵點。若規定表面不超過一個疵點的為一等品，價值十元，表面疵點數大于1 不多于 4 的為二等品，價值 8 元。某件表面疵點數是4 個以上著為廢品，求產品價值的均值和方差。已知 X

12、(0.8)設產品價值為R.V.YY取值0810X(X4)(1X 4)(X 1)P( Y=k)P(X4=p(1X4)P(X 1)1-0.8088=P(X 4)-=1-0.1898P(X 1)p(x 2)=i-p(X 5)=0.8088-i-p(X 2)=0.1898E(X) 8 0.1898 10 0.8088 9.6 元X E(X )v D (X )，其中E(X)是X的數學期望，求E(X )和 D(X例：設隨機變量X的方差D(X)存在，且D(X)?0令.契比雪夫不等式(Chebyshev)契比雪夫不等式：設隨機變量 X的方差D(X)存在，則對任意的？?0均有D ( X )P?X-E(X)? ?

13、2或等價地D(X)P?X-E(X)?1-2例：P?X-E(X)?3斗0.8889P?X-E(X)?4 斗0.93752解：P?X-E(X)?3(?1-(3 )21=1 -91P?X-E(X)?4(?1-16Data;A=8/9; put a=;A=15/16; put a=;Run;A=0.9375 4.3幾種生要隨機變量的數學期望與方差P115這部分結果很重要，要牢記。P117,關于正態隨機變量的三個重要數據:SAS勺兩種計算公式：datap1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;p3

14、= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=; run;datap1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;run;也可以驗證數據，即以為中心，需要幾倍的標準差距離所構成的區間，其區間內的概率為上述所示。Data;q1=abs(probit(1-)/ 2);put q1=;q2=abs(probit(1-)/ 2);put q2=;q3=abs(probit(1-)/ 2);put q3=;run;q2=2dataq1=probit(1-(1 -

15、)/ 2);put q1=;q2=probit(1-(1 -)/ 2);put q2=;q3=probit(1-(1 -)/ 2);put q3=;run;q2=2注意：為中心，概率為90%,95%, 98%, 99%的區間，需要幾倍的標準差距離Data;q1=abs(probit(1-0.9)/2);put q1=;q2=abs(probit(1-0.95)/2);put q2=;q3=abs(probit(1-0.98)/2);put q3=;q3=abs(probit(1-0.99)/2);put q3=;run;比如，P 1.96 X 1.96=0.95=0.9等的結論也是常用的。幾乎

16、都成常識了。書示附表1中列出了多種常用的隨機變量的數據期望和方差。4.4協方差及相關系數一.協方差與相關系數的概念1定義定義4.4:設二維隨機變量(X,Y),它的分量的數學期望為E(X),E(Y),若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，則稱它為X,Y的協方差，記為Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)2.計算(1)用定義計算若 二 維 離 散 型 隨 機 變 量 (X,Y) 的 聯 合 概 率 分 布 律pijP(Xxi,Yyj 3=1,2?且 Cov(X,Y)存在，則E(Y)pijCov(X,Y)= i,j (xiE(X)(yj若二維連續型隨機變量(X,Y)的聯

17、合概率密度為f(x,y)H Cov(X,Y)存在，則2) 、公式在計算Cov(X,Y)時，除用定義外，有時用下述公式較方便:Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)第一版例：不講。例：設(X,Y)在圓域上服從均勻分布，判斷 X,Y是否不相關。并求Cov(X,Y)。例：設(X,Y)的聯合分布律為0,0 p 1,n 0,1,2 ,m 0,1,2, ,n求Cov(X,Y),并討論X,Y的相關性。說明：(1)Cov(X,Y)能反映X與Y之間某種聯系的程度 (2)Cov(X,Y)是有量綱的量，其值與(X,Y)的取值單位有關。3相關系數定義4.5若二維隨機變量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)

18、都存在，且D(X)?0,D(Y)?0則稱Cov(X,Y)vD(X)x/D(Y)為X,Y的相關系數，記為？XY,即Cov ( X , Y ) 廿、/d ( X )、/d (Y )定義4.6:若？y=0則稱X,Y不相關；若 XY 0稱X,Y正相關；若 XY則稱X,Y負相關4.隨機變量X,Y獨立性與不相關的關系(1)一般情況下，設xy存在，若X,Y相互獨立,則 xy 0 ，即 X,Y 不相關。22y r 上均勻分布。可知X， Y 不X,Y不相關。反之,X,Y不相關，但X,Y不一定獨立。2如例 ： (書4.31) ( X， Y) 在 D : x相關，但X， Y 不獨立。(2的別，對于二維正態分布(X,

19、Y)服從X,Y相互獨立二 協方差與相關系數的性質1.性質性質1:若X,Y的協方差Cov(X,Y)存在，則E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)性質2:若(X,Y)兩個分量的方差都存在，則D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2Cov(X,Y)推論:若(Xi,X2,Xn)各分量的方差都存在，則 性質3：設下述各式所出現的協方差都存在，則有Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(aX,Y)=a Cov(X,Y)Cov(X,X)=D(X)X2 y22 2Cov(a,X)=0 其中a為常數例3(第一版)：設(X, Y) f (x,y)例 1 P121Cov(2X+Y, X2Y)性質4:若X,Y的相關系數 XY存在，則？ XY ?1;的有Y=aX+b,即(2)? XY?=1的充要條件是：存在常數a,b且a?0得概率為1P(Y=aX+b)=1幾點說明(1) 由性質的證明可見：1 xy 1 PY aX b 1，a0 ,這時稱X與Y完全正相關；2 xy 1 PY aX b 1,a0這時稱X與Y完全負相關。完全正相關和完全負相關統稱為完全相關，當 X與Y完全相關時，(X,Y)可能取的值概