1、十一 函數(shù)的模型及其應用知識要點：1 幾類不同增長的函數(shù)模型： （1）直線模型： 均勻增加 （2）指數(shù)函數(shù)模型： 隨著自變量的增加，函數(shù)值增大的速度越來越快，爆炸式增長 （3）對數(shù)函數(shù)模型： 隨著自變量的增加，函數(shù)值增大的速度越來越慢。 （4）冪函數(shù)模型： 隨著自變量的增加，函數(shù)值增大的速度相對平穩(wěn)。2幾類增長函數(shù)模型增長速度比較：對于指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)模型 ，對數(shù)函數(shù)，總存在當時，3數(shù)學建模： 數(shù)據(jù)搜集處理數(shù)據(jù)構(gòu)建擬合函數(shù)回歸實踐檢驗擬合函數(shù)。題例：1客車從甲地以的速度勻速行駛小時到達乙地，在乙地停留了半小時，然后以的速度勻速行駛小時到達丙地。下列描述客車從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地，最后到達丙地所經(jīng)

2、過的路程與時間之間關(guān)系的圖象中，正確的是2.已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線假定為直線）行駛甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）那么對于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是 （ ）A在時刻，甲車在乙車前面 B時刻后，甲車在乙車后面C在時刻，兩車的位置相同D時刻后，乙車在甲車前面3某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價，該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下：高峰時間段用電價格表低谷時間段用電價格表高峰月用電量（單位：千瓦時）高峰電價（單位：元/千瓦時）低谷月用電量（單位：千瓦時）低谷電價（單位：元/千瓦時）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超過50至200

3、的部分0.598超過50至200的部分0.318超過200的部分0.668超過200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時間用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為_元（用數(shù)字作答）。4.要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水假設(shè)每個噴水龍頭的噴灑范圍都是關(guān)徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數(shù)最少是（）（毫克）（小時）5為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，

4、回答下列問題：（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（II）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室6.某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件（）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式；（）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值解：（）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式為：（）令得或（不合題意，舍去），在兩側(cè)的值由正變負

5、所以（1）當即時，（2）當即時，所以答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）7.水庫的蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V（t）=（）該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期.以i1ti表示第i月份（i=1,2,12）,問一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期？（）求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）.解：（）當0t10時，V(t)=(t2+14t40)化簡得t214t+400,解得t4，或t10，又0t10，故0t4

6、.當10t12時，V（t）4（t10）（3t41）+5050,化簡得（t10）（3t41）0,解得10t，又10t12,故 10t12.綜合得0t4,或10t12,故知枯水期為1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6個月.()由()知：V(t)的最大值只能在（4，10）內(nèi)達到.由V（t）= 令V(t)=0,解得t=8(t=2舍去).當t變化時，V(t) 與V (t)的變化情況如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0V(t)極大值由上表，V(t)在t8時取得最大值V(8)8e2+50108.32(億立方米).故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米8.某地建一座橋，兩端的橋墩

7、已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為萬元。 （）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （）當=640米時，需新建多少個橋墩才能使最小？解 （）設(shè)需要新建個橋墩，所以 （）由（）知，令，得，所以=64 當064時0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，所以在=64處取得最小值，此時，故需新建9個橋墩才能使最小。9某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A,B 及CD的中點P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且A,B 與等距離的一點O 處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP ，設(shè)排污管道的總長為km（）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)OP(km) ，將表示成x的函數(shù)關(guān)系式（）請你選用（）中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短解：（）由條件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，則, 故，又OP1010ta，所以， 所求