1、炎德·英才大聯(lián)考湖南師大附中2019屆高三月考試卷(三)數(shù)學(xué)(理科)命題人：朱海棠賀祝華張?zhí)炱綒W陽(yáng)普審題：高三數(shù)學(xué)備課組時(shí)量：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知復(fù)數(shù)z2i，則下列結(jié)論中正確的是(C)Az的虛部為i B|z|2 Cz2為純虛數(shù) Dz1i【解析】由已知，z2i1i，則z的虛部為1，|z|，z22i為純虛數(shù)，z1i，故選C.2設(shè)xR，若“|xa|<1(aR)”是“x2x2>0”的充分不必要條件，則a的取值范圍是(A)A(，32，) B(，3)(2，)C(3，2) D3，

2、2【解析】由|xa|<1(aR)，解得：a1<x<a1.由x2x2>0，解得x>1或x<2.又“|xa|<1(aR)”是“x2x2>0”的充分不必要條件，1a1或a12，即a2，或a3.故選A.3已知集合A5，B1，2，C1，3，4，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(C)A6 B32 C33 D34【解析】不考慮限定條件確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為CCA36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個(gè)數(shù)確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)只有三個(gè)，故所求的個(gè)數(shù)為36333個(gè)，故選C.4設(shè)l、m、n表示不同的直線(xiàn)，、表示不同的平

3、面，給出下列4個(gè)命題：(B)若ml，且m，則l；若ml，且m，則l；若l，m，n，則lmn；若m，l，n，且n，則ml.其中正確命題的個(gè)數(shù)是A1 B2 C3 D4【解析】易知命題正確；在命題的條件下，直線(xiàn)l可能在平面內(nèi)，故命題為假；在命題的條件下，三條直線(xiàn)可以相交于一點(diǎn)，故命題為假；在命題中，由n知，n且n，由n及n，m，得nm，同理nl，故ml，命題正確故選B.5若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足不等式組且xy的最大值為9，則實(shí)數(shù)m(C)A2 B1 C1 D2【解析】令zxy，則yxz，z表示斜率為1的直線(xiàn)在y軸上的截距當(dāng)z最大值為9時(shí)，yxz過(guò)點(diǎn)A，因此xmy10過(guò)點(diǎn)A，所以m1.故選C.6某企業(yè)節(jié)能降耗技

4、術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過(guò)程中的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：x3456y2.5344.5若根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為0.7a，若生產(chǎn)7噸產(chǎn)品，預(yù)計(jì)相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為()噸(A)A5.25 B5.15 C5.5 D9.5【解析】由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得x×(3456)4.5，y×(2.5344.5)3.5，且線(xiàn)性回歸方程0.7a過(guò)樣本中心點(diǎn)(x，y)，即3.50.7×4.5a，解得a0.35，y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程是0.70.35，當(dāng)x7時(shí)，估計(jì)生產(chǎn)7噸產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為y0.7×70.355.25(噸)故選A.7設(shè)等差數(shù)

5、列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知>，且a6a7<0，則(A)A. 當(dāng)n6時(shí)，Sn取最大值 B. 當(dāng)n7時(shí)，Sn取最大值C. 當(dāng)n6時(shí)，Sn取最小值 D. 當(dāng)n7時(shí)，Sn取最小值【解析】因?yàn)?gt;，則>，即an>an1，所以數(shù)列an單調(diào)遞減因?yàn)閍6a7<0，則a60，a70，從而數(shù)列an的前6項(xiàng)都為正數(shù)，從第7項(xiàng)起，以后各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)n6時(shí)，Sn取最大值，選A.8莊子說(shuō)：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”這句話(huà)描述的是一個(gè)數(shù)列問(wèn)題，現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，若輸入某個(gè)正整數(shù)n后，輸出的S，則輸入的n的值為(C)A7 B6 C5 D4【解析】框圖首先給累加變量S賦

6、值0，給循環(huán)變量k賦值1，輸入n的值后，執(zhí)行循環(huán)體，S，k112；判斷2n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k213；判斷3n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k314；判斷4n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k415.判斷5n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k516.判斷6n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S，k617.由于輸出的S，可得：當(dāng)S，k6時(shí)，應(yīng)該滿(mǎn)足條件6n，即：5n6，可得輸入的正整數(shù)n的值為5.故選C.9設(shè)橢圓C：1(a>b>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓C上存在兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A，B，使得|AB|b，且AOB的重心為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率為(B)A. B. C. D.【解析】不妨設(shè)點(diǎn)A(x0，y0

7、)(x00，y00)，因?yàn)辄c(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)B(x0，y0)，因?yàn)閨AB|b，則y0.因?yàn)锳OB的重心為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，則c，即x0.因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C上，則1，所以1，即e2，即e，選B.10將函數(shù)f(x)sin的圖像向左平移n(n>0)個(gè)單位，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為(B)A. B. C. D.【解析】由f(x)sin向左平移n(n>0)個(gè)單位后得到函數(shù)ysin的圖像，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后得到函數(shù)ysin的圖像，因其為偶函數(shù)，故x0時(shí)，2nk，kZn，kZ.故選B.11如圖所示，

