1、第1 1頁共 1515 頁2020 屆福建省龍海市第二中學高三上學期期初數學（文）試一、單選題1 1.已知集合二：、工 3 二匕 1 1 II -的必要而不充分條件 【考點】充分條件與必要條件 X5 5 .已知函數f x x a e的圖象在x 1和x1處的切線相互垂直，則a（ ）A A .1B B. 0 0C C. 1 1D D . 2 2【答案】A A【解析】因為f （X）(x a 1)ex1a，所以f (1) (a 2)e, f( 1) ae1，由e題意有f(1)f( 1)1，所以a1，選 A.A.6 6 設函數 f f（x x）是定義在實數集上的奇函數，在區間1,0）上是增函數，且f(x

2、 2)f(x)，則有（)1A A .f(3)f(f)f(1)B B.f(1)31七)3231331C.f(1)f(3)f(2)D Df (1) f(;)3【答案】丿A A【解析】由題意可得f1f1-,f (1)f( 1),33f 3f 12f1，再利用函數在區間1,0）上是增函數可得答案222【詳解】解：Qf f （x x）為奇函數，f（ x)f (x),又Q f (x2)f(x)f1f13,f (1) f( 1),f -f丄2f丄，33222又Q 1,11210,且函數在區間1,0）上是增函數，1111f( 1)f -f -0,f( 1)f -f -2323C C .充分必要條件第3 3頁共

3、 1515 頁f(1)故選 A.A.【點睛】本題考查利用函數的單調性、奇偶性比較函數值的大小， 考查利用知識解決問題的能力【答案】C C【解析】根據對數的運算性質轉化為對數不等式的問題求解.【詳解】由題意得，原不等式等價于loga21且log3a 1,340 a 1所以2且log3a 1,logalogaa4323解得2a 1且3a 1,343所以3a 14所以實數a的取值范圍是I，1故選 C C.【點睛】 解對數不等式時，一般要根據對數的單調性進行，若對數的底數為參數，則需要注意對 底數進行分類討論，同時不要忽視真數大于零這一隱含條件.8 8 .函數 f(x)f(x) = =cos( x)的

4、部分圖像如圖所示，貝 y yf f (x)(x)的單調遞減區間為(B B.(2k-,2k-),k Z4427 7 若實數a滿足loga -1 log3a，則a的取值范圍是()343422 33門2A A .,1B B.C C.-,1D D.0,33 443第4 4頁共 1515 頁C C.(k 4,k4),kZ【答案】D D13D D(2k,2k-), k Z44【解析】由五點作圖知，442，解得-24，所以f（x）cos( x ),4令2kx 2k413間為（2k -,2k-）,44【考點】三角函數圖像與性質,kZ，解得Z，故選2kD.D.Z，故單調減區9 9若函數f （x） x,則函數yf

5、（x）logi ,x的零點個數是（2B B. 4 4 個C C . 3 3 個D D . 2 2 個【答案】D Dlogjx有 2 2 個交點，所以選 D.D.2【解析】如圖：函數 f f（x x）與函數g（x）212,x 11010 .已知函數f x |2x 1 ,xlog75A.-B B.44【答案】A A【解析】試題分析：f ax 13 2log2a 13a 7f 6 a【考點】函數求值23或27f 1224，且fa13，則f 6 a（）31C C.D.-441111.函數飛沁 zs.的圖像大致為（）第5 5頁共 1515 頁【解析】【詳解】試題分析：因為麗二，所以排除 A,C,A,C,

6、當函數在.軸右側靠近原點的一個較小區間（0 0 川）時，扛兀）=8181 曲斗乂師狀-如其=亦強垃0 0，函數單調遞增，故選 D.D.【考點】函數圖象與函數性質.1212 設函數yf（x）的圖像與y 2x a的圖像關于直線yx對稱，且f( 2)f( 4)1則a()()A A .1B B.1C C.2D D.4【答案】C C【解析】【詳解】試題分析：設 （x,x, y y）是函數y f（x）的圖像上任意一點，它關于直線y x對稱為（y, x）,由已知（y, X）在函數y2x a的圖像上，x 2y a,解得ylOg2(x)a，即f (x)log2( x) a,- f ( 2)f ( 4)log22

