1、若是一塊磚的長(zhǎng)、寬、高可寫(xiě)成a ×ab ×abc(這里a、b、c都是正整數(shù),則布魯京稱之為和諧(harmonic磚塊。其中1 ×2 ×4的磚塊(見(jiàn)圖一又稱為標(biāo)準(zhǔn)(canonical磚,因?yàn)樗坏菨M足和諧條件的最簡(jiǎn)單例子,而且又非常像砌墻用的實(shí)際磚頭。布魯京證明一批大小為a ×ab ×abc的和諧磚塊能正好完全填滿一個(gè)匣子的充分及必要條件,是匣子的大小必須呈(ax×(aby×(abcz形式,其中x、y、z 都是整數(shù)。布魯京的結(jié)果可以推廣到高維數(shù)的歐幾里得空間,以及二維空間(即平面。在平面上,1 ×2的長(zhǎng)方

2、形紙牌若可填滿一個(gè)大的長(zhǎng)方形,則此長(zhǎng)方形最少有一邊是偶數(shù)。現(xiàn)在回到布魯京的小孩所面臨的難題。由于6不能被4除盡,根據(jù)布魯京定理,這個(gè)難題是不能解的;不過(guò)有沒(méi)有簡(jiǎn)單的證明呢?讓我們先看另一個(gè)比較簡(jiǎn)單的類似問(wèn)題:把邊長(zhǎng)為8的正方形紙板斜對(duì)角上的兩個(gè)方格子(面積各為1剪去后,能否用31塊1 ×2的小紙牌填滿呢?不能,證明如下:把原先紙板上的64個(gè)小方格涂以兩種不同的顏色,使相鄰兩格顏色不同。由于剪去的兩個(gè)格子顏色一樣,剩下的紙板不可能用31個(gè)紙牌填滿,因?yàn)槊繅K小紙牌所填入的兩格顏色不一樣之故。利用類似的方法可以把六階(指每邊長(zhǎng)為6立方體分為27個(gè)二階小立方體,使任兩個(gè)相鄰的顏色都不同(見(jiàn)圖

3、二。任一塊標(biāo)準(zhǔn)磚所占有的8個(gè)格子必然是4黑4白,但大立方體中黑格子比白格子多8個(gè),所以最多只能放入26塊磚頭。克拉納(D. A. Klarner在1973年趣味數(shù)學(xué)期刊第六卷第二期發(fā)表一篇文章迭磚問(wèn)題,引入可劈性(cleavability的觀念。他證明若一個(gè)平面上的大長(zhǎng)方形可以由若干個(gè)同樣大小的小長(zhǎng)方形所填滿,則各種填法之中必有一種方法使得填好之后,可以把大長(zhǎng)方形劈開(kāi)分成兩個(gè)長(zhǎng)方形,而每一個(gè)正好可以用這些小長(zhǎng)方形填滿。不過(guò)在三維空間中沒(méi)有可劈性,星馬士特(D. Singmaster發(fā)現(xiàn)了一個(gè)最簡(jiǎn)單的反例:一個(gè)5 ×5 ×12 的匣子可以用1 ×3 ×4的

4、磚塊來(lái)塞滿,但不論如何塞法都不滿足可劈性。另一問(wèn)題是,對(duì)某一形狀的磚塊而言,非可劈的匣子種類是否無(wú)限多?答案是意外的否?？死{證明在任何級(jí)數(shù)比2大的歐氏空間中,對(duì)任一種磚而言,只有有限個(gè)匣子是可被它填滿但卻不可劈開(kāi)。1971年,二位匈牙利數(shù)學(xué)家卡透納(G.Katona及史沙茲(D.Szasz把克氏定理推廣,他們得到一些數(shù)目上的上限(指匣子的數(shù)目。如果不限于用同一類的磚塊,我們就可引入許多精彩的問(wèn)題。其中最簡(jiǎn)單的是一個(gè)三階立方體難題:我們想要用6塊1 ×2 ×2的磚頭及3塊單位體積的小立方體來(lái)填滿一個(gè)3 ×3 ×3的立方體(見(jiàn)圖三。這個(gè)難題看起來(lái)容易,但解

5、起來(lái)相當(dāng)困難。如不計(jì)旋轉(zhuǎn)及鏡像反映,解法只有一種:3個(gè)小立方體必須沿對(duì)角線排列(見(jiàn)圖四。證明如下:考慮任何一個(gè)3 ×3截面,假定如圖四所示涂以黑白二色,則得5格黑色4格白色(相鄰兩截面把黑白二色交換。不管一塊1 ×2 ×2的磚頭如何放法,在每一截面中它將占有02或4個(gè)格子,其中黑白二色的格子數(shù)相同。所以9個(gè)截面中,每一截面必須剛剛好有一個(gè)格子被一個(gè)單位體積的磚塊所占有。而且每一截面中,這個(gè)單位磚必須放在正當(dāng)中或者四角上。于是只有如圖四所示的排法;剩下6塊磚頭排法很容易,不再詳述。現(xiàn)在回到用同樣的磚塊來(lái)填滿一個(gè)匣子的問(wèn)題。我們可以問(wèn)以下的問(wèn)題:若一個(gè)匣子不能被一組(

