1、直角三角形中成比例線段（二） 一、教學目的和要求 1. 使學生掌握直角三角形中成比例線段的性質。 2. 使學生會解直角三角形中，已知兩個條件（至少一邊）的題。 二、教學重點和難點 掌握直角三角形中成比例線段的關系為難點，應用為重點。 三、教學過程 （一）復習、引入 直角三角形有哪些性質？由學生回答再歸納。 （1）兩銳角互余 （2）勾股定理 （3）斜邊中線等于斜邊一半 （4）角所對的直角邊等于斜邊的一半 （5）斜邊上高線分出的兩個三角形與原三角形相似 （6）根據面積關系，兩直角邊乘積等于斜邊乘以斜邊上的高。 （二）新課 今天我們進一步研究直角三角形中成比例線段的性質。 我們知道中，于D，這里可以

2、得到三對相似三角形，分別寫出它們對應邊的比例式。（見圖1）圖1 在上面提到的三對相似三角形中都有一條公共邊，但它們不會是對應邊，將含有公共邊的比例式改寫成等積式是(1)中：這三個關系式在以前的課本上是以定理的形式出現，而現行的九年義務教育教材中此內容只是在例題中出現，考慮這個結論在以后“圓”中運用較多，而變成等積式后特點較突出對記憶有好處，建議老師仍將“射影定理”的名稱及內容告訴學生，便于以后分析問題，（但注意不可直接使用）。這三個式子反映出一條線段是其余兩條線段的比例中項，教師一定要將三條線段的位置關系分析清楚，只要明白是哪兩個三角形相似得來的，比例式自然就可寫出。 如圖2，CD是的斜邊AB

3、上的高，設，用表示圖中的關系。圖2 1. 勾股定理 2. 比例中項關系 3. 面積關系 4. 其它 通過以上關系,我們可以分析出在的六條線段中知道任意兩線段的長，可以求出其它線段的長。下面我們舉出幾種題型。 例1 如上圖CD是的斜邊AB上的高。 （1）已知： 解： 注意：求要選擇其它方法都比較麻煩，利用面積關系最簡單。 （2）已知： 解：先求利用勾股定理 （3）已知： 分析：求，必先知；與有關，而，其中是已知線段。 解： 練習：條件如例1 （1）已知： （2）已知： （3）已知： （4）已知： 請同學們充分討論。目前解題中可以直接使用射影定理，目的為了熟悉直角三角形中邊的各種關系。 例2 已知

4、：中，是直角，AD是高，AB2AC，求證：5AD2BC 分析：求證中是研究AD與BC的關系，斜邊BC與斜邊上的高，AD不會有比例關系，而AD與DC，BD有比例關系，且BCCDDB，由于，所以可利用。來求AD、BD、DC間倍數關系。圖3 證明：是直角，AD是高 （三）小結 直角三角形中的成比例線段很重要，在以后的學習中經常會遇到。其中要抓住兩直角邊、及斜邊上的高是比例中項的情況（即）。注意要使用這個關系時，還要再利用相似三角形對應邊成比例證明一下。因為它不是定理。 由于直角三角形中的關系除了射影定理外，還有勾股定理，所以在求某一線段時，關系較多，方法并不唯一，請同學們認真分析題意。一般情況下，若勾股定理或射影定理都能使用時，往往利用射影定理，因為它的計算較勾股定理簡單。 （四）作業 1. CD是的斜邊AB上的高，設，。 （1）已知：； （2）已知：； （3）已知：； （4）