1、高中必修4平面向量知識點歸納及常見題型| 一.向量的基本概念與基本運算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c來表示，或用有 向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：AB幾何表示法 Au, a; 坐標表示法a xi yj （x, y）.向量的大小即向量的模（長度），記作 | AB|即向量的大小，記作| a 1 .向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.零向量：長度為0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向 rr重平行 若向重a=01 a | =0.由于0的方向是任息的，且規7E 0平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是 否有非零向量這個條件.（注

2、意與0的區別）單位向量：模為1個單位長度的向量.向量a0為單位向量I a。I =1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行 向量都可以移到同一直線上、方向相同或相反的向量，稱為平行向量. 記作a II b .由于向量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總 可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量 .數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點 可以任意選取，現在必須區分清楚共線向量中的 共線”與幾何中的 共 線”、的含義，要理解好平行向量中的 平行”與幾何中的 平行”是不一 樣的.XiX2yiy2相等向量：長度相等且方向相同的向量 相等向量經過平移后總

3、可以重合，記為a b .大小相等，方向相同(卬必)優心) 2向量加法 求兩個向量和的運算叫做向量的加法uuur uurrr uuruur uur設 ABa,BCb,貝 Ua+b=ABBC =AC,(1) 0 a a 0 a； (2)向量加法滿足交換律與結合律;向量加法有三角形法則”與平行四邊形法則”:(1)用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向 量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量(2)三角形法則的特點是 首尾相接"，由第一個向量的起點指 向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和； 差向量是從 減向量的終點指

4、向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首 尾連接時，用三角形法則.向量加法的三角形法則可推廣至多個向量 相加：uur uuur uuuruuu uuu uuu一.AB BC CD L PQ QR AR ,但這時必須首尾相連.3向量的減法 相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向 量 記作a,零向量的相反向量仍是零向量關于相反向量有：(i)( a)=a； (ii) a+( a)=( a)+a=0 ；(i儲a、b是互為相反向量,則a= b,b= a,a+b=0,向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a b a ( b) 1:求兩個向量差

5、的運算，叫做向量的減法作圖法：a b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量(a、b有共同起點)4實數與向量的積：實數人與向量a的積是一個向量，記作入a,它的長度與方向規定如下：(I ) | a | | |a ；(H)當 0時，入a的方向與a的方向相同；當 0時，入a的方向與a的方向相反；當0時，a 0,方向是任意的數乘向量滿足交換律、結合律與分配律5兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線 有且只有一個實數 ，使得b = a.6平面向量的基本定理：如果e©是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數1, 2使：a is 23,其中不共線的 向量ei &

6、#169;叫做表示這一平面內所有向量的一組基底7、特別注意：(1)向量的加法與減法是互逆運算(2)相等向量與平行向量有區別，向量平行是向量相等的必要條件(3)向量平行與直線平行有區別，直線平行不包括共線(即重合) ，而向量平行則包括共線(重合)的情況(4)向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置 無關，只與其相對位置有關學習本章主要樹立數形轉化和結合的觀點， 以數代形，以形觀數, 用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系， 正確 運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、 向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等：由于向量是一新的工具，它往 往會與三角函數

7、、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是 知識的交匯點二.平面向量的坐標表不1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相 同的兩個單位向量i,r作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內 的任一向量a可表示成a xir yr ,由于a與數對(x,y)b一對應的，因 此把(X,則做向量a的坐標，記作a=(x,y淇中x叫作a在x軸上的坐標， y叫做在y軸上的坐標.(1心目等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關2平面向量的坐標運算：y2必,X2X1 r b ra rnu 貝y2 , r b

8、,y1, % ra 若 17.uurX2 Xi, y2yi(2)右 A 為， ,B X2,y2 ,則 AB(3)若 a=(x,y)貝|a=( x, y)o y X2 X1r b r a 貝y2,r b,y1,ra若y2必X1 r b ra 貝y2,y1,X ( a 若 5)h r I右 a b ,貝U x1 x2 y1y 2 03.向量的運算向量的加減法，數與向量的乘積，向量的數量（內積） 及其各運算的坐標表示和性質運算類型幾何方法坐標方法運算性質向 量 的 加 法1 .平行四邊形法則2 .三角形法則r ra b (x 泡 y y)abba(a b) c a (b c)uuu uuur umr

9、AB BC AC向量的減法三角形法則r ra b (x x2,y ya b a ( b)uuu uuuAB BAuuu uur uurOB OA AB向量a是一個向量，滿足：a ( x, y)(a) ( )a()a a a的>0時，a與a同(a b) a b乘向；a / b a b法<0時，a與a異向；=0時，a=0.向a?b；1r-個數a?b x為 %a?b b ?a量a 0或b 0日t,(a)?b a?( b) (a?b)的a?b=0(a b) ?c a ?c b ?c數a 0且b 0時，a2 |a|2,|a| 弋X y2量a?b |a|b|cos a,b|a?b| |a|b|

