1、 第四章二 次 型練習4、1 1、寫出下列二次型的矩陣（1）=；（2）=。解：（1）因為 =,所以二次型的矩陣為：。（2）因為 =，所以二次型的矩陣為：。2、寫出下列對稱矩陣所對應的二次型：（1）； （2）。解：（1）設，則 =XTAX= =。（2）設，則 =XTAX= =。練習4、21、用正交替換法將下列二次型化為標準形，并寫出所作的線性替換。（1）=；（2）=；（3）=。解：（1）二次型的矩陣 A=。A的特征方程為 =0，由此得到A的特征值，。對于，求其線性方程組，可解得基礎解系為 。對于，求其線性方程組，可解得基礎解系為： 。 對于，求其線性方程組，可解得基礎解系為： 。將單位化，得 ，

2、 ， ，令 P=，則 PTAP=diag(-2,1,4)=。作正交替換X=PY，即 ，二次型可化為標準形： 。（2）類似題（1）方法可得： P=，PTAP=，即得標準形：。（3）類似題（1）的方法可得： P=， PTAP=，即得標準形：。2、用配方法將下列二次型化為標準形：（1）=；（2）=；（3）=。解：（1）先將含有的項配方。=+ =+，再對后三項中含有的項配方，則有 =+=+。設Y=，X=，B=，令Y=BX，則可將原二次型化為標準形。（2）此二次型沒有平方項，只有混合項。因此先作變換，使其有平方項，然后按題（1）的方法進行配方。令 ，即=。則原二次型化為=+ =+ =，設Y=，Z=，B=

3、，令Z=BY，則可將原二次型化為標準形。（3）類似題（2）的方法，可將原二次型化為標準形：。3、用初等變換法將下列二次型化為標準形：（1）=；（2）=；（3）=。（此題與課本貌似而已，注意哈）解：（1）二次型的矩陣為 A=。于是=。令 C=，作可逆線性變換X=CY，原二次型可化為標準形： =。（2）類似題（1）的方法，原二次型可化為標準形： = 。（3）類似題（1）的方法，原二次型可化為標準形： = 。 4、已知二次型 =的秩為2。求參數c的值，并將此二次型化為標準形。解：二次型的矩陣為 A=。因為A的秩為2，令detA=0，可得c=3。即 =也就是A= ，通過初等變換法，即可將其化為標準形：

4、。 5、設2n元二次型 =試用可逆線性替換法將其化為標準形。解：令 ， P=，即作正交變換X=CY，二次型可化為標準型： 。6、已知二次型=(a>0)通過正交變換化為標準型，求的值及所作的正交替換矩陣。解：因為原二次型可化為，可知原二次型的矩陣的特征值為1，2和5。而原二次型的矩陣為 A=。故A的特征方程為 =0。因此將此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。對于，求其線性方程組，可解得基礎解系為。對于，求其線性方程組，可解得基礎解系為： 。對于，求其線性方程組，可解得基礎解系為： 。將單位化，得 ， ， ，故正交替換矩陣為： P=。練習4、31、判別下列二次型是否為正定二次型：（1）=

5、；（2）=；（3）= 。解：（1）二次型的矩陣為 A=。由于5>0，=26>0，=84>0,即A的一切順序主子式都大于零，故此二次型為正定的。（2）二次型的矩陣為 A=。由于 |A|=-3588<0，故此二次型不為正定的。（3）二次型的矩陣為： A=。由于 =-9<0，故此二次型不為正定的。2、當t為何值時，下列二次型為正定二次型：（1）=；（2）=； （3）=。解：（1）二次型的矩陣為： A=。由于 =，=，但易知不等式組 無解，因此，不論t取何值，此二次型都不是正定的。（2）二次型的矩陣為： A=。此二次型正定的充要條件為 1>0, =>0, |A

6、|=>0，由此解得：。（3）二次型的矩陣為： A=。由 2>0, >0, |A|=>0，解得：。3、設A、B為n階正定矩陣，證明BAB也是正定矩陣。證明：由于A、B是正定矩陣，故A及B為實對稱矩陣。所以(BAB)T=BTATBT=BAB，即BAB也為實對稱矩陣。由于A、B為正定矩陣，則存在可逆矩陣C1，C2，有 A= C1TC1，B= C2TC2，所以BAB= C2TC2C1TC1C2TC2=(C1C2TC2)T(C1C2TC2)，即BAB也是正定矩陣。4、如果A，B為n階正定矩陣，則A+B也為正定矩陣。證明：由于A、B是正定矩陣，故A及B為實對稱矩陣。從而A+B也為實

7、對稱矩陣，而且 ，為正定二次型。于是對不全為零的實數，有 ，。故 h=+，即二次型h=為正定的，故A+B為正定矩陣。5、設A為正定矩陣，則A-1和A*也是正定矩陣。其中A*為A的伴隨矩陣。證明：因為A為正定矩陣，故A為實對稱矩陣。從而即也為對稱矩陣， 即也為對稱矩陣。 由已知條件可知，存在可逆矩陣C，使得 。于是 =， =，其中Q=，P=都為可逆矩陣。故A-1和A*都為正定矩陣。6、設A為n×m實矩陣，且r(A)=m<n，求證：（1）ATA為m階正定矩陣；（2）AAT為n階半正定矩陣。證明（1）因為A為n×m實矩陣，所以為m×n矩陣，又r(A)=m<n

8、 ，因此，方程組AXO , 只有零解。于是對于任意的X ¹ O , 有AX ¹ O 。則XT（ATA）X（AX）T（AX） 0 。因此，為正定矩陣。（2）因為A為n×m實矩陣，所以為m×n矩陣，又r(A)=m<n ，因此，方程組ATXO , 有非零解。即存在X0 ¹ O , 有AX0 = O 。于是對于任意的X ¹ O , 有 XT（AAT）X（A T X）T（A T X）³ 0 。因此,為半正定矩陣。7、試證實二次型是半正定的充分必要條件是的正慣性指數等于它的秩。證明：充分性。設的正慣性指數等于它的秩，都是r，則負慣性指數為零。于是可經過線性變換X=CY變成 =。從而對任一組實數，由X=CY可得Y=C-1X，即有相應的實數，使=0.即為半正定的。必要性。設為半正定的，則的負慣性指數必為零。否則，可經過線性變換X=CY化為 =，s<r。于是當yr=1，其余yi=0時，由X=CY可得相應的值，帶入上式則得 =1<0。這與為半正定的相矛盾，從而的正慣性指數與秩相等。8、證明：正定矩陣主對角線上的元素都是正的。證明：設矩陣A為正定矩陣，因此 為正定二次型。于是對不全為零的實數，有 ， 取，(i=1,2,n)則，(i