1、關于相對論與其解的時空分析         一。狹義相對論的時空解及比較在狹義相對論中，兩慣性系相對速度 與 和 平行（1）（ ）為 坐標系的坐標，（ ）為 坐標系的坐標，令 ， ，所以變換矩陣為（2）如果; ,相對速度 不變，那么 (3)比較 與 （4） （5）比較后知道（4）式=（5）式（6）二。時空觀測的定義為了較方便地說清楚不同的觀測結果與不同坐標中長度與時間的相互比較的關系，在字母頂部加3個指標，如： 定義為：左邊指標為觀察目標所在的坐標系，中間指標為觀察者選擇的單位長度與時間所在的坐標系，右邊

2、指標為觀察者觀察時所在的坐標系。這樣有：其中， 和 是固有時， 與 是固有長度。三。 的推導在狹義相對論中有 (6.1)那么，在什么條件下上式會是普適的呢？先來考察歐幾里德幾何。對觀察者而言，在歐幾里德幾何中的二維空間的坐標 中，觀察到的單位長度 ，與在歐幾里德幾何中的二維空間坐標 中，觀察到的單位長度 。觀察者是無法在長度方面區別 和 的，即（7）這是歐幾里德幾何的觀察者假設，也是符合經驗的假設，以前從未被指出過。 根據相對論，在四維時空坐標中，時空量表示為：（8）廣義相對論中的不變量原理確定了，任意四維時空坐標都有（8）式。現在，在非歐幾里德的四維時空坐標中，推廣歐幾里德幾何的觀察者假設。

3、先定義一種四維時空坐標，在觀察者觀察的時間內，這個坐標內的時空度規時間平移不變性和空間平移不變性，令為坐標內時空場= ,(i=1,2,3,4)，表示為李（Lie）微商有? g =0 （9）而 （10）如果所取的時空體積足夠小，即 ，那么總可以成為這種坐標。這種坐標具有普適性。在四維時空中,隨意取兩個這種坐標 和 ，觀察者在坐標內所觀察到的單位時空量 和 ，如果觀察者不與坐標外其他坐標比較的話，他是無法在時空量方面區分他在 和坐標內觀察到的單位時空量和（觀察者在 坐標內觀察 時，也不能與 坐標內的比較。他只能分別觀察 和 后，再比較 和 ）。這是四維彎曲時空的觀察者假設。即觀察者無法區分不同的這

4、種坐標系的固有時間和固有長度。 這樣觀察者可以得到（11）令 ， ，得：（12）（12.1)由（9）式和（10）式的定義，觀察者總能認為他所在的坐標系內滿足（13）（14）那么有（6）因 所以 有相同的量綱。所以可以，令（15）（16）那么有（15.1)(16.1)所以(17)而在上述定義的坐標系中，總有（18）所以 （19）這樣就有在上述定義的坐標系中，時間量平方的變化量與空間量平方的變化量相等。這就是時空的對稱變化。可寫為（6）這里稱為時空對稱理論。上式的空間量是固有長度 和 ，時間量則不是固有時，固有時 和 有下列關系：（20）而 和 不符合 中的任一種時間量的微分，故（16）不是真實觀

5、測值。四。Schwarzchild解的分析 用時空對稱理論求解Schwarzchild解十分簡單，在得到 后，因 （19） 可得 （15.2) (16.1) (13.1) 下面用廣義相對論四維時空標架求解Schwarzchild解，并比較時空對稱理 論用四維時空標架求解Schwarzchild解的辦法 （t=ict , c =1) (21)這是靜態球對稱度規的標準形式。在求解過程中得到， （22）令 ，得到（23）令 ，其物理意義是將絕對平直坐標系內的固有時與固有長度之間物理條件，應用到有引力場的非慣性坐標系。 因此 （16.2) 不是真實觀測值。 而固有時 與 之間有 （20.1) 這樣 與

6、固有長度的度規 有 （24） 又因為對觀測者而言 項是觀測不到的，所以觀測到的是正交時空坐標，這樣靜態球對稱度規的標準形式： （t=ict , c =1) （21） 不符合要求，只有（25）符合要求。克里斯朵夫聯絡的非零分量，其中， ， ， 。 與經典的求解Schwarzchild解的計算值一樣。（26）也與經典的求解Schwarzchild解的計算值一樣，也可得， （22）令 ，Schwarzchild解中的長度量，用固有長度表示有（23.1）用時空對稱理論求解Schwarzchild解有（13.1）因為 項觀測不到，任何觀測坐標都是正交的。1    

7、        不變，（其中的r 是遠離引力場的觀測者的觀測值， ） 這樣，時空對稱理論依舊可解釋引力紅移，引力引起的光線偏折和水星近 日點進 動（詳細內容在附錄中）。 這樣，用時空對稱理論和廣義相對論求得的Schwarzchild解時空物理意義等價。五。關于Kerr解Kerr解中 不全為0，不是真實觀測解，不能符合用四維時空的觀察者假設推導出的時空對稱理論。但用時空對稱理論分析自轉坐標系，也能得到Kerr解才有的單位質量的角量a ，這將在下面分析。六。時間量和空間量經驗告知，空間是三維的，時間是一維的。在觀測者的

