1、第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要一一. 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 勻變速轉動勻變速轉動t020021tt)(20202 二二. 剛體的定軸轉動定律剛體的定軸轉動定律 剛體定軸轉動的角加速度與它所受的剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成成正比，與剛體的正比，與剛體的轉動慣量轉動慣量成反比成反比 . JM 剛體剛體轉動慣量轉動慣量mrJd22iirmJ第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理212

2、22121d21JJMW三三. 剛體定軸轉動功和能剛體定軸轉動功和能21dMW 力矩的功力矩的功 轉動動能轉動動能2k21JE 重力勢能重力勢能CmghEP 剛體的機械能守恒定律：剛體的機械能守恒定律：若只有保守力做功時若只有保守力做功時, ,恒量kPEE則則第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要四四. 剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律 剛體對轉軸的角動量：剛體對轉軸的角動量：JL tJtLMd)(ddd 角動量定理：角動量定理：112221dJJtMtt0M常量JL，則，則若若

3、 角動量守恒定律角動量守恒定律 首先分析各物體所受力和力矩情況，然后根據已首先分析各物體所受力和力矩情況，然后根據已知條件和所求物理量判斷應選用的規律，最后列方程知條件和所求物理量判斷應選用的規律，最后列方程求解求解. .五五 定軸轉動的動力學問題定軸轉動的動力學問題 解題基本步驟解題基本步驟 第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 1. 1. 求剛體轉動某瞬間的角加速度，一般求剛體轉動某瞬間的角加速度，一般轉動轉動定律求解定律求解。如質點和剛體組成的系統，對質點列牛頓。如質點和剛體組成的系統，對質點列牛頓運動方程，對剛體列轉

4、動定律方程，再列角量和線量運動方程，對剛體列轉動定律方程，再列角量和線量的關聯方程，聯立求解的關聯方程，聯立求解. . 2. 2. 剛體與質點的碰撞、打擊問題，在有心力場作剛體與質點的碰撞、打擊問題，在有心力場作用下繞力心轉動的質點問題，考慮用下繞力心轉動的質點問題，考慮用角動量守恒定律用角動量守恒定律. . 另外另外：實際問題中常常有多個復雜過程，要分成：實際問題中常常有多個復雜過程，要分成幾個階段進行分析，分別列出方程，進行求解幾個階段進行分析，分別列出方程，進行求解. . 3. 3. 在剛體所受的合外力矩不等于零時，比如木桿在剛體所受的合外力矩不等于零時，比如木桿擺動，受重力矩作用，一般

5、應用剛體的轉動擺動，受重力矩作用，一般應用剛體的轉動動能定理動能定理或機械能守恒定律求解。或機械能守恒定律求解。第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要質點運動與剛體定軸轉動描述的對照質點運動與剛體定軸轉動描述的對照質點的平動質點的平動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddt dd質量質量 m轉動慣量轉動慣量動量動量角動量角動量mrJd2JL vmP 力力力矩力矩FM第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動

6、內容提要質點運動規律與剛體定軸轉動的規律對照質點運動規律與剛體定軸轉動的規律對照運動定律運動定律amF轉動定律轉動定律JM 質點的平動質點的平動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動動量定理動量定理00dvvmmtFtt角動量定理角動量定理00dLLtMtt動量守恒定律動量守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律恒量iiimFv, 0恒量iiJM, 0力的功力的功barFWd力矩的功力矩的功0dMW動能動能2/2kvmE 轉動動能轉動動能2/2kJE 第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要質點運動規律與剛體定軸轉動的規律對照質點運動規律與剛

7、體定軸轉動的規律對照質點的平動質點的平動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動動能定理動能定理2022121vvmmW動能定理動能定理2022121JJW重力勢能重力勢能mghE p重力勢能重力勢能CpmghE 機械能守恒機械能守恒恒量pkEE只有保守力作功時只有保守力作功時機械能守恒機械能守恒恒量pkEE只有保守力作功時只有保守力作功時第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 例例 一人握有兩只啞鈴一人握有兩只啞鈴, 站在一可無摩擦地轉動站在一可無摩擦地轉動的水平平臺上的水平平臺上, 開始時兩手平握啞鈴開始時兩手平握啞鈴, 人、啞鈴、平