8、點(diǎn)G是ABC內(nèi)一點(diǎn)，若SAGB7，SBGC5，SAGC6，且xy，則xy(C)A. B. C. D1【解析】在GA上取一點(diǎn)E，使得，在GB上取一點(diǎn)F，使得，連接CE，EF，F(xiàn)C.SEGF××SAGB，SCGE×SAGC，SCGF×SBGC，G為CEF的重心，0，0，5670，18670.，xy，選C.12設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)xax和g(x)xlogax1的零點(diǎn)(其中a>1)，則x14x2的取值范圍是(D)A4，) B(4，) C5，) D(5，)【解析】由f(x)xax0得ax；由g(x)xlogax10得logax；因?yàn)楹瘮?shù)yax與yl

9、ogax互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)， 由得不妨設(shè)x1<x2, 由圖得x1x2>2，且x2>1, 所以x14x2x1x23x2>5，故答案選D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13計(jì)算：_4_【解析】原式4.14設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn2ann(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_an2n1_【解析】當(dāng)n1時(shí)，S12a11，則a11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，即an12(an11)則數(shù)列an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an12n，即an2n1.15某一部件由三個(gè)電子元件按如圖所示方式連接而

10、成，元件1或元件2正常工作，則部件正常工作設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000，2)，若每個(gè)元件使用壽命超過(guò)1 200小時(shí)的概率為，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)800小時(shí)的概率為_(kāi)【解析】三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000，2)，概率密度分布圖像關(guān)于x1 000(小時(shí))對(duì)稱(chēng)，每個(gè)元件使用壽命超過(guò)1 200小時(shí)的概率為，每個(gè)元件的使用壽命不超過(guò)800小時(shí)的概率為，每個(gè)元件的使用壽命超過(guò)800小時(shí)的概率為，根據(jù)此部件的結(jié)構(gòu)，元件1，2中至少有一個(gè)正常工作，元件3必須正常工作，又各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，設(shè)三

11、個(gè)元件能正常工作的事件分別記作A，B，C，該部件能正常工作的事件記作M，則M(·)·C，P(M)P(·)·P(C)(1P(·)·P(C)(1P()P()·P(C)×，故答案為.16已知函數(shù)fx2m與函數(shù)gln 3x的圖像上至少存在一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【解析】原問(wèn)題等價(jià)于hfgx2ln x3xm在有零點(diǎn)，而h2x3，知h在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又hm2，hln 22m，hln 2m，由ln 2>可判斷h>h，因而h的值域?yàn)椋謍有零點(diǎn)有m20ln 22m得m.三、解答題：共70分解

12、答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答(一)必考題：共60分17(本小題滿(mǎn)分12分)在ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知m，n(cos C，1)，且m·nb.()求角A的大小；()若a2，求ABC的面積S的最大值【解析】()由m，n(cos C，1)，且m·nb可得2acos Cc2b，(1分)由正弦定理，得2sin Acos Csin C2sin B(2分)又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，則sin C2cos Asin C(4分)因?yàn)閟i

13、n C0，則cos A.又0<A<，所以A.(6分)()因?yàn)閍2，A，由余弦定理，得b2c22bccos 4，即b2c2bc4.(8分)因?yàn)閎2c22bc，則b2c2bc2bcbcbc.所以bc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立(10分)所以Sbcsin A×4×，故ABC的面積S的最大值為.(12分)18(本小題滿(mǎn)分12分)某職稱(chēng)晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)某次參加專(zhuān)業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖(如圖所示)，規(guī)定80分(滿(mǎn)分100分)及以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失敗()求圖中a的值；()根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握

14、認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)？晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男16女50合計(jì)()將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)參考公式：K2，其中nabcd.P(K2K0)0.400.250.150.100.050.025K00.7801.3232.0722.7063.8415.024【解析】()由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1，可知(2a0.0200.0300.040)×101，解得a0.005.(2分)()由頻率分布直方圖知，晉級(jí)成功的頻率為0.200.050.25，所以晉級(jí)成功的人數(shù)為100×0.2

15、525(人)，填表如下：晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男163450女94150合計(jì)2575100(3分)假設(shè)“晉級(jí)成功”與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得K22.613>2.072，(5分)所以有超過(guò)85%的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)(6分)()由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率為10.250.75，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，這人晉級(jí)失敗的概率為0.75，所以X可視為服從二項(xiàng)分布，即XB，P(Xk)C(k0，1，2，3，4)，(8分)故P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)C，所以X的分布列為X01234P(Xk)(11分)數(shù)