7、 a log24 a 1，解得a 2，故選 C C.【考點】函數求解析式及求值二、填空題1313.函數y sinx J3cosx的圖像可由函數y 2sin x的圖像至少向右平移 _個單位長度得到.【答案】3【解析】試題分析：因為y si nx 3cosx 2si n( x -)，所以函數3第6 6頁共 1515 頁y sinx.、3cosx的的圖像可由函數y 2sin x的圖像至少向右平移個單位長度3得到.【考點】三角函數圖像的平移變換、兩角差的正弦公式【誤區警示】在進行三角函數圖像變換時，提倡先平移，后伸縮”但 先伸縮，后平移”也經常出現在題目中，所以也必須熟練掌握，無論是哪種變形，切記每一

8、個變換總 是對字母x而言，即圖像變換要看變量”變化多少，而不是 角”變化多少.31414 .已知函數f x ax x 1的圖像在點1, f 1的處的切線過點2,7，則a【答案】1 1【解析】試題分析：f x23ax 1f 1 3a 1,f(1) a 2 l: y (a 2)(3a 1)(x 1)7 (a 2)(3a 1)(2 1) a 1. .【考點】1 1、導數的幾何意義；2 2、直線方程. .【方法點晴】本題考查導數的幾何意義、直線方程，涉及分特殊與一般思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強,屬于較難題型 首先求導可得f x3ax21f

9、1 3a 1,f(1) a 2 l:y (a 2)(3a 1)(x 1)7 (a 2)(3a 1)矽1)a 1.1515 .已知tan( )2，則sin(2 )的值等于44【答案】10【解析】由tan()2，解得tan3,41 tan第7 7頁共 1515 頁2sin coscos2sin22:2cos sin2 ( 3) 1 ( 3)2221 ( 3)270的距離為 2JJ2JJ，貝 U U= =_【答案】2【解析】 由題根據三角函數圖像與性質可得交點坐標為1-(k115 ,2),( -(k2,2),k2Z, ,距離最短的兩個交點一定215在同一個周期內，2.3()2(2 2)2,442【考

10、點】三角函數圖像與性質【名師點睛】正、余弦函數的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形 應把三角函數 的對稱性與奇偶性結合，體會二者的統一 這樣就能理解條件距離最短的兩個交點”- 定在同一個周期內，本題也可從五點作圖法上理解三、解答題1717 .函數f x3sin 2x的部分圖象如圖所示6(1 1)寫出f x的最小正周期及圖中X。、y的值；求fx在區間上的最大值和最小值因為sin(2)子(sin 2cos2近2)(2s in cos cos2sin2).2 2tan 1 tan221 tan21616 .已知0,0,在函數 y=2siny=2sinx x 與 y=2cosy=2cos x x 的

11、圖像的交點中，距離最短的兩個交點第8 8頁共 1515 頁【解析】【詳解】試題分析：(1 1 )由圖可得出該三角函數的周期，從而求出Xo,y。；把2x看作一個整體，從而求出最大值與最小值 6(1 1)由題意知：f x的最小正周期為，令 y=3y=3，則2x 一+2k，k Z6 2得x+k,k Z，所以X。7,y。3. .66(2 2)因為x,，所以2x5-,0，于2126 6當2x0，即x時，f x取得最大值 0 0；612當2x6-，即x時,fx取得最小值3. .23【考點】本小題主要考查三角函數的圖象與性質，求三角函數的最值等基礎知識，考查 同學們數形結合、轉化與化歸的數學思想，考查同學們

