1、1修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要 30 天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響， 他們的工作效率就要降低， 甲隊的工作效率是原來的五分之四， 乙隊工 作效率只有原來的十分之九。現在計劃 16 天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數盡可能 少，那么兩隊要合作幾天？解：由題意得，甲的工效為 1/20，乙的工效為 1/30 ，甲乙的合作工效為 1/20*4/5+1/30*9/10= 7/100 ,可知甲乙合作工效 甲的工效 乙的工效。又因為，要求 “兩隊合作的天數盡可能少 ”，所以應該讓做的快的甲多做， 16 天內實在 來不及的才應該讓甲乙合作完成。只有這樣才能 “兩隊合作的天數盡

2、可能少 ”。設合作時間為x天，則甲獨做時間為(16-x )天1/20* ( 16-x) +7/100*x = 1x= 10答：甲乙最短合作 10天2甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時， 16小時.丙水管單獨開，排一池水要 1 0小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管， 5小時后，再打開排水管丙，問水 池注滿還是要多少小時？解：1/20+1/16 = 9/80表示甲乙的工作效率9/80 X 5 45/80表示5小時后進水量1-45/80 = 35/80表示還要的進水量35/80 - (9/80-1/10 )= 35表示還要35小時注滿答：5小時后還要 35小時就能將水池注滿。3一件工

3、作，甲、乙合做需4 小時完成，乙、丙合做需 5 小時完成。現在先請甲、丙合做 2小時后，余下的乙還需做 6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？解：由題意知， 1/4 表示甲乙合作 1 小時的工作量， 1/5 表示乙丙合作 1 小時的工作量(1/4+1/5 ) X2 9/10表示甲做了 2小時、乙做了 4小時、丙做了 2小時的工作量。根據“甲、丙合做 2小時后，余下的乙還需做 6 小時完成 ”可知甲做 2小時、乙做 6小時、 丙做 2 小時一共的工作量為1。所以1 9/10 = 1/10表示乙做6-4= 2小時的工作量。1/10 -2 1/20表示乙的工作效率。1十1/20= 20小時表示乙

4、單獨完成需要20小時。答：乙單獨完成需要 20 小時。4一項工程， 第一天甲做， 第二天乙做， 第三天甲做， 第四天乙做， 這樣交替輪流做， 那么恰好用整數天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交 替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17 天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？解：由題意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1甲 = 11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1乙+1/甲X 0.= 1（1/甲表示甲的工作效率、 1/乙表示乙的工作效率，最后結束必須如上所示，否則第二 種做法就不比第一種多 0.5 天）1/甲=1/乙+1/甲X 0.5（因

5、為前面的工作量都相等）得到1/甲=1/乙X 2又因為 1/乙= 1/17所以 1/甲= 2/17，甲等于 17-2=8.5 天5師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2 時，徒弟完成了 120 個。當師傅完成了任務時，徒弟完成了 4/5 這批零件共有多少個？答案為 300 個120-（ 4/5 -2）= 300 個可以這樣想：師傅第一次完成了 1 /2 ，第二次也是 1 /2 ，兩次一共全部完工，那么徒弟 第二次后共完成了 4/5，可以推算出第一次完成了 4/5 的一半是 2/5 ，剛好是 120個。6一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽 6 棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10 棵。單

6、份給男生栽，平均每人栽幾棵？答案是 15 棵算式：1+( 1/6-1/10 )= 15 棵7一個池上裝有 3 根水管。甲管為進水管，乙管為出水管， 20 分鐘可將滿池水放完， 丙管也是出水管， 30 分鐘可將滿池水放完。現在先打開甲管，當水池水剛溢出時，打開乙 丙兩管用了 18 分鐘放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水 放完？答案 45 分鐘。1 + ( 1/20+1/30 )= 12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數。1/12* ( 18-12 )= 1/12*6 = 1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水,也就是甲 18 分鐘進的水。1/2 + 1

7、8= 1/36表示甲每分鐘進水最后就是1 + (1/20-1/36 )= 45分鐘。8某工程隊需要在規定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要 超過規定日期三天完成， 若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做， 恰好如期完成， 問規定日 期為幾天？答案為 6 天解：由“若乙隊去做，要超過規定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做， 恰好如期完成， ”可知：乙做 3 天的工作量=甲 2 天的工作量即：甲乙的工作效率比是 3： 2甲、乙分別做全部的的工作時間比是 2： 3時間比的差是 1 份實際時間的差是 3 天所以3+(3-2) X26天，就是甲的時間，也就是規定日期方程方法