6、同樣大小磚塊所完全填滿,那么最多可以塞幾個(gè)?這個(gè)問(wèn)題非常困難。1974年,布勞迪和佛拉格(R. A. Brualdi, T. H. Foregger發(fā)表了一篇論文,把這個(gè)難題解決了一部分。假設(shè)R為匣子當(dāng)中的一些格子的集合,如果不管一塊磚怎樣放,它總要占有R中的格子,則R稱為代表組。在所有的代表組中如果以R的格子數(shù)為最少,就說(shuō)R含有最小基數(shù)(cardinality。他們證明一個(gè)匣子所能塞入的磚塊(不限于和諧磚的數(shù)目不能超過(guò)這個(gè)最小基數(shù)。平面上一長(zhǎng)方形中能放入最多的和諧磚數(shù)正好等于最小基數(shù)。但三維及高次空間則不然。以標(biāo)準(zhǔn)磚及立方體為例,四階立方體可以塞入標(biāo)準(zhǔn)磚,而且可以填滿,六階則以前證明過(guò)不可能

7、填滿,最多可放26塊。五階立方體有125格,由于不能被8除盡,所以不可能以標(biāo)準(zhǔn)磚(每塊8格填滿。此時(shí)最小基數(shù)雖是15,但至多只能放入14塊。布、佛二位有一個(gè)很麻煩的涂色證法,但加德納想到一個(gè)巧妙的歸謬證法:假設(shè)可以填入15塊標(biāo)準(zhǔn)磚,其余用5個(gè)單位體積的小立方體填滿,每個(gè)單位立方體在3個(gè)平行于表面的截面上,截面共有15個(gè),而單位立方體只有5個(gè),所以任一截面剛好含有1個(gè)單位立方體。這樣五階立方體6個(gè)表面的150格子就剩下150-6=144個(gè),它們必須以標(biāo)準(zhǔn)磚的表面來(lái)占滿。但每一塊磚正好有一個(gè)1 ×2的側(cè)面靠到大立方體的表面上,于是留下144-(15 ×2=114 個(gè)格子,要用1

8、 ×4及2 ×4二種長(zhǎng)方形來(lái)填滿,但114不能以4除盡,所以原假設(shè)不成立。加德納又想到另一個(gè)證明如下:考慮立方體的三個(gè)與三面(互相垂直平行而且通過(guò)中心的截面。每一截面是一個(gè)5 ×5的方塊,一共有75個(gè)格子。由于25是奇數(shù),可知每一面必有一格與一個(gè)單位立方體相交。(有許多可能性,例如放一個(gè)單位立方體在整個(gè)立方體的正中央。每一塊標(biāo)準(zhǔn)磚一定正好與這三個(gè)截面當(dāng)中某一個(gè)有兩格相交(與其他的面則可能不相交,亦可能與4或8格相交。15塊標(biāo)準(zhǔn)磚又占去30格。75減去33所剩的格數(shù)42不可能被4除盡,所以無(wú)法塞入15塊標(biāo)準(zhǔn)磚。接下來(lái)是七階立方體。此立方體很容易塞入41塊標(biāo)準(zhǔn)磚,但問(wèn)

9、題在于可否放入42塊標(biāo)準(zhǔn)磚,而以單位立方體填入余下的空間。一般的n階立方體也有類似的問(wèn)題,而答案是這樣的:當(dāng)以標(biāo)準(zhǔn)磚塞入n階的立方匣中時(shí),若n為4之倍數(shù)則必可塞滿;若n為偶數(shù)但不能被4除盡,則有一塊磚塞不進(jìn)去。n為奇數(shù)時(shí),每一截面有n ×n個(gè)格子,因此必然有一個(gè)洞(單位格子,所以不可能填塞滿,而最多只可塞入(n3-n/8 塊標(biāo)準(zhǔn)磚。問(wèn)題是在什么情形下可以塞入這些磚塊。安曼(R.Ammann證明當(dāng)n為不等于16k±1的奇數(shù)時(shí),不可能塞入最多數(shù)目即(n3-n/8的標(biāo)準(zhǔn)磚,而當(dāng)n=16k±1時(shí),的確可以塞入最多的磚頭。英國(guó)的巴尼斯(F.Barnes得到更進(jìn)一步的結(jié)果,即

10、n16k±1且為奇數(shù)時(shí),立方匣必可被比最多的數(shù)目少一個(gè)的磚塊所填滿。在西洋棋盤(pán)(64格放骨牌(面積為2格的問(wèn)題,以前證明過(guò),若把兩個(gè)斜對(duì)角上的格子去掉,則用涂色的方法可證明不能以31塊骨牌填滿,此問(wèn)題可加推廣如下:若以交錯(cuò)方式把棋盤(pán)涂以兩種顏色,若把同色的二格去掉,則必不可能以31塊骨牌填滿。但若把異色的二格拿掉,是不是就一定可以填滿呢?這問(wèn)題要難多了。幾年前,IBM的古莫里(R.Gomory想出一巧妙的證明:把整個(gè)棋盤(pán)分隔開(kāi)來(lái)(見(jiàn)圖五再取走異色的二格子A、B,則由其中一格A走到另一格B有兩種相反的走法,每一條路正好有偶數(shù)個(gè)格子,因此必可被骨牌填滿。另一個(gè)有趣的問(wèn)題是如何證明不可能把一個(gè)每邊有25個(gè)格子的方塊,用2 ×2及3 ×3的小方塊來(lái)填滿?？死{有一個(gè)簡(jiǎn)單的證明(見(jiàn)圖六:他把大方塊以黑白兩色一條條的交錯(cuò)涂色。一片2 ×2的小方塊不管怎樣放都必然遮蓋2黑2白。但大方塊中黑格子比白的多25個(gè),所以我們必須想法子用3 ×