1、直線與平面、平面與平面垂直的性質學習目標1.理解直線和平面垂直、平面與平面垂直的性質定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理.2.會用線面垂直、面面垂直的性質定理證明相關問題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉化.知識點一直線與平面垂直的性質定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言ab圖形語言作用線面垂直線線平行作平行線思考(1)垂直于同一平面的兩條垂線一定共面嗎？(2)過一點有幾條直線與已知平面垂直？答(1)共面.由線面垂直的性質定理可知這兩條直線是平行的，故能確定一個平面.(2)有且僅有一條.假設過一點有兩條直線與已知平面垂直，由直線與平面垂直的性質定理可得這兩條直線平行，即

2、無公共點，這與過同一點相矛盾，故只有一條直線.知識點二平面與平面垂直的性質定理文字語言兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直符號語言a圖形語言作用面面垂直線面垂直作面的垂線思考(1)如果，則內的直線必垂直于內的無數條直線嗎？(2)如果，過內的任意一點作與交線的垂線，則這條直線必垂直于嗎？答(1)正確.若設l，a，b，bl，則ab，故內與b平行的無數條直線均垂直于內的任意直線.(2)錯誤.垂直于交線的直線必須在平面內才與平面垂直，否則不垂直.題型一直線與平面垂直的性質及應用例1如圖，正方體A1B1C1D1-ABCD中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交.求證：EFBD1.證

3、明如圖所示，連接AB1、B1D1、B1C、BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可證BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.跟蹤訓練1已知AB，PQ于點Q，PO于點O，OR于點R.求證：QRAB.證明如圖，因為AB，PO于點O，所以POAB.因為PQ于點Q，所以PQAB.因為POPQP，所以AB平面PQO.因為OR于點R，所以PQOR.因為PQ與OR確定平面PQRO，QR平面PQRO，

4、AB平面PQRO，所以ABQR.題型二平面與平面垂直的性質及應用例2如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC且ACBC，O，M分別為AB，VA的中點.(1)求證：VB平面MOC；(2)求證：平面MOC平面VAB；(3)求三棱錐VABC的體積.(1)證明O，M分別為AB，VA的中點，OMVB.VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC.(2)證明ACBC，O為AB的中點，OCAB.又平面VAB平面ABC，且平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，OC平面VAB.OC平面MOC，平面MOC平面VAB.(3)解在等腰直角ACB中，ACBC，AB2，OC1，S

5、VABAB2.OC平面VAB，VCVABOCSVAB1，VVABCVCVAB.跟蹤訓練2如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，過點A作AFSB，垂足為F.求證：BCSA.證明因為平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.又因為BC平面SBC，所以AFBC.因為ABBC，AFABA，所以BC平面SAB.又因為SA平面SAB，所以BCSA.題型三線線、線面、面面垂直的綜合應用例3如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E為CD上一點，DE1，EC3.(1)證明：BE平面BB1C1C

6、；(2)求點B1到平面EA1C1的距離.(1)證明過B作CD的垂線交CD于F，則BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因為BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1，又BB1BCB，所以BE平面BB1C1C.(2)解三棱錐EA1B1C1的體積VAA1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故3.設點B1到平面A1C1E的距離為d，則三棱錐B1A1C1E的體積Vdd，從而d，d.即點B1到平面EA1C1的距離為.跟蹤訓練3如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，DAB60，側面PA

7、D為等邊三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：ADPB；(2)若E為BC邊上的中點，能否在PC棱上找到一點F，使平面DEF平面ABCD？并證明你的結論.(1)證明設G為AD的中點，連接PG，BG，如圖.因為PAD為等邊三角形，所以PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G為AD的中點，所以BGAD.又因為BGPGG，所以AD平面PGB.因為PB平面PGB，所以ADPB.(2)解當F為PC的中點時，滿足平面DEF平面ABCD.如圖，設F為PC的中點，則在PBC中，EFPB.在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB.由(1)，得

8、PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD.所以平面DEF平面ABCD.條件開放型例4如圖，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當底面四邊形ABCD滿足什么條件時，有A1CB1D1？(注：寫出一個你認為正確的條件即可，不必考慮所有可能的情形)分析解因為BDB1D1，所以要使A1CB1D1，需A1CBD.又因為A1A平面ABCD，A1ABD，A1AA1CA1，所以BD平面A1AC.因為AC平面A1AC，所以ACBD.由以上分析，知要使A1CB1D1，需使ACBD或任何能推導出ACBD的條件，如四邊形ABCD是正方形、菱形等.1.在空間中，下列命題正確的是()A.垂直于同一條

9、直線的兩直線平行 B.平行于同一條直線的兩個平面平行C.垂直于同一平面的兩個平面平行 D.垂直于同一平面的兩條直線平行2.關于直線m，n與平面，有下列四個命題：若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn.其中真命題的序號是()A. B. C. D.3.若平面平面，平面平面，則()A.B.C.與相交但不垂直D.以上都有可能4.已知a、b為直線，、為平面.在下列四個命題中，正確的命題是_.若a，b，則ab；若a，b，則ab；若a，a，則；若b，b，則.5.如圖，在三棱錐PABC內，側面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，則PB_.一、選擇題1