8、臺人、啞鈴、平臺組成的系統以一角速度旋轉組成的系統以一角速度旋轉, 后來此人將啞鈴下垂于后來此人將啞鈴下垂于身體兩側身體兩側, 在此過程中在此過程中, 系統系統(A) 角動量守恒角動量守恒, 機械能不守恒機械能不守恒; (B) 角動量守恒角動量守恒, 機械能守恒機械能守恒; (C) 角動量不守恒角動量不守恒, 機械能守恒機械能守恒; (D) 角動量不守恒角動量不守恒, 機械能不守恒機械能不守恒. 第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 例例 關于力矩有以下幾種說法關于力矩有以下幾種說法:（1）內力矩不會改變剛體對某個軸的角動量

9、）內力矩不會改變剛體對某個軸的角動量; （2）作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零）作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零; （3）質量相等）質量相等, 形狀和大小不同的兩個剛體形狀和大小不同的兩個剛體, 在相同在相同力矩的作用下力矩的作用下, 他們的角加速度一定相等他們的角加速度一定相等; 在上述說法中在上述說法中(A) 只有（只有（2）是正確的）是正確的; (B)（1）、（）、（2）是正確的）是正確的; (C)（2）、（）、（3）是正確的）是正確的; (D)（1）、（）、（2）、（）、（3）都是正確的）都是正確的. 第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版

10、）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要AMBF =Mg（A）AB ; （B）AB; （C） AB ; （D）無法確定）無法確定. 例例 如圖所示如圖所示, A、B為兩個相同的定滑輪為兩個相同的定滑輪, A 滑滑輪掛一質量為輪掛一質量為M的物體的物體, B滑輪受力滑輪受力F = Mg, 設設 A、B兩滑輪的角加速度分別為兩滑輪的角加速度分別為 A和和B ,不計滑輪的摩擦不計滑輪的摩擦,這這兩個滑輪的角加速度的兩個滑輪的角加速度的大小關系為大小關系為: AMaTMgraJJTrAAA AraJJMgrFrBBB BgMT第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉

11、動內容提要剛體的轉動內容提要(A) 動量不守恒動量不守恒, 動能守恒動能守恒; (B) 動量守恒動量守恒, 動能不守恒動能不守恒; (C) 角動量守恒角動量守恒, 動能不守恒動能不守恒; (D) 角動量不守恒角動量不守恒, 動能守恒動能守恒. 例例 人造地球衛星人造地球衛星, 繞地球作橢圓軌道運動繞地球作橢圓軌道運動, 地球地球在橢圓的一個焦點上在橢圓的一個焦點上, 則衛星的：則衛星的：第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 例例 一飛輪在時間一飛輪在時間 t t 內轉過角度內轉過角度 ，式中式中 a、b、c 都是常量，求它的

12、角加速度都是常量，求它的角加速度. .43ctbtat 324343)(ddctbtactbtatt232126)43(ddctbtctbtat解：解：第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要解（解（1）2srad8 . 05 . 04 . 0rarat 例例 一條纜索繞過一定滑輪拉動一升降機，滑輪半一條纜索繞過一定滑輪拉動一升降機，滑輪半徑徑 , 如果升降機從靜止開始以如果升降機從靜止開始以 加速度上升加速度上升, 求求 （1）滑輪角加速度；滑輪角加速度；（2） 時時角速度及轉過的圈數；角速度及轉過的圈數；（3） 時輪緣上一點

13、的時輪緣上一點的加速度加速度.2sm4 . 0am5 . 0rs5ts1t已知：已知：m5 . 0r2sm4 . 0aar2tsm4 . 0 aa第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要srad4t6 . 12n2tsm4 . 0 aa22nsm32. 0rarad10212t1srad8 .0t求（求（2） 時角速度及轉過的圈數；時角速度及轉過的圈數；s5t2srad8 . 0求（求（3） 時輪緣上一點的加速度時輪緣上一點的加速度.s1tm5 . 0r22n2tsm51. 0aaa7 .38)arctan(tnaaarnata

