1、橢圓偏振儀測量薄膜厚度和折射率在近代科學技術的許多部門中對各種薄膜的研究和應用日益廣泛因此，更加精確和迅速地測定一給定薄膜的光學參數已變得更加迫切和重要在實際工作中雖然可以利用各種傳統的方法測定光學參數（如布儒斯特角法測介質膜的折射率、干涉法測膜厚等），但橢圓偏振法（簡稱橢偏法）具有獨特的優點，是一種較靈敏（可探測生長中的薄膜小于0.1nm的厚度變化）、精度較高（比一般的干涉法高一至二個數量級）、并且是非破壞性測量是一種先進的測量薄膜納米級厚度的方法它能同時測定膜的厚度和折射率（以及吸收系數）因而，目前橢圓偏振法測量已在光學、半導體、生物、醫學等諸方面得到較為廣泛的應用這個方法的原理幾十年前就

2、已被提出，但由于計算過程太復雜，一般很難直接從測量值求得方程的解析解直到廣泛應用計算機以后，才使該方法具有了新的活力目前，該方法的應用仍處在不斷的發展中實 驗目 的(1) (1)             了解橢圓偏振法測量薄膜參數的基本原理；(2) (2)             初步掌握橢圓偏振儀的使用方法，并對薄膜厚度和折射率進行測量實 驗原 理 橢偏法

3、測量的基本思路是，起偏器產生的線偏振光經取向一定的/波片后成為特殊的橢圓偏振光，把它投射到待測樣品表面時，只要起偏器取適當的透光方向，被待測樣品表面反射出來的將是線偏振光根據偏振光在反射前后的偏振狀態變化，包括振幅和相位的變化，便可以確定樣品表面的許多光學特性1 橢偏方程與薄膜折射率和厚度的測量 圖15.1 圖15.1所示為一光學均勻和各向同性的單層介質膜它有兩個平行的界面，通常，上部是折射率為n1的空氣(或真空)中間是一層厚度為d折射率為n2的介質薄膜，下層是折射率為n3的襯底，介質薄膜均勻地附在襯底上，當一束光射到膜面上時，在界面1和界面2上形成多次反射和折射，并且各反射光和折射光分別產生

4、多光束干涉其干涉結果反映了膜的光學特性設1表示光的入射角，2和3分別為在界面1和2上的折射角根據折射定律有n1sin1=n2sin2n3sin3 （15.1）光波的電矢量可以分解成在入射面內振動的P分量和垂直于入射面振動的s分量若用Eip和Eis分別代表入射光的p和s分量，用Erp及Ers分別代表各束反射光K0，K1，K2，中電矢量的p分量之和及s分量之和，則膜對兩個分量的總反射系數Rp和Rs定義為RPErp/Eip , Rs=Ers/Eis （15.2）經計算可得式中，r1p或r1s和r2p或r2s分別為p或s分量在界面1和界面2上一次反射的反射系數2為任意相鄰兩束反射光之間的位相差根據電磁

5、場的麥克斯韋方程和邊界條件，可以證明r1p=tan(1-2)/ tan(1+2), r1s =-sin (1-2)/ sin(1+2)；r2p=tan(2-3)/tan(2+3), r2s =-sin (2-3)/ sin(2+3) (15.4)式（15.4）即著名的菲涅爾（Fresnel）反射系數公式由相鄰兩反射光束間的程差，不難算出 (15.5)式中，為真空中的波長，d和n2為介質膜的厚度和折射率在橢圓偏振法測量中，為了簡便，通常引入另外兩個物理量和來描述反射光偏振態的變化它們與總反射系數的關系定義為上式簡稱為橢偏方程，其中的和稱為橢偏參數（由于具有角度量綱也稱橢偏角）由式(15.1),式

6、( 15.4),式( 15.5)和上式可以看出，參數和是n1，n2，n3，和d的函數其中n1，n2，和1可以是已知量，如果能從實驗中測出和的值，原則上就可以算出薄膜的折射率n2和厚度d這就是橢圓偏振法測量的基本原理實際上，究竟和的具體物理意義是什么，如何測出它們，以及測出后又如何得到n2和d，均須作進一步的討論2和的物理意義 用復數形式表示入射光和反射光的p和s分量Eip=|Eip|exp(iip)， Eis=|Eis|exp(iis)； Erp=|Erp|exp(irp) ， Ers=|Ers|exp(irs) （15.6）式中各絕對值為相應電矢量的振幅，各值為相應界面處的位相由式