8、：1/x+l/ (x+2) X 2+1/(x+2) X(x-2)= 1解得x= 69兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2 小時，而點完一根細蠟燭要 1 小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書， 若干分鐘后來點了， 小芳將兩支蠟燭同時熄滅， 發現粗蠟燭的長是細蠟燭的 2 倍，問：停電多少分鐘？答案為 40 分鐘。解：設停電了 x分鐘根據題意列方程1-1/120*x =( 1-1/60*x ) *2解得x= 40一件工作 ,甲、乙、丙三人合作 6 小時,乙、丙合作 2 小時 ,可以完成這件工作的 4/9 。如果甲、 乙合作 3 小時，丙做 6 小時，可以完成這件工作的 3/4 ，甲、乙、

9、丙單獨完成這件工作各需 多少小時？解：設甲的工作效率為X,乙的工作效率為 Y,丙的工作效率為 Z。則( X+Y+Z) *6=1 ；6X+2Y+2Z=2/3； 3X+3Y+6Z=2/3解的： X=1/12, Y=1/36, Z=1/18故甲乙丙單獨完成這件工作分別需要 12, 36, 18 小時 繼續追問： 我不會 3 元方程,能不能不用方程解答補充回答：甲工效=2/3-1/6 X 2)十4=1/12甲需要12天丙工效=(2/3-1/6 X 3)十3=1/,1丙需要18天乙工效=4/9-(8 X 1/18)-(6 X 1/12)/(2+6)=1/36需要 36 天補充回答： 糾正：甲乙丙工效之和

10、為 1/6乙丙合作兩小時，完成了 4/9如下三人合作 2 小時的話應該完成了 3*1/6=1/2所以甲工效為 (1/2-4/9)/2=1/36, 甲需要 36 天甲乙合作三小時，丙做 6 小時，相當甲乙丙合作 3 小時，然后丙再做 3 小時所以丙工效為 (3/4-1/2)/3=1/8, 丙需要 8 天乙工效為 1/6-1/8-1/36=1/36, 乙需要 36 天工程問題是研究工作效率、 工作時間和工作總量之間相互關系的一種應用題。 我們通常所說 的： “工程問題 ”，一般是把工作總量作為單位 “1，”因此工作效率就是工作時間的倒數。它 們的基本關系式是：工作總量 T作效率=工作時間。工程問題

11、是小學分數應用題中的一個重點， 也是一個難點。 下面列舉有關練習中常見的 幾種題型，分別進行思路分析，并加以簡要的評點，旨在使同學們掌握“工程問題 ”的解題規律和解題技巧。例 1 一項工程，由甲工程隊修建，需要 12 天，由乙工程隊修建，需要 20 天，兩隊共同 修建需要多少天？思路說明 把這項工程的工作總量看作 “1。”甲隊修建需要 12天，修建 1 天完成 這項工程的 112；乙隊修建需要 20天，修建 1 天完成這項工程的 120。甲、乙兩隊共 同修建1天，完成這項工程的1 /12+ 1/20= 2/15,工作總量“ 1中包含了多少個 2/15 , 就是兩隊共同修建完成這項工程所需要的天

12、數。1 + ( 1/12+ 1 /20)= 1-2/15= 15/2 (天) 設這項工程的全部工作量為60( 12和20的最小公倍數)，甲隊一天的工作量為 60+ 12=5，乙隊一天的工作量為 60-20=3，甲、乙兩隊合建一天的工作量為5+3=8。用工作總量除以兩隊合建一天的工作量，就是兩隊合建的天數。60-( 60- 12+ 60- 20)= 60-( 5+ 3)= 60-8= 15/ 2(天)評點這是一道工程問題的基本題， 也是工程問題中常見的題型。 上面列舉的兩種解題方 法，前者比較簡便。這種解法把工作量看作“1，”用完成工作總量所需的時間的倒數作為工作效率， 用工作總量除以工作效率和