14、a第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要l lo0iF 0iM解：解：剛體平衡的條件剛體平衡的條件 例例 一長為一長為 l l，重為，重為W W 的均勻梯子，靠墻放置，墻的均勻梯子，靠墻放置，墻光滑，當梯子與地面成光滑，當梯子與地面成 角時處于平衡狀態，求梯子角時處于平衡狀態，求梯子與地面的摩擦力。與地面的摩擦力。02f NF01 NP 以支點以支點O為轉動中心，梯子受為轉動中心，梯子受的合外力矩：的合外力矩：0sincos22lNlPcot22fPNF1N2NPfF第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）

15、（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要xo 例例 一質量為一質量為m、長為、長為L的均勻細棒，可在水平桌面的均勻細棒，可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉動，已知細棒與桌面的上繞通過其一端的豎直固定軸轉動，已知細棒與桌面的摩擦系數為摩擦系數為 , 求棒轉動時受到的摩擦力矩的大小求棒轉動時受到的摩擦力矩的大小 dxxfFd解：解：取一小段如圖取一小段如圖xlmmdd)d(dmgxMmgLxxlmgmgxML21dd0mgFfdd第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 例例 電風扇在開啟電源后，經電風扇在開啟電源后，經

16、t1時間達到了額時間達到了額定轉速，此時相應的角速度為定轉速，此時相應的角速度為0 ，當關閉電源后，當關閉電源后，經過經過t2時間風扇停轉已知風扇轉子的轉動慣量為時間風扇停轉已知風扇轉子的轉動慣量為J，并假設摩擦阻力矩和電機的電磁力矩均為常量，并假設摩擦阻力矩和電機的電磁力矩均為常量，求電機的電磁力矩求電機的電磁力矩)11(210ttJM解：解：22110tt1fJMM2fJM 第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 例：例：求一半徑求一半徑 的飛輪對過其中心軸的的飛輪對過其中心軸的轉動慣量，在飛輪上繞以細繩，繩末端掛一重物轉

17、動慣量，在飛輪上繞以細繩，繩末端掛一重物, 其其質量質量 的讓其從的讓其從 處靜止下落處靜止下落, 測得下落時間測得下落時間 ；若用質量；若用質量 的的重物時重物時, , 假定摩擦力矩假定摩擦力矩 是一個常量是一個常量 , 求求飛輪的轉動慣量飛輪的轉動慣量.cm50Rm0 . 2hkg0 . 81mkg0 . 42ms161ts252tfMR1mhR2mhfM解：受力分析、解：受力分析、坐標如圖坐標如圖TTgmy y第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要2222f2222221tahRaJMRTamTgm1111amTgmRa

18、JMRT1f121121tah fMTTgmy y已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0 . 42ms161ts252tCM f求求：J J2211m/s0156. 02tha2222m/s0064. 02tha第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要22121)()(RTTJaa21221)(aaRTTJ23mkg1006. 1N2 .39)(222agmTN3 .78)(111agmT已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0 . 42ms161ts252tCM f求求：J JfMTT

19、gmy yRaJMRT2f2RaJMRT1f11111amTgm2222amTgm21m/s0156.0a22m/s0064.0a第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 例：例：證明關于行星運動的開普勒第二定律，行星證明關于行星運動的開普勒第二定律，行星對太陽的徑矢在相等的時間內掃過相等的面積。對太陽的徑矢在相等的時間內掃過相等的面積。證明證明:)(trvsm)d(ttrmLrsin21rrSLmrtSt21sin21lim0vrrmmGFs3CL 時間內時間內徑矢掃過的面積為徑矢掃過的面積為tsin21trrtS單位時間單位

20、時間掃過的面積掃過的面積所以相等的時間內掃過相等的面積。所以相等的時間內掃過相等的面積。第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 例例 一滑冰者開始轉動時一滑冰者開始轉動時 ，然后將，然后將手臂收回，使轉動慣量減少為原來的手臂收回，使轉動慣量減少為原來的 1/3，求此時的轉，求此時的轉動角速度動角速度.2200k0JE00031JJ 注意：注意：剛體定軸轉動剛體定軸轉動內力矩內力矩的功之的功之和為和為零，非零，非剛體剛體不不一定一定.200200k200k023932121JJEJE解：解：外力矩為零，外力矩為零，角動量守恒角動

