1、導數的應用 學案學習目標：內容：導數與函數單調性、函數的極值、最值的關系；能力：掌握應用導數求解函數的單調區間、極值與最值，并討論函數的單調性；情感、態度、價值觀： 提高學生應用數形結合思想與分類討論思想的能力和意識；學習重點：求解三次函數、分式函數、對數式函數的單調性問題；學習難點：應用分類討論與轉化思想解決含字母系數的問題。教學過程一、基礎練習：一_ _2_ 、,、一1、函數f(x) x (x 3)的單調增區間為 ；單調減區間為。2_解：f (x) 3x 6x2x0令 f (x) 0 x2或x 0； f (x) 0f(x)的增區間分別為(2)、(0,);減區間為(2,0)15其中，極大值f

2、( 2) 4,極小值f(0) 0。注：(1)依據導數和極限的思想，可以作出函數的草圖。函數的圖像主要 有兩個方面：關鍵點：函數與 x軸的交點為點(0, 0)、( 3,0);函數的極值點為點(2, 4)、(0, 0)。函數圖像的整體走勢：函數的單調性與奇偶性等；無窮遠處函數的取值趨勢。當x時,當x時,則函數f(x)像大致為：作出函數的圖像，可以更好地解決函數相關問題。例如：討論方程x2(x 3) a (a是常數)根的情況。當a 4或a 0時，方程存在唯一的實根；當a 4或a 0時，方程有兩個不同的實根；當0 a 4時，方程有三個不同的實根，即a得值在兩個極值之間。(2)導函數圖像與原函數圖像間的

3、關系：原函數看單調，導函數看正負。導數f (x) 3x2 6x的圖像為、2i;f (x)應用：根據導數圖像分析原函數的性質J、，一 yf 單調性：f(x)的增區間分別為(，2)、2 .(0,);減區間為(2,0) /極值情況：極大值 f( 2) 4,極小值f (0) 0。32、函數f(x) x的單調增區間為解：f (x) 3x2,則 f (x) 3x2 0 , x R注：(1)四種三次函數的圖像;-2以上是三次函數圖像主要的四種類型，其它的可以看作是由此經過豎 直方向或水平方向的平移后得到的。(2)已知f(x)在X X0處可導，則f (Xo) 0是f(x)在x X0處取得極值的 條件。練習：函

4、數f(x)的定義域為(a,b),導函數f (x)在(a,b)內的圖象如圖 所示，則函數f(x)在開區間(a,b)內極小值點的個數為 。6 . 6x 3、函數f (x) 的增區間為 ,減區間為 x 16(x2 1) 6x 2x 6 6x2解：f (x) 222(x2 1)2(x2 1)2令 f (x) 01 x 1 ; f (x) 0 x1或x 1f(x)的增區間為(1,1),減區間分別為(，1)、(1,)。其中，極小值f( 1)3,極大值f (1) 3。注：(1)依據導數和極限作出函數草圖：關鍵點：函數與 x軸的交點為點(0, 0)、；函數的極值點為點(1, 1)、(1, 3)。函數圖像的整體

5、走勢：函數的單調性與奇偶性等；無窮遠處函數的取值趨勢。當x時,f(x)0, f(x)0;時,f(x)0, f(x)0。即，x軸是f(x)的漸進線。6x則函數f (x)的圖像大致為:x 1f (x)在R上是奇函數，在對稱的區域內，函數的圖像關于原點對稱,進而可以判斷函數的單調性與極值情況。(2)應用得到的圖像可以深入探討函數的相關問題。例如:函數的值域為3,3 ;6x方程a ( a為常數)實數根的分布情況；x2 16x6x不等式a或a恒成立時，a的取值范圍等。x2 1 x2 1. 2x 1 4、函數f (x) r的增區間為 ,減區間為 (x 1)22(x 1) 2(2x 1)(x 1)3解：由題

6、得，x 1一2-一f (x)2(x 1)2(x 1)(2x 1)(x 1)4f (x)2x(x 1)3令 f (x) 02x(x 1) 00 x 1f (x) 02x(x 1) 0 x 0或 x 1f(x)的增區間為(0,1),減區間分別為(，0)、(1,)。其中，極小值f (0)1 ,但x 1不是極值點。注：作出函數的草圖1關鍵點：與x軸的交點為點(一,0)；2極值點為(0, 1), x 1不是極值點，而是漸進線。函數圖像的整體走勢：當 x時，f(x) 0, f (x)當 x時，f(x) 0, f (x)由x 1是f(x)的漸進線，則當 x 1 時，f(x)i2x 1則f(x) 2的圖像大致