12、分析問題與解決問題的能力321818 .設函數f x x 3ax 3bx的圖像與直線12x y 1 0相切于點1, 11(1)求a, b的值；(n)討論函數f x的單調性.a 1【答案】(1 1)( 2 2)單調遞減區間為(1,3), ,單調遞增區間為(，1)(3,b 3【解析】【詳解】第9 9頁共 1515 頁根據f (1)11, f (1)12建立關于 a,ba,b 的方程. .(2) 由f (x) 0得函數的單調增區間；由f (x) 0得函數的單調減區間 (2)，解). .第 1010 頁 共 1515 頁解：求導得f (x) 3x26ax 3b.由于 f f (x)(x)的圖像與直線1

13、2x y 10相切于但當 x x (-1(-1 ， 3)3)時， f(x)f(x) 是減函數.2f (x) x22x 3,0,貝 U Ux 0,通過 f(x)f(x) f(f( x)x)求解. .( 3 3)利用( 2 2)的單調性求解 . .【詳解】(1 1)Q y f (x)是定義在(，)上的偶函數，當x 0時,f(x) x22x 3,當x 0時，設x 0，貝 U Ux 0,22f(x) f ( x) ( x)22( x) 3 x22x 3即x 0時，f(x) x22x 3. .故f (x)x22x 3,x 0 x22x 3,x 0(2(2)如圖所示:點(1, 11)，所以f(1)11,

14、f (1)12,1 3a 3b11即3 6a 3b12,解得 : :a 1,b3. .(2)(2)由a 1,b3得：2f (x) 3x26ax23b 3(x22x 3)3(x 1)(x3)令 f f ( (x) ) 0 0,解得 x xv-1-1 或 x x 3 3;又令 f f(x)(x) 0 0 解得-1-1vx xv3 3.故當 x x ( (, , -1)-1)時, f(x)f(x) 是增函數,當 x x(3,)(3,)時，f(x)f(x)也是增函數,1919 .已知y f (x)是定義在()上的偶函數，當x 0時，f (x)2x3. .1 1) 用分段函數形式寫出y f (x)的解析

15、式;2 2) 寫出y f (x)的單調區間;3 3) 求出函數的最值 . .答案】1 1)2xf(x)2x2x 3,x2x 3,x0 0; (2 2) f(x)f(x)的增區間為01,0)，1,)，區間為(1，0,1;3 3)最小值為 -4-4，無最大值 . .解析】1 1) 根據y f (x)是定義在()上的偶函數，且當x 0時，2 2) 每一段都是二次函數,根據二次函數的圖象和性質求解第 iiii 頁共 i5i5 頁A5-當x0時，f (x)x22x3，對稱軸為x1,增區間為1,)，減區間為0,1；當x0時，f (x)x22x3，對稱軸為x 1,增區間為1，)，減區間為(，1. .綜上，f

16、(x)f(x)的增區間為1,0),1,)，減區間為(，1,0,1. .(3 3)由(2 2)知，當x 0時，f (x) x22x 3,f (x)minf(1) 1 2 34，無最大值；當x 0時，f (x) x22x 3，f (x)minf( 1) 1 2 34，無最大值. .綜上，函數的最小值為-4-4，無最大值. .【點睛】本題主要考查分段函數的圖象和性質，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題 2020 .已知頂點在原點，對稱軸為x軸的拋物線，焦點F在直線2x 3y 4 0上. .(1)求拋物線的方程；(2)過焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程 【答

17、案】(1 1)y28x； (2 2)y24x 8. .第1212頁共 1515 頁【解析】(1 1)根據焦點在直線2x 3y 4 0上，且拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，令y 0，求得焦點坐標即可2(2)設M(x,y)，A為， ,Bx2,y2，根據A、B在拋物線上，有yi8治，解 【詳解】(1 1)Q焦點在直線2x 3y 4 0上,且拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，焦點F的坐標為(2,0)，設方程為y22px(p 0)，則號2，求得p 4，則此拋物線方程為y28x. .(2 2)設M(x, y)，A為，yi，B X2, y2因為A、B在拋物線上，2所以yi8x1，2y28x2，2x XiX

