1、第一部分 基礎知識： 第一章函數一 函數： 定義、符號y=f（x）及其含義、表示法（公式、圖象）、函數值 兩個要素（用于判斷兩個函數是否相同）：對應規則、定義域（自變量的取值范圍） 定義域的確定原則：使得函數表達式有意義的自變量的取值范圍。 奇偶性及其圖形特點 有界性。主要是正弦函數和余弦函數有界二 基本初等函數 常數函數：y=c 冪函數:（為常數）例， 指數函數:， y=ex 對數函數: 自然對數 三角函數:y=sinx、y=cosx、y=cotx，常用關系， y=sinx、y=cosx有界以上函數表達式中，X的位置必須是自變量本身。三 初等函數：基本初等函數經有限次四則運算所得函數（簡單函

2、數）和復合運算所得函數（復合函數）統稱為初等函數。由y=f(u)、u=u(x)復合而成的函數為y=fu(x)四 經濟分析中常見的函數 需求函數：需求量q是價格p的函數。記為q=q(p) 供給函數 成本函數：總成本C是產量q的函數。記為C=C(q) 平均成本=C/q 注：總成本=固定成本可變成本 收入函數：銷售收入R是銷售量q的函數.注：R=pq 利潤函數：利潤L是銷售量q的函數. 注：L=R-C第二部分 微分學一、導數的計算（一）預備知識1） 基本初等函數2） 簡單函數3） 復合函數 如果在基本初等函數表達式中，X的位置不是自變量本身，而是一個函數的，那么就是函數的函數，是復合函數了（二）求導

3、公式微分注：基本初等函數的求導公式要求做到熟練掌握。（三）導數的計算：1）簡單函數直接代公式求出導數例1 ： 例2 ：例3 ：例4 ：例5：例6：2）復合函數的求導步驟：先將復合函數分解成若干個簡單函數，再用鏈式法則。 例8： 例9： 例10： 例11： 例 解：例 解：三、 經濟函數求最值 解題步驟：（重點）列出要求最值問題的函數表達式，確定其定義域（按實際問題定）求導令導數等于零，求出駐點若駐點僅有一個，則由實際問題可知，該駐點即最值點若需要，就求出最值注1：本章常用經濟函數之間的關系：設總成本函數為 ，則平均成本函數為銷售收入函數 ，其中為銷售量，為價格。利潤函數 注2：導數在經濟學中稱

4、為邊際如，分別稱為邊際成本，邊際收入和邊際利潤例1：總成本為，收入為。問產量多少時，能使利潤最大？最大利潤是多少？解：例2：生產某種產品單位的生產費用為：。問為多少時，能使平均費用最低？最低的平均費用是多少？解：例3. 生產某產品的成本函數為（單位：元，其中產量的單位：件），求：當產量時的平均成本和邊際成本；當產量為多少時平均成本最小？解：平均成本函數為由此得（元件）又因為 所以即當產量時的平均成本是每件10元邊際成本為每件4元令，解出（舍去），易知其為最小值點即當產量為件時平均成本最小例4. 設某工廠生產某產品的固定成本為50000元，每生產一個單位產品，成本增加100元。又已知需求函數，其

5、中為價格，為產量，這種產品在市場上是暢銷的，問價格為多少時利潤最大？并求最大利潤.解 C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400pR(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2利潤函數L(p) = R(p) -C(p) =2400p-4p 2 -250000， 且令=2400 8p = 0得p =300，該問題確實存在最大值.所以，當價格為p =300元時，利潤最大. 最大利潤 （元）例5. 生產某產品的邊際成本為(萬元/百臺)，邊際收入為（萬元/百臺），其中x為產量，問：(1) 產量為多少時，利潤最大？ (2) 從

6、利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤有什么變化？解 （1）令 得 （百臺）又是的唯一駐點，根據問題的實際意義可知存在最大值，故是的最大值點，即當產量為10（百臺）時，利潤最大（2）因為 ， 所以 ， 其中 為固定成本 所以，利潤 即從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤將減少20萬元例6. 生產某種產品的固定成本為1萬元，每生產一個該產品所需費用為20元，若該產品出售的單價為30元，試求：(1) 生產件該種產品的總成本和平均成本； (2) 售出件該種產品的總收入； (3) 若生產的產品都能夠售出，則生產件該種產品的利潤是多少？解 （1）生產件該種產品的總成本為；平均成本為：（2）售出件該種產品的總

7、收入為：（3）生產件該種產品的利潤為：=三、計算極限1）能直接運算的，代入計算出結果例：例：= 0，= -1= 1 ， =1 2） 型無窮小量：趨向于0的變量，即極限為0的量。例：例：3） 型無窮大量：絕對值無限增大的量。記為例：例：4）（1 + 無窮小）無窮大 型 公式：5） 型 公式：例： =6）無窮小*有界的還是無窮小，極限為0常用的有界函數：正弦函數，余弦函數四、其它（常見的，并不完全。選擇題或填空題）1） 求函數的定義域：自變量X的取值范圍例：函數的定義域是.例：若函數的定義域是0，1，則的定義域是 ( ).A.B.C.D.2） 判斷兩函數是否相同。相同要求：定義域同、相同的X對應的

