1、第三章 導數的應用習題十五 微分中值定理 洛必達法則一、填空題 1在-1，3上，函數滿足拉格朗日中值定理中的= ； 2若，則在（-1，1）內，恒不為0，即在-1，1上不滿足 Rolle(羅爾)定理的一個條件是； 3函數及在上滿足柯西中值定理的條件， 即存在點有； 4，則方程有 個實根，分別位 于區間內。二、選擇題 1由考察-1，1上的和上的，可得出：羅爾定理 的條件是其結論的（ ）； A、必要條件 B、充分條件 C、充要條件 D、既非充分也非必要條件 2求極限下列解法正確的是（ ）； A、用洛必達法則，原式 B、該極限不存在 C、不用洛必達法則，原式 D、不用洛必達法則，原式 3（ ）。 A、

2、1 B、0 C、-1 D、不存在三、證明。四、證明：12當時。五、求下列極限 1 2. 3 4 . 5 6 . 7 8。9 10。 姓名 班號學號習題十六 函數的的單調性與極值一、 填空題 1函數的單調增敬區間是 ，單調減區間是 ； 2在= 處有極 值，在 處有極值； 3方程在實數范圍內有個實根； 4若函數在點處取極大值2，則， ； 5為極值。二、選擇題 1下列函數中不具有極值點的是（ ）； A、 B、 C、 D、 2函數在點處取極大值，則必有（ ）； A、 B、 C、 D、或不存在3已知，且當時，則當時必有（ ）。 A、 B、C、 D、以上結論皆不成立三、求下列函數的單調區間 1 2。 3

3、4。四、求下列函數的極值 1 2。五、當時，證明不等式：。 姓名班號學號習題十七 函數的最大值與最小值 及其在經濟中的應用一、填空題 1函數的最大值為，最小值為 ； 2函數在區間上的最大值為，最小值為 ； 3在處有最大值，在 處有最小值； 4設在區間上的最大值為3，最小值為-29，又知 ，則， 。二、求下列函數在給定區間上的最大值和最小值 12 3。三、 要造一圓柱形油罐，體積為V，問底半徑和高等于多少時，才能使天表面積最小？這時底直徑與高的比是多少？四、 每批生產單位某種產品的費用為 ，得到的收益為 。問每批生產多少單位產品時才能使利潤最大，最大利潤是多少？ 五、 設某廠家打算生產一批商品投

4、放市場，已知該商品的需求函數為 且最大需求量為6，其中表示需求量、P表示價格。求使收益最大時的產量、最大收益和相應的價格。六、 設生產某種產品個單位的成本函數為（萬元/單位），求當產量是多少時，平均成本最小？ *七、某廠生產A種商品，其年銷售量為100萬件，每批生產需要增加準備費1000元， 而每件的庫存費為0.05元,如果年銷售率是均勻的,且上批銷售完后,立即再生產下 一批,問應分幾批生產,能使生產準備費及庫存費之和最小? 姓名班號學號習題十八 曲線的凹凸性與拐點 函數作圖一、 填空題 1曲線的拐點是； 2曲線的水平漸近線的方程為； 3曲線的鉛直漸近線的方程為； *4曲線的斜漸近線的方程為

5、； 5已知二階可導，是曲線上點為拐點的 條件； 6已知點（1，3）為曲線的拐點，則，。 該曲線的凹區間為 ，凸區間為。二、求下列函數圖形的凹凸區間和拐點 1 2。 三、作出的圖形。 姓名班號學號*習題十九 曲 率 一、填空題 1圓周上任一點的曲尺率為；直線上 任一點的曲率為； 2拋物線在其頂點處的曲率為，曲率半徑為 ； 3曲線的弧微分為。 二、對數曲線上哪一點處的曲率半徑最小？并求出該點處的曲率半徑。 三、選擇使曲線在處與曲線有相同的切線和曲率。 姓名班號學號* 習題二十 導數在經濟分析中的應用 邊際分析與彈性分析一、 填空1 設某產品的產量為千克時的總成本函數為（元），則產量為100千克時的

6、總成本是元；平均成本是元/千克；邊際成本是 元，這時的邊際成本表明，當產量為100千克時，若再增產1千克，其成本將增加元。 2某商品的需求函數為，則其需求價格彈性為，當 =3時的需求彈性為 ；其收入R關于價格P的函數為R =；收入對價格的彈性函數是； ；在P=3時，若價格P上漲1%，其總收入的變化是 百 分之 。 3已知函數，則其邊際函數為，其彈性函數為 。 二、選擇題 1設一產品的需求量是價格P的函數，已知函數關系為則 需求量對價格的彈性是（ ）； A、 B、% C、 D、 2設某商品的需求價格彈性函數為。在P=5時，若價格上漲1%， 總收益是（ ）。 A、增加 B、減少 C、不增不減 D、