10、積.平面向量的數量積 1兩個向量的數量積:r. r rr r已知兩個非答向重a與b ,匕們的夾角為 ，則a b = | a | -| b | cos 叫做a與b的數量積（或內積），規定0 a 0.rr rr2向量的投影：| b | cos=a* 6R稱為向量b在方向上的投影,投 |a|影的絕對值稱為射影3數量積的幾何意義：a b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關系：a a a2 ia5乘法公式成立:r b ra r b ra2 ra2 ra2ra2r b rb ra22ra2r b rar b 2 ra r b 26平面向量數量積的運算律：r r r父換律成立：a b

11、b ar rr對頭數的結合律成立： a b a b a b r分配律成立：a b c a c b c c a b特別注意：（i）結合律不成立：a b c a b c ；（2）消去律不成立abac不能得到br crr . r r（3）a b=o不能得到a=0或b=0.7兩個向量的數量積的坐標運算：r1rr r已知兩個向重 a （Xi,y）b （X2,y2）,則 a b =x1x2 y1y2*8向量的夾角：已知兩個非零向量a與b,作OA=a, Ouu,則/aob=r ， ， （0°180°）叫做向量a與b的夾角cos =cos a, bra ?bra ?bX1X2y1y2222

12、2yi、X2 y2rr當且僅當兩個非零向量a與b同方向時，0=g,當且僅當a與b反方向,一，r，時0=18°,同時°與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題rrr9垂直：如果a與b的夾角為90°則稱a與b垂直，記作a±b< 1°兩個非零向量垂直的充要條件a X b a b =O x y* °平面向量數量積的性質題型1.基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（2）若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。(4)四邊形ABCD是平行四邊形的條件是uuu uurAB CD。

13、(5)uur 若ABUUUlCD ,則 A、B、C D四點構成平行四邊形。(6)因為向量就是有向線段,所以數軸是向量。r ra與b共線,b與c共線，則a與c共線。(8)r marmb,r bo(9)r ma(10)a與b不共線，則r ra與b都不是零向量。(11)a b | a| | b |,則 a/b。(12)r bo題型2.向量的加減運算r1.設a表布“向東走8km”,b表示“向北走6km”，則|ar b|uuu2.化簡(ABuuurMB)uuur(BOuur uuuuBC) OMuuu3.已知|OA|uuuuuu5 ,| OB | 3,則| AB |的最大值和最小值分別為UUUTuuu.

14、 uultuuur4.已知AC為AB與AD的和向量，且AC5.已知點C在線段AB上，且uuurAC3 UUT -AB5r uuurra, BDb,則UULTuuu，則ACBCuur ABruuuABuuur，ADuuuBC。題型3.向量的數乘運算r r1.計算：(1) 3(a b)r2(ar b)(2)2(2a 5b3c) 3( 2a 3b 2c)2.已知 a(1, 4),b ( 3,8)-b題型4.作圖法球向量的和r r已知向量a,b,如下圖，請做出向量r3a1b 和 2a 2%。2題型5.根據圖形由已知向量求未知向量uuruuur1.已知在 ABC中，D是BC的中點，請用向量AB,AC表示

15、UULT AD。uuur r uuur2.在平行四邊形 ABCD中，已知AC a,BDr uuu uuurb ,求 AB?口 AD 。題型6.向量的坐標運算uuu1 .已知AB (4,5) , A(2,3),則點B的坐標是。 uuir2 .已知PQ ( 3, 5), P(3,7),則點Q的坐標是。 r rr3 .若物體受三個力 Fi(1,2), F2 ( 2,3), F3( 1, 4),則合力的坐標為 r,rr,r r,r r r4 .已知 a(3,4), b(5,2),求 ab, ab, 3a2b。r5 .已知 A(1,2), B(3,2)，向量 a (x 2, xuuuuuiruuur6

16、.已知 AB (2,3), BC (m,n), CDuur7 .已知O是坐標原點， A(2, 1), B( 4,8),且ABuuur3y 2)與AB相等，求x,y的值。uuir(1,4),則 DA uur runr3BC 0 ,求OC的坐標。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底ur uu1 .已知向£2是平面內的一組基底，判斷下列每組向量是否能構成一組基底:urur urur ur ur ur urA.e13和e62B.3e2e2和 4e26Gr，r ,2 .已知a (3,4),能與a構成基底的是(uruu 十 uuuruu 十 ur urC©3a和e23qD©和

