1、一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則AGD 。本例除公共角G外,由BCAD可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（對頂角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36°，BD是角平分線，求證：ABCBCD證明：A=36°，ABC是等腰三角形，ABC=C=72°又BD平分ABC，則DBC=36°在ABC和BCD中，C為公共角，A=DBC=36°ABCBCD例3：已知，如圖，D為ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=AB

2、D，BCE=BAD求證：DBEABC證明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD=即：=在DBE和ABC中CBE=ABD, DBC公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC且=DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“相交線型”的相似三角形。(3)如圖：1=2，B=D，則ADEA

3、BC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與ECA解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF與ECA中，AEF為公共角，且所以EAFECA（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似）二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例1、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE證明：過D點(diǎn)作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，DFAC=BCFE例2

4、：已知：如圖，在ABC中，BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DMBC于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)D。求證：（1）MA2=MDME；（2）證明：（1）BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D，2=2MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，命題1 如圖，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命題2 如圖，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例3：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)

5、造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，。與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證。證明：過D點(diǎn)作DGAB交FC于G則AEFDEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）（1）D為BC的中點(diǎn)，且DGBFG為FC的中點(diǎn)則DG為CBF的中位線， （2）將（2）代入（1）得：三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例1：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：AEF=FBD證明：作FGBD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=AD

6、B=450，F(xiàn)GD=900DFG=450DG=FG=BG=又A=FGB=900AEFGBF AEF=FBD例2、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線， 求證：SQAB，RPBC分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQAB，只需證明AR：AS=BR：DS。 證明：在ADS和ARB中。DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，則，SQAB，同理可證，RPBC例3、已知A、C、E和B、F、D分別

7、是O的兩邊上的點(diǎn)，且ABED，BCFE，求證：AFCD分析：要證明AFCD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實要證明AFCD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：ABED，BCFE，兩式相乘可得： 例4、直角三角形ABC中，ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)GAC交AB于G，求證：FC=FG 分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與FC、FG相關(guān)

8、的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成證明。 證明： FGACBE，ABEAGF 則有而FCDE AEDAFC則有 又BE=DE（正方形的邊長相等），即GF=CF。例5、RtABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF證明：CO平分C，2=3，故RtCAERtCDO，又OFBC，又RtABDRtCAD，即AE=BF。1. 如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為（）

9、解：連接BDF、E分別為AD、AB中點(diǎn)，EF=BD，EFBD，AEFABD，=，AEF的面積：四邊形EFDB的面積=1：3，CD=AB，CBDC，ABCD，=，AEF與多邊形BCDFE的面積之比為1：（3+2）=1：52.如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB1，CD3，那么EF的長是()利用ABEFCD得到ABEDCE，得到，BEFBCD得到，3. 如圖，D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，DEAC，若SBDE：SCDE=1：3，則SDOE：SAOC的值為（）解：SBDE：SCDE=1：3，BE：EC=1：3；BE：BC=1：4；DEAC，DOEAOC，=，

10、SDOE：SAOC=，4.如圖，在RtABC中，AB=BC，B=90°，AC=10四邊形BDEF是ABC的內(nèi)接正方形（點(diǎn)D、E、F在三角形的邊上）則此正方形的面積是_解：在RtABC中，AB2+BC2=AC2，AB=BC，AC=102AB2=200，AB=BC=10，設(shè)EF=x，則AF=10xEFBC，AFEABC=，即=，x=5，EF=5，此正方形的面積為5×5=255. 如圖，在ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，則_.如圖，連接ED，由BD，CE分別是邊AC，AB上的中線可知BD是ABC的中位線，因此可得ED=BC，EDBC，由平行線

11、可證得OEDCOD，因此可得=2.6. 如圖，在ABC中，AB=AC，BD=CD，CEAB于E求證：ABDCBE證明：在ABC中，AB=AC，BD=CD，ADBC，CEAB，ADB=CEB=90°，又B=B，ABDCBE7. 如圖，D是ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB=4，AD=2DAC=B，若ABD的面積為a，則ACD的面積為（ ）首先證明ACDBCA，由相似三角形的性質(zhì)可得：ACD的面積：ABC的面積為1：4，因為ABD的面積為a，進(jìn)而求出ACD的面積8. 如圖，在ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，SDEF：SABF=4：25，則DE：EC=（）四邊

12、形ABCD是平行四邊形，ABCD，EAB=DEF，AFB=DFE，DEFBAFSDEF：SABF=4：25，DE：AB=2：5，AB=CD，DE：EC=2：39. 如圖，在ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，則DF=_解：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，AB=CD，AE：BE=4：3，BE：AB=3：7，BE：CD=3：7ABCD，BEFDCF，BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，DF=10如圖，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點(diǎn)O）20米的A處，則小明的影子AM長為米根據(jù)題意，易得MBAMCO，根據(jù)相似三角形

13、的性質(zhì)可知=，即=，AM=5m11. 如圖，ABCD，AD與BC交于點(diǎn)E若B=35°，D=45°，則AEC=_12. 某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量學(xué)校旗桿AC的高度，在點(diǎn)F處豎立一根長為1.5m的標(biāo)桿DF，如圖所示，量出DF的影子EF的長度為1m，再量出旗桿AC的影子BC的長度為6m，那么旗桿AC的高度為()易證ABCDEF，所以，即，所以AC9(m)13. 如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外取一點(diǎn)C，連接AC，BC，在AC上取點(diǎn)M，使AM3MC，作MNAB交BC于N，量得MN3.8m，則AB的長為_15.2mCMNCAB，AB4MN4×3.815.2(m)14. 如圖是小玲設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖在點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處已知ABBD，CDBD，且測得AB1.4m，BP2.1m，PD12m那么該古城墻CD的高度是_m反射角等于入射角APBCPD，再由ABPCDP90&#