7、不確定 三、某廠每天生產的利潤函數，試確定每天生產、的 邊際利潤，并作出經濟解釋。 四、某商品的需求量Q為價格P的函數求 1當P=6時的邊際需求，并說明其經濟意義； 2當P=6時的需求彈性，并說明其經濟意義； 3當P=6時，若價格下降2%，總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？ 五、某商品的需求函數為。 1求當P=3與P=5時的邊際需求與需求彈性； 2當P=3與P=5時，若價格上漲1%，收益將如何變化？ 3P為多少時，收益最大？第三章 復習題一、 填空題 1函數在上滿足拉格朗日中值定理的=； 2= ； 3= ； 4的單調遞增區間為=，單調遞減區間為= 5在區間上的最大值為；最小值為 ； 6曲線

8、的凹區間為 ，凸區間為，拐點為 ； 7曲線的鉛直漸近線為； 8函數以為極大值，函數圖形以為拐 點，則 ， ， ， 。二、選擇題 1在上滿足羅爾定理的是（ ）； A、0 B、3 C、 D、2 2下列求極限問題中能夠使用洛必達法則的是（ ）； A、 B、C、 D、 3函數在定義域內（ ）； A、無極值 B、極大值為 C、極小值為 D、為非單調4設函數在區間上有二階導數，則當（ ）成立時，曲線 在內是凹的；A、 B、 C、在內 D、且在內單調增加5若在點的領域內有定義，且除點外恒有 則以下結論正確的是（ ）；A、在點的領域內單調增加 B、在點的領域內單調減少C、為的極大值 D、為的極小值6設函數在上

9、可導，且，則在（1，2） 內（ ）。 A、至少有兩個零點 B、有且僅有一個零點C、沒有零點 D、零點個數不能確定三、求下列極限 1 2。 3 4。 5 6。四、證明下列各題： 1 2 3。五、求下列函數的單調區間 1 2。六、求下列函數的極值 1 2。七、求下列函數的最大值與最小值。 1 2。八、求函數 的單調區間、凹凸區間、極值并作出其草圖。九、有一汽艇從甲地開往乙地，設汽艇耗油量與行駛速度的立方成正比，汽艇逆流而上，水的流速為（單位： ），問汽艇以什么速度行駛,才能使耗油量最少?*十、某商品的需求量Q是單價P的函數Q=12000-80P，商品的成本C是需求量Q 的函數C=25000+50Q

10、，每單位商品需納稅2，試求使銷售利潤最大的商品價格 和最大利潤。*十一、已知某廠生產件產品的成本為（元）。 1要使平均成本最小，應生產多少件產品？ 2若產品以每件500元售出，要使利潤最大，應生產多少件產品？*十二、某廠全年生產需用A種材料，每次訂購費用為570元，每噸A種材料單 價為600元，庫存保管費用率為14.2%。求：1 最優訂購批量；2 最優訂購批次；3 最優進貨周期；4 最小總費用。*十三、某商品的需求量Q關于價格P的函數為，求： 1P=4時的邊際需求，并說明其經濟意義； 2P=4時的需求彈性，并說明其經濟意義； 3當P=4時，若價格P高1%，總收益 將變化百分之幾？是增加還是減少

11、？ 4當P=6時，若價格P高1%，總收益 將變化百分之幾？是增加還是減少？ 5當P為多少時？總收益最大？*十四、設某商家銷售某種商品的價格滿足關系（萬元/噸），商品的 成本函數為（萬元），其中為銷售量。1 若每銷售一噸，政府要征稅（萬元），求該商家利潤最大時的銷售量；2 為何值時，政府稅收總額最大？*十五、利用拉格朗日中值定理證明： 如果函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且 （M為正常數），則在上，。*十六、設函數在處具有二階導數，且，求極 限。第三章 自測題一、填空題 1在曲線上求一點，使過此點的切線平行于連接曲線上的點A 、B所成的弦。該點的坐標是； 2 ； 3曲線的拐點是； 4函數在區

12、間上的最大值為 ； 5設是的三次函數，其圖形關于原點對稱，且時，有極小值， 則=； *6設商品的需求函數，其中Q，P分別表示需求量與價格，如果商品 需求彈性的絕對值大于1，則商品價格的取值范圍是。二、選擇題 1設，則為在區間上的（ ）； A、極小值 B、最小值 C、極大值 D、最大值 2已知在上可導，且，則方程在 上（ ）； A、有唯一根 B、至少存在一個根C、沒有根 D、不能確定有根 3若在內二階可導，且則在內 （ ）； A、單調增加且凸 B、單調增加且凹C、單調減少且凸 D、單調減少且凹 4曲線（ ）； A、只有水平漸近線 B、只有鉛直漸近線C、沒有漸近線 D、既有水平漸近線也有鉛直漸近線 5曲線的拐點個數為（ ）。 A、0 B、1 C、2 D、3三、求下列極限 1； 2。 ； 3。四、已知有兩個極值點求的極大值與極小植。五、證明：當時，。六、證明方程只有一個正根。七、已知函數，試求：1的單調區間