17、 e23),4 3、，34、B.(-,-)C.(-,-)5 555D.(1,3)題型8.結合三角函數求向量坐標uuu1 .已知。是坐標原點，點 A在第二象限，|OA| 2,uurxOA 1500,求OA的坐標。2 .已知O是原點，點A在第一象限,uuu|OA| 4、3uurxOA 600,求OA的坐標。題型9.求數量積r rr rr rr1.已知 |a| 3,| b| 4 ,且 a與 b 的夾角為60°,求(1) a b, (2) a (a b),r1 r r小 rI、，J、(3) (a-b) b, (4)(2ab) (a3b)。2 r2.已知 a (2, 6),b,、 r r r

18、r r r r(8,10)，求(1) |a|,|b|, (2) a b, (3) a (2 a b),r r(4) (2b) (a 3b)。題型10.求向量的夾角r r r .rr,r ,1 .已知|a| 8,|b| 3, a b 12,求a與b的夾角。r _ rr r2 .已知 a (J3,1),b ( 2j3,2),求 a與 b 的夾角。3 .已知 A(1,0), B(0,1) , C(2,5),求 cos BAC。題型11.求向量的模r rr rrrrr1 .已知 |a| 3,|b| 4 ,且 a與 b 的夾角為60°,求(1) |a b |,(2) |2a 3b|。rrr r

19、r rr1r2 .已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1) |a |,| b |, (5) |a b|, (6)|a b|。23 .已知1a1 1,ibi 2,13a 2b 3,求 13a bi。題型12.求單位向量r【與a平行的單位向量:ra|a|r1 .與a (12,5)平行的單位向量是 。r 12 .與m ( 1,1)平行的單位向量是。2題型13.向量的平行與垂直rrr r rr1 .已知 a(6,2) , b( 3,m),當 m 為何值時，(1)a/b?( 2) ab ?rrrr r r2 .已知a(1,2), b( 3,2), (1) k為何值時，向量kab與a3b垂直?

20、(2) k為何值時，向量kar3b平行?r 一3.已知a是非零向量,r r rr 一 r rra b a c ,且 b c ,求證：ar r(b c)。題型14.三點共線問題1 .已知 A(0, 2), B(2, 2), C(3,4),求證:uuu 2 r ruuur r r uuur2 .設 AB(a5b),BC2a8b,CD2 uuurr uuur r r uuur r3 .已知 ABa2b,BC5a6b,CD7a4 .已知 A(1, 3), B(8, 1),若點 C(2a 1,a5 .已知四個點的坐標O(0,0) , A(3,4), uur uur umr OA tOB OC 成立？題型

21、15.判斷多邊形的形狀 uur runrr uuurumrA,B,C三點共線。r r3(a b),求證：A B、D三點共線。r2b ,則一定共線的三點是。2)在直線AB上，求a的值。B( 1,2) , C(1,1),是否存在常數t,使1 .若AB 3e, CD 5e,且|AD| | BC |,則四邊形的形狀是 。2 .已知 A(1,0), B(4,3) , C(2,4), D(0,2),證明四邊形 ABCD 是梯形。3 .已知A( 2,1), B(6, 3) , C(0,5),求證：ABC是直角三角形。uuuuuuuuur4 .在平面直角坐標系內，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC

22、(1,3),求證：ABC是等腰直角三角形。題型16.平面向量的綜合應用rrrr rr 一1.已知a(1,0), b(2,1),當k為何值時，向量 kab與a3b平行？2.已知 a(j3, j5),且 ar|b|r r3.已知冉b同向,(1,2),則r10,求a的坐標。3.已知(1,2)(3,1)(5,4),則4.已知(5,10)(3,4)(5,0)，請將用向量r rra,b表不向重c。5.已知(m,3)(2, 1)(1).r .右a與b的夾角為鈍角，求m的氾圍; r .(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍。一 rr6.已知 a (6,2) , b ( 3,m)當m為何值時，(1)與b的夾角為鈍角?(2)a與br的夾角為銳角?7.已知梯 形ABCD的頂 點坐標分 別為A( 1,2) , B(3,4) , D(2,1),且AB/DC ,AB 2CD ,求點C的坐標。8.已知平行四邊形 ABCD的三個頂點的坐標分別為 A(2,1), B( 1,3), C(3,4),求第四個頂點D的坐標。9.一航船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30o 角,求水流速度與船的實際速度。10.已知ABC三個頂點的坐標分別為 A(3,4), B(0,0) , C(c,0),(1)若uurABuuurAC0,求c的值;(2)若c 5 ,求sin