7、（15.6）,式（15.2）和式（15.7）式可以得到（15.7）比較等式兩端即可得tan=|Erp|Eis|Ers|Eip| （15.8）=(rp rs)- (ip is) （15.9） 式（15.8）表明，參量與反射前后p和s分量的振幅比有關而（15.9）式表明，參量與反射前后p和s分量的位相差有關可見，和直接反映了光在反射前后偏振態的變化一般規定，和的變化范圍分別為0< /2和0<2 當入射光為橢圓偏振光時，反射后一般為偏振態（指橢圓的形狀和方位）發生了變化的橢圓偏振光(除開<4且=0的情況)為了能直接測得和，須將實驗條件作某些限制以使問題簡化也就是要求入射光和反射光滿

8、足以下兩個條件： （1）要求入射在膜面上的光為等幅橢圓偏振光（即P和S二分量的振幅相等）這時，|Eip|/|Eis|=1,式（15.9）則簡化為 tan=|Erp|/|Ers| （15.10）圖 15.2 （2）要求反射光為一線偏振光也就是要求rp rs=0（或），式（15.）則簡化為 （15.15）滿足后一條件并不困難因為對某一特定的膜，總反射系數比Rp/Rs是一定值式（15.6）決定了也是某一定值根據（15.9）式可知，只要改變入射光二分量的位相差（ipis），直到其大小為一適當值（具體方法見后面的敘述），就可以使（ip is）=0（或），從而使反射光變成一線偏振光利用一檢偏器可以檢驗此條

9、件是否已滿足 以上兩條件都得到滿足時，式（15.10）表明，tan恰好是反射光的p和s分量的幅值比，是反射光線偏振方向 與s方向間的夾角，如圖15.2所示式（15.15）則表明，恰好是在膜面上的入射光中s和s分量間的位相差3 和的測量 實現橢圓偏振法測量的儀器稱為橢圓偏振儀（簡稱橢偏儀）它的光路原理如圖15.3所示氦氖激光管發出的波長為 632. 8 nm的自然光，先后通過起偏器Q，1/4波片C入射在待測薄膜F上，反射光通過檢偏器R射入光電接收器T如前所述，p和s分別代表平行和垂直于入射面的二個方向快軸方向f，對于負是指平行于光軸的方向，對于正晶體是 圖15.3 從Q，C和R用虛線引下的三個插

10、圖都是迎光線看去的指垂直于光軸的方向t代表Q的偏振方向，f代表C的快軸方向，tr 代表R的偏振方向慢軸方向l，對于負晶體是指垂直于光軸方向，對于正晶體是指平等于光軸方向無論起偏器的方位如何，經過它獲得的線偏振光再經過1/4波片后一般成為橢圓偏振光為了在膜面上獲得p和s二分量等幅的橢圓偏振光，只須轉動1/4波片，使其快軸方向f與s方向的夾角=土/4即可（參看后面）為了進一步使反射光變成為一線偏振光E，可轉動起偏器，使它的偏振方向t與s方向間的夾角P1為某些特定值這時，如果轉動檢偏器R使它的偏振方向tr與Er垂直，則儀器處于消光狀態，光電接收器T接收到的光強最小，檢流計的示值也最小本實驗中所使用的

11、橢偏儀，可以直接測出消光狀態下的起偏角P1和檢偏方位角從式（15.15）可見，要求出，還必須求出 P1與（ip is）的關系下面就上述的等幅橢圓偏振光的獲得及P1與的關系作進一步的說明如圖15.4所示，設已將1/4波片置于其快軸方向f與s方向間夾角為/4的方位E0為通過起偏器后的電矢量，P1 為E0與s方向間的夾角（以下簡稱起偏角）令表示橢圓的開口角（即兩對角線間的夾角）由晶體光學可知，通過1/4波片后，E0沿快軸的分量Ef與沿慢軸的分量El比較，位相上超前/2用數學式可以表達成 （15.12） （15.13）從它們在p和s兩個方向的投影可得到p和s的電矢量分別為： 圖15.4 （15.14）

