1、5.6 平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積及運算律（2）成都七中 授課人：曹楊可課件制作：曹楊可一、知識復習一、知識復習:1、數量積的定義：、數量積的定義：cos|baba其中：其中：, 0a0b特別地：特別地：00a是向量是向量a和和b的夾角，范圍是：的夾角，范圍是：0180注意： 平面向量的數量積與和向量、差向量本質區別是什么？平面向量的數量積是一個數量，而和向量、差向量分別是一個向量。2、數量積的物理意義：、數量積的物理意義：sFsFWcos|數量積的幾何意義：數量積的幾何意義：abBAObaa|abacos|b等于等于的長度的長度與與在在的方向上的投影的方向上的投影的乘積。的乘積

2、。sFcos|baba即即cos|bB13、數量積的主要性質：、數量積的主要性質： ba(2)(2)ab|,|baba|baba(3)(3)與與 同向同向ab與與反向反向22|aaaa2|aa 特別地特別地：即即，|cosbaba(4)(4)ba|ba|ba|ba|ba(5)(5)，即，即則，的夾角與是，的單位向量方向相同是與，都是非零向量，設eabebaae(1)(1)eacos|a0baabba)()()(bababacbcacba )(交換律：交換律：數乘的結合律：數乘的結合律：分配律：分配律：則，和實數、已知向量cba二、數量積的運算律：二、數量積的運算律：)()()(bababa數乘

3、的結合律：數乘的結合律：證明：.的夾角為與設ba，時）當（01等式顯然成立等式顯然成立 .，時）當（02的夾角都為與，與babacos|)(babacos|ba)(bacos|)(babacos|ba)(ba. )()()(bababa.，時）當（03的夾角都為與，與baba.180)180cos(|)(babacos|ba)180cos(|)(babacos|ba. )()()(bababacos|ba)(bacos|ba)(ba綜上所述：綜上所述：)()()(bababacbcacba )(分配律：分配律：.OCAA1Bab12證明：.cOCbABaOAO，作，任取一點，如圖方向上的投影等

4、于在即cOBba)(即，方向上的投影的和在、cbacos|ba21cos|cos|ba21cos|cos|cos|bcacbacbcacbac)(.)(cbcacbaB1c想一想：想一想： 向量數量積不滿足結合律向量數量積不滿足結合律 .向量的數量積滿足結合律嗎？說明：說明：，共線的向量表示一個與ccba )(，共線的向量表示一個與而acba)( ，不一定共線與而ac)()(cbacba)()(cbacba即：即：成立嗎？成立嗎？1例求證：；2222)() 1 (bbaaba.)()()2(22bababa證明：)()()() 1 (2babababbabbaaa；222bbaa)()()2(

5、bababbabbaaa.22ba 2例，的夾角為與，已知604|6|baba. )3()2(baba求解：. )3()2(bababbbaaa622|6|bbaa22|6cos|bbaa224660cos466.723例當且僅當，不共線與且，已知)(4|3|baba？互相垂直與向量，為何值時bkabkak解：互相垂直與bkabka0)()(bkabka0222bka即，9322a16422b01692k43 k，時即當且僅當43k.互相垂直與bkabka已已 知知 是非零向量，且是非零向量，且 與與 ba、ba3垂直，垂直，ba57ba4與與 垂直，垂直，ba27求求 的夾角。的夾角。ba與

6、）b5（7）b3由(aa0573）（）得：（baba）b2（7）b4由(aa又0274）（）得：（baba030801615722baba7baba22即：babacos60,夾角baba 2b2化簡得：ba212122bb180,0又例例4 4：代入得代入得解：解：練習：練習：1、有四個式子：有四個式子：，其中正確的個數為（，其中正確的個數為（ ）A A、4 4個個B B、3 3個個C C、2 2個個D D、1 1個個2、已知、都是單位向量，下列結論正確的是（已知、都是單位向量，下列結論正確的是（ ）A A、B B、C C、 D D、3、有下列四個關系式：有下列四個關系式：，其中正確的個數是

7、（），其中正確的個數是（）A A、1 1B B、2 2C C、3 3D D、4 400a00 a|babaab1ba22ba abab0ba000)()(cbacbaabba00 acbcabaDBA 4、已知，且與的夾角為，問當且僅當已知，且與的夾角為，問當且僅當為何值時，使？為何值時，使？5|a4|bab60k)2()(babak解：解：)2()(babak0)2()(babak即即02) 12(22bbakak故故04260cos45) 12(522kk1514k所以：所以：1514k時，時，)2()(babak當當 5、如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，已知，中，已知，

8、， ， 求：求：（1） ；（；（2） ； （3）4|AB3|AD60DABBCADCDABDAABBACD解：解：因為因為ADBC且方向相同，且方向相同，所以所以AD與與BC夾角是夾角是0所以所以91330cos|BCADBCAD因為因為ABCD且方向相反，且方向相反，所以所以AB與與CD的夾角是的夾角是180所以所以16) 1(44180cos|CDABCDAB所以所以ABDA與與的夾角為的夾角為12060因為因為AB與與AD的夾角是的夾角是，所以所以6)21(34120cos|DAABDAAB（1）（2）（3）作業：作業： P121習題習題 5.6 1 8 .練習：練習：P121.606|8|. 2qpqpqp，求的夾角為與，已知解：cos|qpqp60cos68.24.2549|12|. 3的夾角與，求，設bababa解：|