13、， 就可以求出完成這項工程所需的時間。 工程問題一般 采用這種方法求解。練習：一段公路，甲隊單獨修要 10天完成，乙隊單獨修要 12天完成，丙隊單獨修要 15 天完成，甲、乙、丙三隊合修，需要幾天完成？例 2 一項工程，甲隊獨做 8 天完成，乙隊獨做 10 天完成，兩隊合做，多少天完成全部 工程的 3 4？思路說明 把這項工程的工作總量看作 “1，”甲隊獨做 8 天完成，一天完成這項工 程的 1 8；乙隊獨做 10 天完成，一天完成這項工程的 1 10。甲、乙兩隊合做一天，完成 這項工程的1 /8 + 1/10 = 9/40,工作總量“ 1中包含多少個甲乙效率之和，就是甲乙合做 所需要的天數。

14、甲乙合做所需時間的 34 ，就是甲乙合做完成全部工程的 34所需的時間。1 + （ 1/8+ 1 /10） X/4=1+/40X/4 = 10/3 （天）把甲、乙兩隊合做的工作量 3/4,除以甲、乙兩隊的效率之和1 /8+ 1/10 = 9/40 , 就是甲乙合做完成全部工程的 3/ 4所需要的時間。3/4+ （1/8 + 1 /10）= 3/4+9/40 = 10/3 （天）評點思路 是先求出兩隊合做一項工程所需的時間,再用乘法求出完成全部工程的3/4所需的時間。 思路 是把“3/4”看作工作總量, 工作總量除以兩隊效率之和, 就可以求 出完成全部工程的 3/4 所需的時間。兩種思路簡捷、清

15、晰,都是很好的解法。練習：一項工程,單獨完成,甲隊需 8 天,乙隊需 12 天。兩隊合干了一段時間后,還 剩這項工程的 1/6 沒完成。問甲、乙兩隊合干了幾天？例 3 東西兩鎮,甲從東鎮出發, 2小時行全程的 1/3,乙隊從西鎮出發, 2 小時行了全 程的 1 / 2。兩人同時出發,相向而行,幾小時才能相遇？思路說明 由甲 2小時行全程的 1 / 3。可知甲行完全程要 2+1/3=6（小時）；由 乙 2小時行全程的 1/2,可知乙行完全程要 2+1/2=4（小時）。求出了甲、乙行完全程各 需要的時間, 時間的倒數便是各自的速度, 進而可求出兩人速度之和, 把東西兩鎮的路程看 作“1,”除以速度

16、之和,就可求出兩人同時出發相向而行的相遇時間。綜合算式：1+（1/（ 2+1/3）1/（ 2+1/2）=1+（1/61/4）=1+5/12=12/5（小時） 由甲 2小時行了全程的 1 / 3 ,可知甲每小時行全程的 1/3+2=1/6；由乙 2小時行 全程的 1 / 2 ,可知乙每小時行全程的 1/2+2=1/4。把東西兩鎮的路程 “1,”除以甲、乙的 速度之和,就可得到兩人同時出發相向而行的相遇時間。綜合算式：1+(1/3+21/2+2)=1 + ( 1 / 6+ 1/4)= 1512= 12/ 5 (小時)評點本題沒有直接告訴甲、 乙行完全程各需的時間， 所以求出甲、 乙行完全程各需的時

17、 間或各自的速度，是解題的關鍵所在。練習：打印一份稿件，小張 5 小時可以打完份稿件的 1/3，小李 3 小時可以打完這份 稿件的 1 / 4，如果兩人合打多少小時完成？例 4 一項工程，甲、乙合做 6 天可以完成。甲獨做 18 天可以完成，乙獨做多少天可以 完成？思路說明把一項工程的工作總量看作 “1，”甲、乙合做 6 天可以完成，甲、乙合做 一天，完成這項工程的 1 / 6，甲獨做 18 天可以完成，甲做一天完成這項工程的1/18。把甲、乙工作效率之和，減去甲的工作效率1 / 1 8，就可得到乙的工作效率： 1/61/18=1/9。工作總量 “1中”包含了多少個乙的工作效率，就是乙獨做這項

18、工程的需要的時間。1+(1/61/18)= 1+1/9=9(天)評點這是一道較復雜的工程問題， 是工程問題的主要題型之一。 主要考查同學們運用分 數的基本知識及工程問題的數量關系，解決實際問題的能力。解答這類工程問題的關鍵是： 先求出獨做的隊或個人的工作效率，然后用工作總量“ 1除”以一個隊或個人的工作效率，就可以求出一個隊或個人獨做的工作時間。有的同學在解這道題時， 由于審題馬虎， 而且受基本工程問題解法的影響， 錯誤地列成：1 + ( 1 / 6 1 / 1 8) ，這是同學們應引起注意的地方。練習：一批貨物，用大小兩輛卡車同時運送， 5 小時可以運完。如果用小卡車單獨運，15 小時可以運