16、學(xué)期望為E(X)4×3.(12分).19(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PAPD，底面ABCD是直角梯形其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2.()求證：平面PCD平面PAB；()線(xiàn)段PD上是否存在點(diǎn)Q，使得二面角QACD的平面角的正切值為，如存在，試確定這個(gè)點(diǎn)的位置；如不存在，試說(shuō)明理由【解析】()PAPD，又AD2，PDPA.(1分)又底面ABCD是直角梯形，ABAD，側(cè)面PAD底面ABCD，AB平面PAD，ABPD.(3分)ABPAA，PD平面PAB.(5分)平面PCD平面PAB.(6分)()解法一：取AD中點(diǎn)O，連接PO，則PO

17、AD，又側(cè)面PAD底面ABCD，PO底面ABCD.假設(shè)存在點(diǎn)Q，過(guò)Q作QNPO交AD于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NMAC交AC于點(diǎn)M，連接QM.PO底面ABCD，QN底面ABCD，QMN就是二面角QACD的平面角(8分)從而，設(shè)QNa，則MNa.在POD中，有PO1，QNPO，即DNa.(9分)在ACD中，有AD2，AC，CAD，由正弦定理得ACD，MNCD，從而有即.(10分)a23a，解得a.(11分)又PO1，存在符合要求的Q點(diǎn)且Q點(diǎn)為PD的中點(diǎn)(12分)解法二：取AD中點(diǎn)O，連接PO，則POAD，又側(cè)面PAD底面ABCD，PO底面ABCD.BCAD，AOBC1，ABAD，COAD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

18、OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(7分)則A(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)假設(shè)存在點(diǎn)Q(x，y，z)，可設(shè)，則(x，y，z1)(0，1，1)，從而Q(0，1)，(0，1，1)，設(shè)平面QAC的法向量為n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得n1.(9分)取平面ACD法向量為n2(0，0，1)，從而cosn1，n2，(10分)設(shè)二面角QACD的平面角為，tan 且0，從而cos ，(11分)，解得，或2(舍去)，存在符合要求的Q點(diǎn)且Q點(diǎn)為PD的中點(diǎn)(12分)20(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)

19、原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，點(diǎn)M為圓O：x2y212與拋物線(xiàn)C的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|3.()求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；()設(shè)斜率為的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|8，證明：直線(xiàn)l與圓O相切【解析】()設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為y22px(p0)，聯(lián)立x2y212，得x22px12，即(xp)2p212.因?yàn)閤0，則xp.設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，則x0p.(3分)因?yàn)閨MF|3，則x03，即3，所以p212，化簡(jiǎn)得p24p40，即(p2)20，則p2，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程是y24x.(6分)()設(shè)直線(xiàn)l的方程為xym，聯(lián)立y24x，得y24y4m0.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y

20、1y24，y1y24m.(8分)所以|AB|y1y2|····4.(9分)因?yàn)閨AB|8，則2，即2m8，所以m6，此時(shí)(4)216m>0.所以直線(xiàn)l的方程是xy6，即xy60.(11分)因?yàn)閳AO的半徑r2，圓心O到直線(xiàn)l的距離d2r，所以直線(xiàn)l與圓O相切(12分)21(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)aln(x1)(x1)2.()求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；()試證對(duì)任意的nN*，有1<.【解析】()函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，)，f(x)2(x1).(1分)(1)若a20，即a2，則f(x)0對(duì)x(1，)恒成立，故f(x)在區(qū)間(1，)上

21、單調(diào)遞增；(2分)(2)若a2<0，即a<2，則方程2x2(2a)0的兩根為x±；當(dāng)1，即a0時(shí)，f(x)0的解為x，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(4分)當(dāng)>1，即0<a<2時(shí)，f(x)0的解為x或1<x<，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 .(5分)()當(dāng)a2時(shí)，f(x)2ln(x1)(x1)2，由()知，f(x)在區(qū)間(0，1)上遞增，即對(duì)任意x(0，1)，有f(x)>f(0)1，即2ln(x1)(x1)2>1，整理得2xx2<2ln(x1)(7分)令x(k1，2，n)，則<2ln ，累加得，1&

22、lt;22ln(n1)(9分)下面證明：對(duì)任意的nN*，有l(wèi)n(n1)<.記函數(shù)g(t)2tln tt21(t>1)，則g(t)2(ln tt1)，g(t)2，當(dāng)t>1時(shí)，g(t)<0，故函數(shù)g(t)在區(qū)間(1，)上遞減，因此g(t)<g(1)0，故函數(shù)g(t)在(1，)上也單調(diào)遞減. 所以g(t)<g(1)0，即對(duì)t>1，有2tln t<t21, (11分)令t(nN*)，則2·ln <()21，故ln(n1)<.綜上所述，對(duì)任意的nN*，有1<.(12分)(二)選考題：共10分請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22(本小題滿(mǎn)分10分)在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.()若曲線(xiàn)C為雙曲線(xiàn)，求m的取值范圍；()以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系當(dāng)m1時(shí)，過(guò)點(diǎn)P(2，0)作直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于