1、 分段函數的常見題型及解法分段函數; 定義域; 值域或最值; 函數值; 解析式; 圖像; 奇偶性; 方程; 不等式. 1求分段函數的定義域和值域2求分段函數的函數值3求分段函數的最值4求分段函數的解析式5作分段函數的圖像7判斷分段函數的奇偶性8判斷分段函數的單調性9解分段函數的方程10解分段函數的不等式1求分段函數的定義域和值域例1求函數的定義域、值域. 【解析】作圖, 利用“數形結合易知的定義域為, 值域為. _2_x3yxO.練習fx 是定義在上的奇函數，當時，fx 的圖象如右圖所示，那么fx 的值域是 2求分段函數的函數值1、設，那么的值為 A. B. C. D.2、給出函數，那么 A.

2、 B. C. D. 3求分段函數的最值例4求函數的最大值方法1先求每個分段區間上的最值，后比較求值。當0時,=2+3,此時顯然有maX= =3;當0<1時，=+3,此時max=4當>1時，=+5，此時無最大值.比較可得當=1時,max=4.方法2 利用函數的單調性Y4321 0 1 2 3 4 5 x由函數解析式可知，在(,0)上是單調遞增的，在(0,1)上也是遞增的，而在(1,+)上是遞減的，由的連續性可知當=1時有最大值4方法3利用圖像，數形結合求得作函數=的圖像圖1，顯然當=1時max=4.說明：分段函數的最值常用以上三種方法求得.例3求函數的最大值. 【解析】當時, , 當

3、時, , 當時, , 綜上有. 4求分段函數的解析式例奇函數fx (xR)，當x>0時，fx= x(5x)+1.求fx在R上的表達式。解fx是定義域在R上的奇函數， f0=0.又當0時，>0,故有fx=x 5(x)+1=x (5+x)+1。再由fx是奇函數,fx=fx=(5+)1.練習1某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當居民用水超過4噸時，超過局部每噸3.00元。假設某月某用戶用水量為x噸，交水費為y元。1求y關于x的函數關系2假設某用戶某月交水費為31.2元，求該用戶該月的用水量。2如圖，動點從單位正方形頂點開始，順次經、繞邊界一周，當表示

4、點的行程，表示之長時，求關于的解析式，并求的值3等腰梯形的兩底分別為，作直線交 于，交折線于，記，試將梯形位于直線左側的面積表示為的函數，并寫出函數的定義域.5作分段函數的圖像1函數1在圖5給定的直角坐標系內畫出的圖象；2寫出的單調遞增區間圖56求分段函數得反函數例6是定義在上的奇函數, 且當時, , 設得反函數為, 求的表達式. 【解析】設, 那么, 所以, 又因為是定義在上的奇函數, 所以, 且, 所以, 因此, 從而可得. 7判斷分段函數的奇偶性例1判斷函數的奇偶性. 【解析】當時, , , 當時, , 當, , 因此, 對于任意都有, 所以為偶函數. 練習函數1判斷并證明函數的奇偶性；

5、2判斷函數在上的單調性并加以證明8判斷分段函數的單調性例寫出函數的單調減區間. 【解析】, 畫圖易知單調減區間為. 練習函數假設在上單調遞增，那么實數的取值范圍為A B C D 9解分段函數的方程例1001年上海設函數, 那么滿足方程的的值為 【解析】假設, 那么, 得, 所以舍去, 假設, 那么, 解得, 所以即為所求. 練習1，假設，那么 2函數假設，那么實數的值等于A1 B2 C3 D43函數 那么函數的零點個數為A1 B2 C3D410解分段函數的不等式例設函數, 假設, 那么得取值范圍是 【解析1】因為, 當時, , 解得, 當時, , 解得, 綜上的取值范圍是. 應選D. 【解析2】首先畫出和的大致圖像, 易知時, 所對應的的取值范圍是. 例12設函數, 那么使得的自變量的取值范圍為 A B. C. D. 【解析】當時, , 所以, 當時, , 所以, 綜上所述, 或, 應選A項. 【點評：】 以上分段函數性質的考查中, 不難得到一種解題的重要途徑, 假設能畫出其大致圖像, 定義域、值域、最值、單調性、奇偶性等問題就會迎刃而解, 方程、不等式等可用數形結合思想、等價轉化思想、分類討論思想及函數思想來解, 使問題得到大大簡化, 效果明顯. 7、設函數，假設，那么關于的方程 的解的個數為 A1 B2 C3 D4例8