19、完。問大卡車單獨運幾小時可以運完？例 5 加工一批零件，單獨 1 人做，甲要 10 天完成，乙要 15 天完成，丙要 12 天完成。 如果先由甲、乙兩人合做 5 天后，剩下的由丙 1 人做，還要幾天完成？思路說明題目要求剩下的工作量由丙 1 人做，還要幾天完成， 必須知道剩下的工作 量和丙的工作效率。加工一批零件，單獨 1 人做，甲要 10 天完成，甲一天加工一批零件的 1/10；乙要 15 天完成，乙一天加工一批零件的 1/15；丙要 12 天完成，丙一天加工一批零件的 1/12。 甲、乙合做一天，完成這批零件的 1/10 + 1/ 15= 1 /6,合做5天完成這批零件的1/6X5 =5/

20、6，工作總量 “1減”去甲、乙合做 5 天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工作 量除以丙的工作效率,就可以求出剩下的工作量由丙 1 人做還要幾天完成。綜合算式：1( 1/101/15)X5+1/12=11/6X5+1/12=1/6+/12 = 2 （天）評點這是一道較復雜的工程問題， 是工程問題中的主要題型之一， 也是升學或畢業考試 中最常見的試題之一。 它的特點是求剩余部分的工作量完成的時間。 關鍵是正確求出剩余部 分的工作量。從工作總量 “ 1中”減去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同學由 于審題不細， 又受前面幾例工程問題的解法的影響， 容易錯誤地列成： 1 +( 1/1

21、01/15) X5 +/12.練習：加工一批零件，甲獨做要 8 天完成，乙獨做要 7天完成，丙獨做要 14 天完成， 三人合作 2 天后，甲因病休息，乙、丙兩人繼續合做還要幾天完成？例 6 一件工程，甲、乙合作 6 天可以完成。現在甲、乙合作 2 天后，余下的工程由乙獨 做又用 8 天正好做完。這件工程如果由甲單獨做，需要幾天完成？思路說明一件工程，甲、乙合作 6 天可以完成，可知甲、乙合作 1 天完成這件工程 的1/6，甲、乙合作2天，完成這件工程的1 /6X2 1 /3。用工作總量“ 1減去甲、乙合作 2天的工作量1/3，所得的差1 - 1 /3= 2/3，就是余下的工作量。又知余下的工程

22、由乙獨 做用了 8天正好做完， 用余下的工作量除以 8 ，就可以求出 1 天的工作量， 即乙的工作效率。 把甲、乙工作效率之和減去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率， 只要把工作總量 “1除減以甲的工作效率，就可得到甲獨做這件工程所需要的天數了。綜合算式：1+1/6-( 1-1/6X2) +8=1+1/6-( 1-1/3) +8=1+1/6-2/3+8=1+1/6-1/12= 1+1/12=12(天)評點這也是一道復雜的工程問題。 解題的關鍵是正確求出甲的工作效率。 要求出甲的工 作效率， 解題的步驟較多， 只有熟悉和掌握工程問題的結構特點和解題思路，熟練掌握前面5 道例題

23、的解題方法及解題的技能、技巧，才能正確順利地解答本題。練習：一項工程，甲、乙兩隊合做 9 天完成，乙、丙兩隊合做 12天完成，現在甲、乙 兩隊合做了 3天，接著乙、丙兩隊又合做了 6天，最后由丙隊單獨 12天完成了整個工程。 如果整個工程由甲、丙兩隊合做需要幾天完成？工程問題是研究工作效率、 工作時間和工作總量之間關系的應用題。 工程問題是小升初 奧數一個重要的分類，下面小編就為大家整理工程問題的基本思路工程問題的基本數量關系是：工作效率X工作時間=工作總量工作總量+工作時間 =工作效率工作總量十工作效率=工作時間上面這些數量關系式是在題目中給出 （或間接給出） 工作總量和工作效率的具體數 量