12、 （15.15）由式（15.14）和式（15.15）看出，當1/4波片放置在+/4角位置時，的確在p和s二方向上得到了幅值均為E0/2的橢圓偏振入射光p和s的位相差為ip is =/2-2P1 （15.16）另一方面，從圖15.4上的幾何關系可以得出，開口角與起偏角P1的關系為/2=/4-P1=/2-2P1（15.17）則（15.16）式變為ip is=（15.18）由式（15.15）可得=(ip -is)= -（15.19）至于檢偏方位角，可以在消光狀態下直接讀出 在測量中，為了提高測量的準確性，常常不是只測一次消光狀態所對應的P1和1值，而是將四種（或二種）消光位置所對應的四組（P1, 1

13、）),（P2, 2）,（P3, 3）和（P4, 4）值測出，經處理后再算出和值其中,(P1, 1)和（P2, 2）所對應的是1/4波片快軸相對于S方向置+/4時的兩個消光位置(反射后P和S光的位相差為0或為時均能合成線偏振光)而(P3,3)和(P4,4)對應的是1/4波片快軸相對于s方向置-/4的兩個消光位置另外，還可以證明下列關系成立：|p1-p2|90,2-1|p3-p4|90，43.求和的方法如下所述(1) 計算值將P1，P2 ,P3和P4中大于/的減去/，不大于/的保持原值，并分別記為< P1>,< P2>，< P3>和< P4>，然后分

14、別求平均計算中，令 和 ， (15. 20)而橢圓開口角與和的關系為 (15.21)由式(15.22)算得后，再按表15.1求得值利用類似于圖15.4的作圖方法，分別畫出起偏角P1在表15.1所指范圍內的橢圓偏振光圖，由圖上的幾何關系求出與公式（15.18）類似的與P1的關系式，再利用式（15.20）就可以得出表15.1中全部與的對應關系 表15.1 1與的對應關系 P1 D=-(ip-is) 0/4-/4/2 /23/4-3/4- (-) (2) (2)           

15、;  計算值：應按公式（15.22）進行計算 (15.22)折射率n2和膜厚d的計算 盡管在原則上由和能算出n2和d，但實際上要直接解出（n2,d）和（,）的函數關系式是很困難的一般在n1和n2均為實數（即為透明介質的），并且已知襯底折射率n3（可以為復數）的情況下，將（n2,d）和（,）的關系制成數值表或列線圖而求得n2和d值編制數值表的工作通常由計算機來完成制作的方法是，先測量（或已知）襯底的折射率n2，取定一個入射角1,設一個n2的初始值，令從0變到180°（變化步長可取/180，/90，等），利用式（15.4），式（15.5）和式（15.6），便可分別算出d，和值然

16、后將n2增加一個小量進行類似計算如此繼續下去便可得到（n2,d）（,）的數值表為了使用方便，常將數值表繪制成列線圖用這種查表（或查圖）求n2和d的方法，雖然比較簡單方便，但誤差較大，故目前日益廣泛地采用計算機直接處理數據另外，求厚度d時還需要說明一點：當n1和n2為實數時，式（15.4）中的2為實數，兩相鄰反射光線間的位相差“亦為實數，其周期為22可能隨著d的變化而處于不同的周期中若令2=2時對應的膜層厚度為第一個周期厚度d0，由（15.4）式可以得到 由數值表，列線圖或計算機算出的d值均是第一周期內的數值若膜厚大于d0，可用其它方法(如干涉法)確定所在的周期數j，則總膜厚是 D = (j -

17、1) d0+d金屬復折射率的測量以上討論的主要是透明介質膜光學參數的測量，膜對光的吸收可以忽略不計，因而折射率為實數金屬是導電媒質，電磁波在導電媒質中傳播要衰減故各種導電媒質中都存在不同程度的吸收理論表明，金屬的介電常數是復數，其折射率也是復數現表示為=n2 -i式中的實部n2并不相當于透明介質的折射率換句話說，n2的物理意義不對應于光在真空中速度與介質中速度的比值，所以也不能從它導出折射定律式中稱為吸收系數這里有必要說明的是，當為復數時，一般1和2也為復數折射定律在形式上仍然成立，前述的菲涅爾反射系數公式和橢偏方程也成立這時仍然可以通過橢偏法求得參量d,n2和k，但計算過程卻要繁復得多本實驗

