1、主講教師：朱高偉主講教師：朱高偉第第2章章 拉斯變換及其應用拉斯變換及其應用主要內容主要內容 拉斯變換的基本概念拉斯變換的基本概念 拉斯變換的運算定理拉斯變換的運算定理 拉斯反變換拉斯反變換 2.1 拉斯變換的基本概念拉斯變換的基本概念（1 1）復數、復函數）復數、復函數 復數復數復函數復函數 sj)()()(sjFsFsFyx 例例1 1 jssF 22)(（2 2）模、相角）模、相角 22yxFFsF xyFFsFarctan （3 3）復數的共軛）復數的共軛 yxjFFsF )(（4 4）解析）解析 若若F(s)在在 s 點的各階導數都存在，則點的各階導數都存在，則F(s)在在 s 點解

2、析。點解析。 模模相角相角 2.1 拉斯變換的基本概念拉斯變換的基本概念2 2 拉氏變換的定義拉氏變換的定義 0stL f (t )F(s )f (t ) edt （1 1）階躍函數）階躍函數( )( )F sf t像像原像原像3 3 常見函數的拉氏變換常見函數的拉氏變換10( )00tf tt 00111110 1ststLtedtesss（2 2）指數函數）指數函數atf (t )e 00s a tatstL f (t )eedtedt011101(s a)te()sasasa 2.1 拉斯變換的基本概念拉斯變換的基本概念（3 3）正弦函數）正弦函數00sin0 tf(t)t t001si

3、n2stj tj tstL f(t)t e dteee dtj dteej)tj(s)t-(s-j 021 001112(s j )t(s j )teej sjsj 22222211121 ssjjjsjsj2.2 拉斯變換的運算定理拉斯變換的運算定理（1 1）線性性質）線性性質（2 2）微分定理）微分定理1212L a f (t)b f (t)aF(s)bF (s) 0L fts F sf 00左tdfedtetfstst 21120000nn-nnn-n-L fts F ssfsfsff dtetfs-fst 000 右0 fssF st-stdetftfe 00證明：證明：0 0初條件下

4、有：初條件下有： sFstfLnn 2.2 拉斯變換的運算定理拉斯變換的運算定理例例2 2 求求 ?)( tL 解解. . t1t tLtL1 例例3 3 求求 ?)cos( tL 解解. . tt nsi1cos tLtL nsi1cos 11 0ss 101 221 ss22 ss2.2 拉斯變換的運算定理拉斯變換的運算定理（3 3）積分定理）積分定理 0111-fssFsdttfL 零初始條件下有：零初始條件下有： sFsdttfL 1進一步有：進一步有： 0101011211nnnnnnfsfsfssFsdttfL 個個例例4 4 求求 Lt=?=? 解解. . dttt 1 dttL

5、tL1例例5 5 求求解解. . dttt 220222111 ttsss?22 tL0111 ttsss21s dttLtL2231s 2.2 拉斯變換的運算定理拉斯變換的運算定理（4 4）實位移定理）實位移定理證明：證明：例例6 6解解. . )( 1)( 1)(atttf )(1)(1)(attLtfL )()(00sFetfLs F(s) ,at 0at 0 10t 0tf 求求 sesas11 seas 1dtetfst 00)( 左令令 0t defs 00)()( defess 00)(右 2.2 拉斯變換的運算定理拉斯變換的運算定理（5 5）復位移定理）復位移定理證明：證明：

6、)()(AsFtfeLtA dtetfestAt 0)(左令令sAs dtetfts 0)()(sF 右 dtetftAs 0)()()(AsF ate L teLt-5cos3 例例7 7例例8 8 22533 ss3225 ssss atetL 1asss 1as 1（7 7）終值定理）終值定理)(lim)(lim0sFstfst （6 6）初值定理）初值定理)(lim)(lim0sFstfst 21)(ssF 例例1010 ttf )(lim)0(sFsfs 01lim2 sss例例1111)(1)(bsasssF abbsasssfs11lim0 2.2 拉斯變換的運算定理拉斯變換的運

7、算定理用拉氏變換方法解微分方程用拉氏變換方法解微分方程)( 1)()()(21ttyatyaty ssYasas1)()(212 L變換變換0)0()0( yy)(1)(212asasssY )(1sYLty 系統微分方程系統微分方程L-1變換變換2.3 拉斯拉斯反變換反變換1( )( )2jtsjf tF s e dsj （1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）試湊法試湊法系數比較法系數比較法留數法留數法1F(s)s(sa)例例1 1 已知已知，求，求( )?f t 1 (sa)-sF(s)as(sa)1 11a ssa11atf(t)ea解解.

8、 .常見常見L變換變換 拉氏變換的定義拉氏變換的定義 0)()(dtetfsFts（2 2）單位階躍）單位階躍 常見函數常見函數L變換變換)(tfs1（5 5）指數函數）指數函數ate )(1as )(sF)( 1 t（1 1）單位脈沖）單位脈沖1)(t （3 3）單位斜坡）單位斜坡21 st（4 4）單位加速度）單位加速度31 s22t（6 6）正弦函數）正弦函數t sin)(22 s（7 7）余弦函數）余弦函數t cos)(22 ssL變換重要定理變換重要定理 課程小結課程小結 （2 2）微分定理）微分定理（5 5）復位移定理）復位移定理（1 1）線性性質）線性性質（3 3）積分定理）積分定理（4 4）實位移定理）實位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）終值定理）終值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)