7、為:(x 1)以具體的函數為載體，深入細致地研究函數的相關性質，并發現其中的規律。進而應用于含參類型的抽象函數問題中。二、鞏固提高：一 -1 Q例1： f (x) -x ax 3a x 1,求f(x)的單倜區間。分析：健康管理師 三次函數確定單調區間，求導轉化為二次不等式時，須注意：(1)二次函數的開口方向；(2)二次方程中，兩根的大小關系；(3)根據需要，對字母系數的分類討論；0a03a ( a) 4a0a0。0a0解：f (x) x2 2ax 3a2 (x a)(x 3a)當a 0時,f (x) x2 0,則f(x)在R上是增函數;當a 0時,令 f

8、(x)0 x 3a 或 xf (x)3a則f(x)的增區間分別為(3a,(a,3a);當a 0時，a 3a令 f (x) 0 xa或x3a ；f (x)3a則f(x)的增區間分別為(,3a)、(a,(3a, a);鞏固練習：1、f (x)2x b /；一升,求 f (x), (x 1)并確定f (x)的單調區間。分析：(1)(2)(3)分式函數、根式函數與對數式函數問題中，先明確函數定義域;分式不等式的求解一一轉化為整式不等式(同解變形) 根據需要，對字母系數的分類討論；解：由題得,f (x)f (x)(b 1) 1 b 20022(x 1)2 (2x b) 2(x 1)(x 1)42(x 1

9、) 2(2x b)(x 1)32x(x2(x(b 1) 1)32時，f(x)2x (b 1)(x 1)3f(x)在(,1)、(1,當b 2時，b1) 2(2x b) (x 1)3(TV0)上分別為減函數;f(x)的增區間為(1,b令 f (x) 0(xf (x) 0(xf (x)的增區間為(b當b 2時，b 1 1令 f (x) 0(xf (x) 0(x1)x (b 1)01)x (b 1)01,1),減區間分別為1)x (b 1)01)x (b 1)01),減區間分別為b 1x 1x b 1或 x1(,b 1)、(1,)；1 x b 1x 1或 x b 1(,1)、(b 1,)；當 a 2時

10、，f (x)2x22x0開口向下;(x 2)(a 2)x (a 1)13122、函數 f (x) -(a 2)x-(3a 5)x2(a 1)x,求 f (x),并確32定f(x)的單調區間。分析：在求解含字母系數的二次不等式的過程中，須注意(1)若x2系數含字母，判斷是否二次;(2)對應二次函數的開口方向:當a 2 0,開口向上；當a (2)對應二次方程兩根的大小關系；解：f (x) (a 2)x2 (3a 5)x 2(a 1)f(x)的增區間為(，2),減區間為(2,);.一 .一- 2一當 a 3時，f (x) (x 2)0f (x)在R上是增函數;當a 3時，a 2令 f (x) 0U

11、2 a 2 a 1 或x 2； 2f (x) 0f(x)的增區間分別為當2 a 3時，a令 f (x) 0f (x)的增區間分別為當a 2時，a令 f (x) 0f (x)的增區間為備用例題:例 1 ： f (x)(1)； (2)1 3 一 x3若xa 1 ,aT2 a 1)、2 0,a 1a 2口a 2(2,),減區間為2(:2 a 1 a-2?a2、J1 2x 2； f (x)(x)減區間為(2,a 1a 2a 1,)；,2),減區間分別為(ax2 3a2x 1,a 1,a2恒有f (x)3a分析：轉化與化歸思想的應用, 通過等價轉化解決問題。尤其在函數與不等式的解：(2) f (x) x

12、2 2ax3a2 (x a)(x 3a)由x a 1,a 2恒有f (x)(x) mina 1,a 2f (x)在a,)上是增函數，由f (x)在a得：1 4a2)、(2,求正數a的取值范圍。 “恒成立”問題中,1,a 2上是增函數，f (x) min f (a 1) 13a轉化4a2由 a 0,得：0 a 1。鞏固練習：已知函數f (x) in x x2 ax ,(1)若f (x)在定義域內為增函數，求實數 a的取值范圍;_2(2)設 g(x) f(x) x 1,當 a 1 時，求證：g(x) 0恒成(1)解：由題得：x 0r 1f (x) 2x ax1 一八一則 f (x) 2x a 0, x 0x得：f (x)min 0, x 0 轉化2.1 2xx2x即x攔時，取2得