8、Y值應相同例：下列各對函數中，（）中的兩個函數相等.A.與B.與 C.與D.與3） 分段函數連續問題。連續要求：（左、右）極限 = 函數值例： 若在點處連續，則（ C ）A BCD例：函數，在處連續，則 B A. B. C. 1 D.24） 函數單調性。 單調增加：導數 0單調減少：導數 0例：求函數的單調區間 。 求極值。 解：令得：的符號為：所以函數單調增加的區間為和；單調減少的區間為。函數極大值為 ，極小值為5） 微分 例：例：設是可微函數，則（ D ）A B C D 例：下列等式不成立的是（ A ） A BC D6） 二階導數 例：7） 需求彈性設需求函數為，為價格，為需求量，則需求彈

9、性例：某種商品的需求量（單位：百件）與價格（單位：千元）的關系為。求當價格為9千元時的需求彈性。解：例：8） 切線斜率、切線方程。（1）切線斜率 = 導數；（2）切線方程用點斜式方程： 其中 分別為切點坐標和切線斜率例： 曲線在點（1，0）處的切線是（ A ）A B C D 例：曲線在處切線的斜率是（ C ）A B C D 9） 函數的奇偶性：例：下列函數中，（）是偶函數：. x3sinx . x3+1 . ax-a-x. x2sinx10） 其它：例：若函數的定義域是0，1，則的定義域是( ) .A.B.C.D.例：若函數，則 = ( ) .A.B.C.D.第三部分 線性代數一、 mn矩陣定

10、義 P50定義（矩形數表、元素、符號）二、 特殊矩陣：1） 方陣2） 零矩陣3） 單位陣I4） 對稱矩陣（P65）5） 階梯形矩陣P866） 行簡化階梯形矩陣（P127）三、矩陣的運算：P55 相等 加、減A+B，A-B（兩個同形的矩陣，對應位置元素相加，減） 數乘：kA 一個數乘以一個矩陣（A中每一個元素都要乘以k。） 乘法：AB 兩個矩陣相乘 （左矩陣的行與右矩陣的列的元素對應乘積的和。稱為行乘列法則）例 注意矩陣乘法不符合交換律。兩矩陣相乘的前提條件：必需n=s 轉置AT：（A的行、列元素順序調換）注：乘法不符合交換律。其他運算律與數的運算律相同；當AB=BA時，稱A與B可交換；轉置的運

11、算律：（AT）T = A（A+B）T = AT+BT（AB）T = BT AT若 AT = A，稱A為對稱矩陣P55 62 各例P62練習四、逆矩陣定義P70：對于矩陣A，若存在矩陣B，使AB = BA = I ，稱A可逆，且稱B 為A的逆矩陣。記為.五、線性方程組定義P118；線性方程組的矩陣表示法P118，系數矩陣，常數矩陣，未知數矩陣，增廣矩陣 P119例1六、矩陣的初等行變換：P77有三種：對換、倍乘、倍加。應用： 求矩陣A的秩：將A化為階梯陣，階梯陣的非零行數稱為A的秩。記為 例求A的階梯形矩陣及解=3上述階梯形矩陣的主元化為1，主元所在列的其他元素化為0，即得行簡化階梯形矩陣：P8

12、6例3、4P87練習：1（1、2、3）、2 求A的逆矩陣：方法是將（AI）（IB），則A-1=B注：1）若A可化為I（或n階方陣A的秩等于n，即A 滿秩）,則A可逆。 2）另一種方法需要用到行列式，不要求。逆矩陣性質：（A-1）-1 = A（A-1）T =（AT）-1（AB）-1 = B-1A-1例 求的逆矩陣解：練習：求的逆矩陣答案P82例2、3, 解矩陣方程:1) AX = B, 則 X =2) XA = B, 則 X =練習2。6/1（1，2）、3P83練習：1（1、2、3）、2 求線性方程組AX = B的解：先將增廣矩陣（AB）化為階梯陣；判斷其解的情況；若有解，進一步將階梯陣化為行簡

13、化階梯陣；寫出解注：方程組解的判定：若r(A)r(AB)，則方程組無解；若r(A)=r(AB)=n (未知數的個數)，則方程組有唯一解；若r(A)=r(AB)n，則方程組有無窮多解例 P132已知線性方程組的增廣矩陣分別如下，判斷方程組是否有解；有解的話，請求出解。 （1） 方程組無解（2）（）所以， 方程組的解為：，（3）（）所以， 方程組的解為：， ， 例P134例2、3齊次線性方程組AX = O的解的判定：若r(A)=n ，則方程組只有零解；若r(A)n，則方程組有非零解線性代數重點：矩陣的運算 求逆矩陣 解線性方程組練習1）設矩陣，求解 所以，=2）求線性方程組的一般解解：于是方程組的一般解是 （其中是自由未知量）3）設矩陣，計算解：由此得4）求當取何值時，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此可知當時，方程組有解當時，方