21、量守恒內力做功，內力做功，轉動動能轉動動能變化變化03第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 例例 把單擺和一等長的勻質直桿懸掛在同一點，桿把單擺和一等長的勻質直桿懸掛在同一點，桿與單擺的擺錘質量均為與單擺的擺錘質量均為 m . 開始時直桿自然下垂，將單開始時直桿自然下垂，將單擺擺錘拉到高度擺擺錘拉到高度 ，令它自靜止狀態下擺，于垂直位，令它自靜止狀態下擺，于垂直位置和直桿作彈性碰撞置和直桿作彈性碰撞. 求求 碰后直桿下端達到的高度碰后直桿下端達到的高度 h .0hhhmlc 解：解：此問題分為此問題分為三個階段三個階段0hl

22、lmm0v002ghv 1） 單擺自由下單擺自由下擺（機械能守恒），擺（機械能守恒），與桿碰前速度與桿碰前速度第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要2）擺與桿彈性碰撞（擺與桿彈性碰撞（擺，桿擺，桿）角動量守恒角動量守恒vvmlJml0機械能守恒機械能守恒2220212121Jmmvv021vv l 230v3）碰后桿上擺，碰后桿上擺，機械能守恒（機械能守恒（桿，地球桿，地球）cmghJ2210232hhhc002ghvhhmlc第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內

23、容提要解解：盤和人為系統，角動量守恒。盤和人為系統，角動量守恒。設：設： 分別為人和盤相對地分別為人和盤相對地 的角速度，的角速度，順時針為正向順時針為正向.,00210202RmmR22200mmm順時針向順時針向tRmtmRdddd2102022002002dd21RmmR 例：例： 質量質量 ，半徑，半徑 的均勻圓盤可繞過中心的光滑的均勻圓盤可繞過中心的光滑豎直軸自由轉動豎直軸自由轉動. 在盤緣站一質量為在盤緣站一質量為 的人，開始人和的人，開始人和盤都靜止，當人在盤緣走一圈時，盤對地面轉過的角度盤都靜止，當人在盤緣走一圈時，盤對地面轉過的角度.0mRmmR0m第四章第四章 剛體轉動剛體

24、轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要oRhmmm2022121JJ 和和 、 分別分別為圓盤終了和起始時的角為圓盤終了和起始時的角坐標和角速度坐標和角速度 .0,0dd00TTFRRF 例例 一質量為一質量為 、半徑為、半徑為 R 的圓盤，可繞一垂的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉動直通過盤心的無摩擦的水平軸轉動 . 圓盤上繞有輕繩，圓盤上繞有輕繩，一端掛質量為一端掛質量為m 的物體的物體 . 問物體在靜止下落高度問物體在靜止下落高度 h 時，時，其速度的大小為多少其速度的大小為多少? 設繩的質量忽略不計設繩的質量忽略不計 .m 解解 拉力

25、拉力 對圓盤做功，由剛體繞定軸轉動的動對圓盤做功，由剛體繞定軸轉動的動能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功為的力矩所作的功為TFTFoTFNFPTFPm第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要202TT2121dd00JJFRRF物體由靜止開始下落物體由靜止開始下落0, 000v解得解得ghm2)2(mm2mmmgh2v并考慮到圓盤的轉動慣量并考慮到圓盤的轉動慣量221RmJ202T2121d0vvmmFRmgh由質點動能定理由質點動能定理TTFFoTFNFPTFPmRv第四章第四章 剛體轉動剛體轉動物理學教程物理學

26、教程（第二版）（第二版）剛體的轉動內容提要剛體的轉動內容提要 例例 質量為質量為 的物體的物體 A 靜止在光滑水平面上，靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質、質量為量為 的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪 C，并系在另一質量為，并系在另一質量為 的物的物體體 B 上上. 滑輪與繩索間沒有滑動，滑輪與繩索間沒有滑動， 且滑輪與軸承間的摩且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計擦力可略去不計. 問：（問：（1） 兩物體的線加速度為多少？兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2） 物體物體 B 從從BmCm 再求線加速度及再求線加速度及繩的張