24、情況下進行解題用的。如果題目中沒有給出工作總量的具體數量， 也沒有給出工作效率的具體數量， 那么 我們通常把工作總量看作整體“ 1”，工作效率表示單位時間內完成工作量的幾分之幾。例 1：完成一件工作，需要甲干5 天，乙干 6 天；或者甲干 7 天，乙干 2 天。問：甲、乙單獨干這件工作各需多少天？分析與解答：分析：先對比如下一項工作甲干 5天、乙干 6天，或甲干 7天、乙干 2 天，顯而易見甲干 2天的工作 量，若換成乙干，則需要 4 天。因此，甲干 1 天的工作量，若換成乙來干，則需要 2 天。解答：甲完成這件工作需要的天數：5 + 6-2=8 （天）乙完成這件工作需要的天數：5 X 2+

25、6=16 （天）評注：我們在解難題無從下手時， 不妨把題目所交代的條件羅列下來， 認真地觀察、 比較，有時會柳暗花明的。本題運用了整體代換的數學思想，使題目的解答巧妙、簡練，更 具創造性。例2：一件工程，甲隊單獨做12天可以完成，甲隊做 3天后乙隊做 2天半可完成一半。現在甲、 乙兩隊合做若干天后， 由乙隊單獨完成， 做完后發現兩段所用時間相等。 問： 共用多少天？分析與解答：分析：甲隊的工作效率的 1/12，乙隊的工作效率是 1/8，甲、乙兩隊的工作效率和 是 1/81/12=5/24 。由于甲、乙兩隊合做的時間與乙隊單獨做的時間相同，所以甲、乙兩隊 合做的工作量與乙隊獨做的工作量之比是：（

26、1/81/12）：1/8=5：3。解答：乙隊的工作效率： （1/2 1/12 X 3）- 2=1/8甲、乙兩隊合做工作量是這件工程的 5/8，乙隊單獨做的工作量是這件工程的 3/8。完成這件工程的總天數：3/8 - 1/8 X 2=6 (天)說明：適時、恰當地運用正、反比例概念，會使問題簡單化。例 3：師徒兩人共同加工一批零件，師傅每小時加工 9 個，徒弟每小時加工 5 個。 完成任務時，徒弟比師傅少加工 120 個。這批零件共有多少個？分析與解答：分析：徒弟每小時比師傅少加工十4=30小時，那么這批零件的總個數是(例 4：一件工程，甲、乙合做需4 個零件，徒弟比師傅少加工 120 個零件需要

27、 120 9 5)X 30=420 個。6 天完成，乙、丙合做需 9 天完成，甲、丙合做需15 天完成。現在甲、乙、丙三人合做，需多少天完成？分析：由已知條件可知， 甲、乙的工作效率和是 1/6 ，乙、丙的工作效率和是 1/9， 甲、丙的工作效率和是 1/15， 1/61/91/15=31/90 ，這是甲、乙、丙三人工作效率和的 2 倍，甲、乙、丙三人的工作效率和是31/90十2=31/180，那么甲、乙、丙三人合做需要的天數是 1- 31/180=180/31 天。例 5：一件工程，甲單獨做要12小時完成，乙單獨做要 1 8小時完成。如果先由甲工作1小時，然后由乙接替甲工作1小時，再由甲接替

28、乙工作1小時兩人如此交替工作， 那么完成任務用了多少小時？分析：由已知條件可知甲的工作效率是 1/12，乙的工作效率是 1/18。先由甲工作 1 小時，然后由乙接替甲工作 1 小時，看作是甲、乙合做 1 小時。可得甲、乙合作完成任務需 要的時間是 1-(1/121/18) =36/5 小時， 實際上可以理解為甲工作了 7小時，乙工作了 7 小時，剩下的 1/36 的工作由甲再單獨完成。例6 :甲、乙、丙三隊要完成A、B兩項工程，B工程的工作量比 A工程的工作量多1/4，甲、乙、丙三隊單獨完成A工程所需的時間分別是 20天、24天、30天。為了同時完成這兩項工程，先派甲做A工程，乙、丙兩隊共同做B工程；經過幾天后，又調丙隊與甲隊共同完成 A,結果A、B兩項工程同時完成。問：丙隊與乙隊合作了多少天？分析：令A工作總量為1,則B工程的工作總量是 5/4 , A、B兩項工程的工作總量 是9/4，則甲、乙、丙三隊完成A、B兩項工程的時間就可以求出，是9/4 -( 1/20 + 1/24 +1/30) =18天。乙隊干 18天的工作量為 1/24X 18=3/4,剩下的 5/43/4=1/2 就是丙做的： 1/2 - 1/