18、僅測厚金屬鋁的復折射率為使計算簡化，將式（15.25）改寫成以下形式=n2-in由于待測厚金屬鋁的厚度d與光的穿透深度相比大得多，在膜層第二個界面上的反射光可以忽略不計，因而可以直接引用單界面反射的菲涅爾反射系數公式（15.4）經推算后得 公式中的n1，1和的意義均與透明介質情況下相同實 驗 內 容 關于橢偏儀的具體結構和使用方法，請參看儀器說明書 實驗時為了減小測量誤差，不但應將樣品臺調水平，還應盡量保證入射角1放置的準確性，保證消光狀態的靈敏判別 另外，以下的測量均是在波長為632.8nm時的參數而且，所有測量均是光從空氣介質入射到膜面 1 測厚鋁膜的復折射率 取入射角1=/3按已述方法測

19、得和由式(15.26)和式(15.27)式算出n和值，并寫出折射率的實部和虛部 2測硅襯底上二氧化硅膜的折射率和厚度 已知襯底硅的復折射率為n3=3.85i0.02,取入射角1=718二氧化硅膜只有實部膜厚在第一周期內 測出和后，利用列線圖（或數值表）和計算機求出n2和d，將兩種方法的結果進行對比并計算膜的一個周期厚度值d0 3 測量0玻璃襯底上氟化鎂（MgF2）膜層的折射率和厚度 (1) 測0玻璃的折射率 首先測出無膜時K0玻璃的和值，然后代入n3=n3（,1）的關系式中算出n3值，測量時入射角1取7/18關于n3與三個參量的關系式，根據式（15.1），式（15.4），式（15.5）和式（1

20、5.6），并令膜厚d0，便可以算出n3的實部n0的平方值和n3的虛部值為 (15.28) (15.29) （2）測透明介質膜氟化鎂的折射率和厚度 仍取入射角1=718膜厚在第一周期內測出和后也用列線圖和計算機求出結果思 考 題 (1) 用橢偏儀測薄膜的厚度和折射率時，對薄膜有何要求？ (2) 在測量時，如何保證1較準確？ (3) 試證明：|P1-P2| =/2，|P3-P4| =/2 (4) 若須同時測定單層膜的三個參數（折射率n2，厚度d和吸收系數），應如何利用橢偏方程？遺傳算法在橢圓偏振測量中的應用彭子龍李佐宜胡煜譚立國楊曉非摘要： 詳細介紹了橢圓偏振法測量的基本原理和橢偏函數方程的建立，

21、將遺傳算法引入到橢偏法測試薄膜的折射率和厚度的計算中，改善了計算的收斂性并提高收斂速度。給出了計算程序流程圖，重點分析了各遺傳算子的設計。關鍵詞： 橢偏儀測量； 遺傳算法中圖分類號： O484.5文獻標識碼： A文章編號： 1002-1582(2000)03-0277-04Application of genetic algorithm in measurement with ellipsometerPENG Zi-long,LI Zuo-yi, HU Yu, TAN Li-guo, YANG Xiao-fei(Dept. of Electrical Sci. & Tech., Hua

22、zhong University of Sci. & Tech., Wuhan430074, China)Abstract: The principle of the ellipsometer and the founding of the elliptic function were described detailedly. The genetic algorithm (GA) was introduced to calculate the refraction and thickness of sample measured by ellipsometer, which grea

23、tly ameliorated the convergence of computation and elevated the convergent speed. The GA calculating framework was presented and the stratage for GA was amply analyzed and a special software was developed.Key words: ellipsometer; measurement; genetic algorithm1引言隨著薄膜技術在信息存儲材料、光學及空間技術等領域中的廣泛應用，薄膜光學常數