8、直接觀測中，是觀 測不到空間與時間，空間與空間的相互作用。故假定：觀測者通過直接觀測，無法觀測到空間與時間的相互作用量。即：(27) 除非通過觀測結果，方可知道空間與時間的相互作用量。這樣，對觀測者的直接觀測而言，任何觀測四維時空的線元長度為(13)而 項是觀測不到的。 絕對平直時空的四維時空線元 （13） 就是任何觀測者的直接觀測結果。 設有一種坐標系： 在該坐標系內任何一點觀測，光在此坐標系內的任何兩點的行走路 徑，都是直線；在坐標系內任意點的真空中光速恒定，稱為相對平直坐標系。在彎曲時空取足夠小的時空范圍，可得到此類坐標系，這類似微分。在彎曲時空取足夠小的時空范圍，該范圍的時空近似平直。

9、這與上面關于直接觀測是觀測不到 項是一致的。在此坐標系內有統一的時空單位和統一的鐘和尺。所以，此坐標系有：（28）v是指此坐標系內任意點真空中光的速度， t是指此坐標系內任意點的時間。以后本文中的坐標系都是此類坐標系。稱為相對平直坐標系。不同的相對平直坐標系之間是"平行"的，須通過物理參數的變化，物質方能從一個相對平直坐標系進入另一個相對平直坐標系。（29）（29）是時空對稱理論，即時間量平方的變化量與空間量平方的變化量相等。所用的坐標系是相對平直坐標系。其中 和 不是固有時，設這兩個坐標系固有時為 和 ，有：（30）所以，這里的時間量平方 與空間量平方 不能理解為：可用時

10、間單位或空間單位的平方代替，而應理解為類似密度的一種量，稱為時間量密度與空間量密度。時空對稱理論是指時間量密度與空間量密度的對稱變 化。令時間量密度為 ，空間量密度為 ，類比固有時平方的倒數 ，并可以替代；類比固有長度平方 ，并可以替代；（ 分別為固有時和固有長度）令時空密度為 ，不同的相對平直坐標系有不同的時空密度 ，任意相對平直坐標系中有（31）在同一個相對平直坐標系中， 類比線元 ，但是不可以替代。不同的相對平直坐標系比較時空觀測值時，須使用時間量密度和空間量密度，通過設定某一相對平直坐標系時間量密度和空間量密度為1，得到不同的相對平直坐標系的不同時間量密度和空間量密度。然后，對不同的相

11、對平直坐標系換算出不同的時間量和空間量單位。這樣時空對稱理論實際上是關于時空密度的變化的理論，可表示為：（32）為不同的兩個相對平直坐標系時空密度， 為時空密度的變化量。七。時空密度的變化量在狹義相對論中（33）在Schwarzschild解中（c=1） (34)引力 （35）根據等效原理有慣性質量等于引力質量，或在局域時空內慣性力和引力不可區分，在本文中局域時空為相對平直坐標系代替，那么在相對平直坐標系中（36）（37）（38）所以有：（39）在狹義相對論和Schwarzschild解中（33）那么，時空對稱理論中，時空密度變化量 ，在 時，（33）這樣 （37）變為 （40）此積分為不定積

12、分。這里 是能量的一種形式。用四維時空觀點看， 是二階逆變二階協變張量而不是狹義速度矢量的平方。時空對稱理論在 時表示為（41）為須觀測的坐標系的時空密度； 為觀測者所在的坐標系的時空密度，時間密度，空間密度； 是能量的一種形式。哪個坐標系絕對地得到能量，這個坐標系的時空密度絕對地改變。 2    3         王仁川 廣義相對論引論 技術出版社 1996 俞允強 廣義相對論引論 北京大學出版社 1997 趙崢 黑洞的熱性質與時空奇異性 北京大學出版社 1999 附 錄

13、（用時空對稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點進動）廣義相對論中求質點和光子的軌道方程時，取球坐標，認為運動滿足于, （1）協變動量 和 是守恒量，有（2）E和L的物理意義，為觀測者所測到的質點或光子的能量和角動量。四維速度的歸一條件 有（3）得到質點的軌道微分方程（4）光子的軌道微分方程（5）廣義相對論用這兩個軌道微分方程解釋了光子的引力偏折和水星近日點進動。廣義相對論用來解釋引力紅移的方法也一樣適用于時空對稱理論。這里就不重復了。只討論時空對稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點進動。因為時空對稱理論是用真實觀測值來解釋時空的理論。用它得到的Schw- arzschild解有（6）（

14、7）固有時的關系有（8） 固有長度的關系有（9）為時空密度， 為時間密度， 為空間密度。按固有時和固有長度來看，觀測者在遠離引力場的坐標系，觀測引力場坐標系有（10）是引力場坐標系固有時， 是遠離引力場的坐標系固有時， 是引力場坐標系運動平面角。這樣就有（11）因為兩個坐標系之間的能量 ，角度 ，角動量 和長度 的比較有（12）（能量守恒）（13） （ 項為零）（14） （坐標系之間固有時和固有長度的比較） （15） （坐標系之間固有長度的比較）代入（11）式有（16）四維速度的歸一條件變為真實觀測值有（17）將（16）式代入（17）式有(18), 這就是時空對稱理論的引力場中的軌道微分方程。能量E是遠離引力場中的觀測者觀測到引力場中的能量，為引力場坐標系與無窮遠處坐標系的能量差，數量級為 略去二級小量，時空對稱理論的軌道微分方程成為相對論的質點軌道微分方程（4）對于光子而言，角動量 ，因為光子在弱引力場中