1、巧用導數解參數問題的八種策略 張紅娟2012.10.18學習收獲 現以近幾年的高考題為例，探討一下用導數求參數范圍的幾種常見題型及求解策略。策略一：分離變量法所謂分離變量法，是通過將兩個變量構成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變量各自相同,解決有關不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數取值范圍的一種方法.兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知. 解決問題的關鍵: 分離變量之后將問題轉化為求函數的最值或值域的問題.分離變量后，對于不同問題我們有不同的理論依據可以遵循.以下結論均為已知的范圍，求的范圍： 結論一、 不等式恒成立（求解的最小值）；不等式恒成立（求解的最大

2、值）. 結論二、 不等式存在解（求解的最大值）；不等式存在解（即求解的最小值）.案例1、（2009福建卷）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數取值范圍是_.分析：依題意方程在內有解，即案例2、（2008湖北卷）若上是減函數，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 分析：由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，案例3、（2008廣東卷）設，若函數，有大于零的極值點，則（ ）ABCD分析：，若函數在上有大于零的極值點，即有正根。當有成立時,顯然有,此時，由得.案例4、（2008江蘇卷）設函數，若對于任意的都有成立，則實數的值為 解：當，則不論取何值，顯然成立；當時，可化為，令，則， 所

3、以 在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，因此，從而；當時，可化為， 在區(qū)間上單調遞增，因此，從而，綜上分離變量法是近幾年高考考查和應用最多的一種。解決問題時需要注意：（1）確定問題是恒成立、存在、方程有解中的哪一類；（2）確定是求最大值、最小值還是值域. 高三復習過程中,很多題目都需要用到分離變量的思想,除了基礎題目可以使用分離變量,很多壓軸題也開可以用這種方法去求解。案例5、（2005湖北卷）已知向量=(,)，=(,)，若在區(qū)間(-1,1)上是增函數，求的取值范圍. 解析：由向量的數量積定義，=()+()=+=+.若在區(qū)間(-1,1)上是增函數，則有0-在 (-1,1)上恒成立.若令=-=-

4、3()-在區(qū)間-1,1上，=5，故在區(qū)間(-1,1)上使恒成立，只需即可，即5.即的取值范圍是5，）.利用導數與函數單調性的關系求解參數問題的題型，是高考命題的一種趨勢，它充分體現了高考 “能力立意”的思想。對此，復習中不能忽視。案例6、已知函數，若對任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設，則當時， 所以 案例7、已知時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。 策略二：主次元變換法案例1、.（2009北京卷）設函數（）求曲線在點處的切線方程；（）求函數的單調區(qū)間；（）若函數在區(qū)間內單調遞增，

5、求的取值范圍.分析：本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力（）（）題略，對于題（），若借助（）的結論入手，須分兩種情況求解，學生不一定能考慮得很全面；通過思考，不妨變換一下主次元，轉化為一次函數的問題求解。（）解：由題意 即 又 的取值范圍是.本題通過變換主元的思想，巧妙地應用函數的單調性，避免了對k的討論，簡化了問題的求解。案例2、若不等式對滿足的所有都成立，求的取值范圍。解：設，對滿足的，恒成立， 解得：策略三、極值法有些函數問題，若能適時地借助函數的圖象，巧妙地利用函數的極值來求解，可使問題豁然開朗。案例1.（07全國卷二）已知函數（

6、1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：解：（1）略（2）如果有一條切線過點，則存在，使若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數根記，則當變化時，變化情況如下表：000增函數極大值減函數極小值增函數如果過可作曲線三條切線，即=0有三個相異的實數根，則有即本題的求解，充分利用函數的極值，把原本復雜的問題轉化為極值的正負問題，使問題變得更加直觀、充分體現了導數的優(yōu)越性案例2、（2009陜西卷）已知函數 求的單調區(qū)間； 若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。解析：（1）略（2）因為在處取得極大值，所以所以由解得。由（1）中的單調性