24、的精確測定也越來越顯示其舉足輕重的作用。測定介質薄膜折射率的布儒斯特角方法和測定厚度的多光束干涉法早已為廣大薄膜工作者所熟悉，但是受到計算手段等的限制，具有最高測試精度的橢圓偏振法一直沒有得到廣泛的實際應用。橢偏法不僅可以測定單層介質膜、吸收膜的復折射率和厚度，采用適當的測量方法和計算程序，它還可以同時測定多層介質膜、吸收膜的復折射率和厚度，為分析薄膜的光學特性提供了強有力的手段。橢偏法的另一個突出的優點是它是一種無損測量即不破壞待測樣品也沒有特別的樣品要求。本文首先介紹橢偏法測量的基本原理和實驗裝置，然后結合程序框圖分析在采用遺傳算法計算橢偏法測試結果中遺傳算子設計及收斂性等細節。2基本原理

25、當一束線偏振光入射到薄膜表面時，入射光波中的電場強度P分量和電場強度S分量在兩種媒質的交界面上的行為是不同的，即通常P分量和S分量的反射率和反射相移各不相同，于是在反射光的P分量和S分量之間產生了附加的振幅差和位相差，反射光一般會成為橢圓偏振光。在入射介質及基片的光學常數和入射角已知的情況下，這個反射的橢圓偏振光的參數僅由薄膜的光學常數決定。這就是橢偏法測量薄膜光學常數的根據。下面給出以多層膜為對象的具體表達式。為了計算多層膜的橢偏率，就必須先計算薄膜對P分量和S分量的菲涅爾反射系數rp和rs。計算多層膜菲涅爾反射系數的方法很多，如特征矩陣法、矢量法等1，這里從編程的角度考慮采用了遞推法，如圖

26、1所示。遞推法的基本思路是從多層膜的底層開始，依次將兩個相鄰界面按光學導納等效為一個界面，一直等效到薄膜的表面，這時就相當于只有單一界面了。取k+1層的組合導納為Yk+1=k+1，則第j層的組合導納的等效遞推關系為圖1遞推法計算多層膜光學導納示意圖(1)其中j稱為第j層的位相厚度。以上各式中j為第j層的光學導納(2)各層的折射角i由Snell定律決定。需要指出的是，當第j層為吸收膜即nj為復數時，j亦應當是一個復數。這樣依次計算直到第一層，最后得到多層膜的等效組合導納YY1。則整個膜系P分量和S分量的菲涅爾反射系數分別為(3)則理論上該多層膜的橢偏率c表示為(4)另一方面，通過橢偏儀我們可以得

27、到多層膜系的橢偏率測量值m。下面先介紹橢偏儀的基本結構和測試原理。消光橢偏儀的光路如圖2所示，圖中采用P-S坐標系。自然光經起偏器成線偏光E0，再經45°的/4波片成等幅橢偏光。經樣品反射后一般會改變其偏振態，調節起偏器的方位角可使反射光成為線偏光Er，最后經檢偏器消光。/4波片的作用是使E0分解成E快和E慢，如圖3所示，并且使E快超前E慢/2的相位。一般/4波片的快軸方向取±45°。我們取45°方向，所以圖2消光橢圓偏振儀的光路圖圖3 /4波片作用下的線偏光(5)(6)它們在X、Y軸上的投影合成為Eip和Eis，經簡單的計算可得(7)(8)于是Eip=

28、Eis(9)ip-is=2P-/2(10)上式表明我們得到了等幅且P、S相位差可調的入射偏振光。通過起偏器使反射光在膜系相位變化的基礎上給予足夠的補償，從而使之成為線偏光，即+ip-is=rp-rs=0或。對應于45°的/4波片快軸取向，我們有(11)由橢偏儀測得兩組起偏器和檢偏器的方位角（P，A），按（11）式計算并得到、的平均值，最后得到膜系橢偏率的測量值為m=tgei(12)令 c=m就建立起了膜系的橢偏函數方程。從以上推導可以看到，橢偏函數方程是一個超越方程。一般情況下入射介質和基片的折射率是已知的，當固定測試光的波長和入射角時，方程是各層膜的復折射率nj及膜層厚度dj的函數