10、.在長方體ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一點E，作EFA1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直2.如圖所示，三棱錐PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，則()A.PD平面ABC B.PD平面ABCC.PD與平面ABC相交但不垂直 D.PD平面ABC3.如圖所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則點C1在底面ABC上的投影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.ABC內部4.如圖，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，現在

11、沿SE、SF、EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點記為G.給出下列關系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A.與 B.與 C.與 D.與5.PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，則下列關系不正確的是()A.PABC B.BC平面PACC.ACPB D.PCBC6.三棱錐PABC的三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，O是頂點P在底面ABC上的射影，則()A.SABCSPBCSOBC B.SSOBCSABCC.2SPBCSOBCSABC D.2SOBCSPBCSABC7.如圖，四邊形ABCD中，ABAD

12、CD1，BD，BDCD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則下列結論正確的是()A.ACBD B.BAC90C.CA與平面ABD所成的角為30 D.四面體ABCD的體積為二、填空題8.設兩個平面，直線l，下列三個條件：l；l；.若以其中兩個作為前提條件，另一個作為結論，則可構成三個命題，這三個命題中，正確命題的個數為_.9.如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中點，則直線DE與平面ABCD所成角的正切值為_.10.已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且AB6，BC2，則棱錐OABCD的體積為_.11.如圖所示，已知

13、兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點.若CD2，平面ABCD平面DCEF，則線段MN的長等于_.三、解答題12.如圖所示，四棱錐PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分別為線段AD，PC的中點.(1)求證：AP平面BEF；(2)求證：BE平面PAC.13.在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形.(1)若ACBC，證明：直線BC平面ACC1A1；(2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE平面A1MC？請證明你的結論.當堂檢測答案1.答案D解析A項中垂直于同一條直線的兩直線可能

14、平行、異面或相交；B項中平行于同一條直線的兩個平面可能平行或相交；C項中垂直于同一平面的兩個平面可能平行或相交；D項正確.2.答案D解析m，n可能異面、相交或平行，m，n可能平行、異面或相交，所以錯誤.3.答案D解析兩個平面都垂直于同一個平面，則這兩個平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能，故選D.4.答案解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知真；易知假.5.答案解析側面PAC底面ABC，交線為AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，PB.課時精練答案一、選擇題1.答案D解析在長方

15、體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案D正確.2.答案B解析PAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面ABC.3.答案A解析連接AC1，BAC90，即ACAB，又ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1.又AC平面ABC，于是平面ABC1平面ABC，且AB為交線，因此，點C1在平面ABC上的投影必在直線AB上，故選A.4.答案B解析由SGGE，SGGF，得SG平面EFG，排除C、D；若SE平面EFG，則

16、SGSE，這與SGSES矛盾，排除A，故選B.5.答案C解析PA平面ABC，PABC，A選項正確；BCAC，BC面PAC，BCPC，B，D選項均正確.故選C.6.答案B解析如圖，由題設，知O是垂心，且有APPD，所以PD2ODAD，即SSOBCSABC.7.答案B解析取BD的中點O，連接AO，CO.ABAD，AOBD.CDBD，OC不垂直于BD.假設ACBD，AOACA，BD平面AOC，OCBD，出現矛盾，即AC不垂直于BD，A選項錯誤；CDBD，平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，CDAB.ABAD1，BD，ABAD，AB平面ACD，ABAC，B選項正確；CAD

17、為直線CA與平面ABD所成的角，CAD45，C選項錯誤；VABCDSABDCD，D選項錯誤.二、填空題8.答案1解析作為前提條件，作為結論構成的命題正確，過l作一平面與交于l，則ll，所以l，故；作為前提條件，作為結論構成的命題錯，這時可能有l；作為前提條件，作為結論構成的命題錯，這時l與的各種位置關系都可能存在.9.答案解析取BC的中點F，連接EF，DF，易知EDF為直線DE與平面ABCD所成的角，tanEDF.10.答案8解析如圖.因為矩形ABCD的四個頂點都在球面上，所以過A，B，C，D四點的截面圓的圓心為矩形ABCD的中心O.連接OO，在AOC中，因為OAOC，且O為AC的中點，所以O

18、OAC.同理，OOBD.又因為ACBDO，所以OO平面ABCD，即OO為棱錐OABCD的高.AO2，OO2，所以VOABCD6228.11.答案解析取CD的中點G，連接MG，NG.因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MGCD，MG2，NG.因為平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.三、解答題12.證明(1)如圖所示，設ACBEO，連接OF，EC.由于E為AD的中點，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此，四邊形ABCE為菱形，所以O為AC的中點.又F為PC的中點，因此，在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由題意，知EDBC，EDBC，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以BECD.又AP平面PCD，所以APCD，所以APBE.因為四邊形ABCE為菱形，所以BEAC.又APACA，AP、AC平面PAC，所以BE平面PAC.13.(1)證明因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因為AB，AC為平面AB