7、可知，在處取得極大值，在處取得極小值。因為直線與函數的圖象有三個不同的交點，由的單調性可知，案例3.（2008四川卷）已知x=3函數f(x)=a ln(1+x)+x2-10x的一個極值點。（）求a；（）求函數f(x)的單調區(qū)間；（）若直線y=b與函數y=f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍。分析：（） （）略（）由（）知，在內單調增加，在內單調減少，在上單調增加，且當或時，所以的極大值為，極小值為因此 所以在的三個單調區(qū)間直線有的圖象各有一個交點，當且僅當因此，的取值范圍為。充分利用函數的極值和數形結合的思想，把問題轉化為極值問題，進一步分體現了導數在解題中的作用。策略四、零點法案例1、（

8、2009浙江文）已知函數 （I）若函數的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值； （II）若函數在區(qū)間上不單調，求的取值范圍解析：（）略 （）函數在區(qū)間不單調，等價于 導函數在既能取到大于0的實數，又能取到小于0的實數 即函數在上存在零點，根據零點存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得案例2、(2004新課程卷  )若函數y=x3ax2+（a1）x+1在區(qū)間（1，4）內為減函數，在區(qū)間（6，+）內為增函數，試求實數a的取值范圍.解：令，解得x=1或x=a-1，并且 a2,否則f (x)在整個定義域內單調。由題意，函數f(x)的圖象應有三個單調區(qū)間且先增后減再增，而已知f(x)在(

9、1,4)內為減函數，在區(qū)間(6,+)內為增函數，可知函數f(x)在x=1處取得極大值，在x=a-1處取得極小值。 4a-16   得5a7  所以a的取值范圍是5,7 應用函數的零點問題，解決相關的問題，也能取到意想不到的功效。策略五、構造新函數法 一定分類討論？娟思考對于某些不容易分離出參數的恒成立問題，可利用構造函數的方法，再借助新函數的圖像、性質等來求解，可以開拓解題思路、化難為易。 案例1、若時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設，則問題轉化為當時，的最小值非負。（1） 當即：時， 又所以不存在；（2） 當即：時， 又 （3） 當 即：時， 又綜

10、上所得：案例2、（2007全國卷一）設函數（）證明：的導數；（）若對所有都有，求的取值范圍解：（）的導數而，故（當且僅當時，等號成立）（）法一：令，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立則，由（）可知，由當時，在上為增函數，從而有時，即案例3、（2006全國卷II）設函數f(x)(x1)ln(x1)，若對所有的x0，都有f(x)ax成立，求實數a的取值范圍解：令g(x)(x1)ln(x1)ax（x>-1）于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立對函數g(x)求導數：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得 當時，g(x)0，g(x)為增函數，當，g(x)0，g(x

11、)為減函數， 所以要對所有x0都有g(x)g(0)等價條件為ea-110由此得a1，即a的取值范圍是（，1 通過適時構造新的函數，簡化了問題，把求參數的范圍轉化為函數的最值問題，對解題起到了畫龍點睛的作用。策略六、二次函數法某些函數可轉化為二次函數的模型，則可利用二次函數的性質來求解。案例1.（2008天津卷）已知函數（），其中（）當時，討論函數的單調性；（）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；（）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍分析：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數的最大值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力（）略（）解：，顯然不是方程的根為使僅在處有極值

12、，必須成立，即有解些不等式，得這時，是唯一極值因此滿足條件的的取值范圍是（）解：由條件，可知，從而恒成立當時，；當時，因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，在上恒成立所以，因此滿足條件的的取值范圍是案例2、（2004河北卷）已知f(x)=在R上是減函數，求實數的取值范圍.解： . f(x)在R上是減函數，恒成立，0在xR上恒成立，即 0，因此 3.策略七：利用集合與集合間的關系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關系來求解，即：，則且，不等式的解即為實數的取值范圍。案例1、當時，恒成立，求實數的取值范圍。解：（1） 當時，則問題轉化為 （2） 當時，則問題轉化為綜上所得：或策略八：數形結合數形結合法是先將不等式兩端的式子分別看作兩個函數，且正確作出兩個函數的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點時）的位置關系，列出關于參數的不等式。案例1、若不等式在內恒成立，求實數的取值范圍。解：由題意知：在內恒成立，在同一坐