29、，它不可能通過解析方法直接求解，吳永漢等曾采用變量代換法討論了單層介質膜時的方程求解2。特別是當薄膜是多層結構時，方程中的未知量個數多于方程數，此時方程已不能唯一決定一組nj及dj。進一步的分析可知，橢偏函數具有一定的周期性3，其周期是ndcos=，如果令f(nj,dj)=c-m，則f(nj,dj)是一個多峰函數，nj、dj的真實值的函數值應對應于某個周期中的峰值，如果我們根據其他信息(比如薄膜制備時間等)能夠預先大概地判定膜系中各層膜的nj及dj的范圍，則有可能采用合適的算法而得到nj及dj，徐瑛則采用蒙特卡洛方法討論了多層膜系的橢偏方程求解并給出了計算流程圖4。我們分析并綜合比較了各種算法

30、的特點，決定采用遺傳算法來求解橢偏函數方程。3遺傳算法設計遺傳算法是受到自然界生物從低級、簡單到高級復雜的漫長而絕妙的進化過程的啟發，借鑒于達爾文的物競天演、優勝劣汰、適者生存的自然選擇和自然進化的機理而產生的一種求解問題的高效并行全局搜索方法。它能在搜索過程中自動獲取和積累有關搜索空間的知識，并自適應地控制搜索過程以求得最優解，尤其適合于處理傳統搜索方法難以解決的高度復雜的非線性問題5,6及多參數優化問題。我們基于遺傳算法的薄膜參數計算框圖如圖4所示，下面結合收斂性著重介紹遺傳算子的設計。圖4遺傳算法的計算流程圖(1) 編碼考慮到表達的普遍性，將折射率統一視為復數(若薄膜為介質材料則復折射率

31、的虛部為零)，這樣連同膜層厚度總共為每層3個未知量。我們定義復折射率的實部和虛部的各占10個基因位，而膜層厚度占12位，一個膜層為一個子串。這樣對于n層的薄膜而言，其染色體長度為32n。(2) 評價函數如上文所述，函數f(nj,dj)=c-m，反映了計算值與測量值之間的差距。我們由此構筑了函數f(nj,dj)=(c-m)/m這一計算值與測量值之間的相對差距來描述解的合理程度。該函數值越小表明當前的一組nj、dj的越合理（即適應值越大），所以我們在通過解碼計算得到所有個體的函數值之后，找出其中的最小值fmin并定義相應個體的適應值為1，其它個體的適應值則為adj=fmin/fj。(3) 復制算子

32、采用定比例方法。設群體規模為N，我們規定在下一代中只有20N的個體是由復制產生的，同時規定只有適應度最好的4個個體（相同個體只計一次）有生成下一代個體的權力，并且這4個最優個體在20N中占的比例依次為：50、25、15和10。這種復制算子使得在下一代的種群中較優個體占一定規模但是不能完全控制進化過程，從而避免了計算過程中的不成熟收斂。(4) 交配池與交叉算子設定交配池規模為80N，上一代中的所有不相同的個體全部作為交配池中的當然成員，其不足部分由隨機產生的個體補足。然后指定上一代中的最優個體作為父代之一與交配池中的所有個體依次進行兩點交叉，交叉位隨機產生并且兩交叉點間的距離為4個基因位，這樣就

33、使進化優勢得到了積累。由此產生的80N個個體和直接復制產生的20N個個體合并為下一代的種群。(5) 變異算子群體的總基因位數為34n.N，變異概率為Pm，則在一次進化過程中共有34n.N.Pm位的基因發生突變，突變個體及突變基因的位置隨機指定。我們固定群體中的第一個個體始終為適應值最好的個體，并且該個體不參與變異操作。這樣在每一個進化過程中，只要產生了適應度更好的個體，該個體都將被無條件地保留，從而保證了計算的收斂性5。上述復制、交叉和變異算子的綜合運用保證了種群在進化過程中始終有足夠的多樣性，從而加快了收斂速度。圖5繪出了某次計算中種群多樣性和收斂誤差與遺傳代數的關系。其中定義圖5遺傳計算過程中的種群多樣性和收斂特性在實際的計算過程中，我們嘗試了各個參數不同取值時的計算效率和結果，最后確定的參數為N=150、Pc0.8、Pm0.2，最大遺傳代數為Genmax=膜層數×50。同時以方便實用為目標，我們在MatLab5.2下開發了Windows風格的應用軟件包。該軟件包同時具有計算參數設定、測試數值輸入與計算、結果保存與打印等常用的功能。4結果與討論我們測試了采