18、2，2y yiy?，- -得yiy2yiy 8 XiX2，設直線方程：y yk x X04代入k -，M (2,0)，ykyiy28 84Xix2yiy22yy當直斜率存在時,2y 8x2，兩式相減得到yiy2 %y?8 XiX2，再分直斜率存在和不存在求第 iiii 頁共 i5i5 頁4得y (x 2)，y2y 4x 8。當直線斜率不存在，M與F重合2M (2,0)，滿足. .y 4x 8。綜上，弦AB的中點M的軌跡方程：y 4x 8.【點睛】本題主要考查拋物線方程的求法以及弦中點軌跡問題，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題 2121 .已知函數 f(x)f(x) lnln

19、x x,g(x) a(x 1)(i)當a 2時，求函數h(x) f (x) g(x)的單調遞減區間；(n)若x 1時，關于x的不等式f(x) g(x)恒成立，求實數a的取值范圍；(川)若數列an滿足an i1 an,a33，記an的前n項和為Sn，求證：a 0時，因為x 1，所以a x 1 lnx 0顯然不成立，先證明因此a 1時，f x g x在1,上恒成立，再證明當0 a 1時不滿足題意，從而可得結果;(IIIIII)先求出等差數列的前n項和為Sn，結合(IIII)可得2ln2 2,ln33,ln44, ,ln n n,各式相加即可得結論. .試題解析：(i)由a2，得h xf xg x

20、lnx 2x 2, (x 0). .所以u1c 1 2xh xln(1 23 4 .n) Sn. .【答案】1(I)(1,);(IIII )1,)；(illill)證明見解析. .【解析】 試題分析:(i)求出hx，在定義域內，分別令可得函數h x增區間，h x0求得x的范圍，可得函數h x的減區間；(n)當h x 0求得x的范圍,第1414頁共 1515 頁xx令h x0,解得x或x 0(舍去) ，所以函數h x f x g x的單調遞2減區間為2，(n)由fx g x得，a x 1lnx0當a 0時，因為x 1，所以a x 1 lnx 0顯然不成立，因此a 0. .方程;第 1313 頁共

21、 1515 頁1令F x a x 1lnx，則卩xa1xa，令Fx 0,得x -.Clxxa當a11時，0丄a1,F x0, F x F10，所以a x 1 lnx，即有f xg x. .因此a 1時，f xg x在1,上恒成立 1當0 a 1時，-a1,F x在1丄上為減函數，a1在，上為增函數，a FxminF 10,不滿足題意綜上,不等式f xg x在1,上恒成立時，實數a的取值范圍是1,. .(III(III )證明：由an11 an, a33知數列an是a33,d1的等差數列，所以ana3n3 dn所以Snna1ann 1n22由(n)得，lnxa x 1x 1x在1,上恒成立 所以

22、ln22,l n3 3,l n4 4,ln nn. .將以上各式左右兩邊分別相加，得ln2ln3ln4Inn 23 4n. .因為ln1 01n 1 n所以ln1ln2ln3ln4lnn1 2 3 4nSn2所以In 123 4nSn. .2222.在直角坐標系xOy中，拋物線C的方程為寸4x. .(1(1)以坐標原點為極點，x x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程;x2 tcos(2 2)直線|的參數方程是tsi n(t為參數)，1與C交于A,B兩點,yABAB 4 4 6 6，求|的傾斜角. .【答案】(1)sin24cos0; (2 2)或44【解析】(1)(1)由題意利用直角坐標與極坐標的轉化公式可將直角坐標方程轉化為極坐標第1616頁共 1515 頁(2)(2)聯立直線參數方程與拋物線方程，結合參數的幾何意義求得sin的值即可確定直線的傾斜角 【詳解】x cos2(1 1) ，代入