1、廣州仲元中學(xué)高三數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練測試系列(平面向量)時間：120分鐘分值：150分一、選擇題(每小題5分，共60分)1(2009·重慶高考)已知向量a(1,1)，b(2，x)若ab與4b2a平行，則實(shí)數(shù)x的值是()A2B0C1 D2解析：依題意得ab(3，x1),4b2a(6,4x2)，ab與4b2a平行，3(4x2)6(x1)，由此解得x2，選D.答案：D2如圖1，已知a，b，3，用a，b表示，則等于()圖1Aab B.abC.ab D.ab解析：ba，3，ab，故正確答案是B.答案：B3已知向量a、b滿足|a|1，|b|2，|2ab|2，則向量b在向量a方向上的投影是()A B1C.

2、 D1解析：依題意得(2ab)24,4a2b24a·b4,444a·b4，a·b1，向量b在向量a方向上的投影等于1，選B.答案：B4已知A(3，6)、B(5,2)、C(6，9)，則A分的比等于()A. BC. D解析：(8，8)，(3，3)與共線同向，.故選C.答案：C5已知|a|b|1，a與b夾角是90°，c2a3b，dka4b，c與d垂直，k的值為()A6 B6C3 D3解析：c·d(2a3b)·(ka4b)2k|a|2(3k8)a·b12|b|20，又a·b0.2k120，k6.答案：B6ABC中，sinB

3、·sinCcos2，則ABC的形狀為()A直角三角形 B等邊三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析：2sinB·sinC2cos21cosA1cos(BC)1cosBcosCsinBsinC，cosBcosCsinBsinC1，即cos(BC)1，BC0，即BC.答案：C7若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)B分有向線段所成的比是()A BC. D3解析：由已知條件可得點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上，且，因此向量與方向相反且，故點(diǎn)B分有向線段所成的比是，故選A.答案：A8(2009·鄭州二檢)已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足等式(

4、1)(1)(12)(R且0)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A內(nèi)心 B垂心C外心 D重心圖2解析：依題意，設(shè)ABC的三邊AB、BC、CA的中點(diǎn)分別為H、M、N，AM、CH、BN的交點(diǎn)為G.(1)(1)(12)(1)()(1)(12)2(1)()(1)(12)32(1)(1)，所以(2)()，即，所以點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的重心，選擇D.答案：D9(2009·福州質(zhì)檢)已知非零向量a、b，若a·b0，則()A. B2C. D1解析：|a2b|，|a2b|，1.答案：D10(2009·合肥質(zhì)檢二)已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C.若320，則等于()A. B.

5、C1 D2解析：20，2.答案：D11(2010·湖北八校聯(lián)考)在O點(diǎn)測量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線運(yùn)動，開始時該物體位于P點(diǎn)，一分鐘后，其位置在Q點(diǎn)，且POQ90°，再過二分鐘后，該物體位于R點(diǎn)，且QOR60°，則tan2OPQ的值等于()A. B.C. D以上均不正確解析：以O(shè)為原點(diǎn)，OP為x軸，OQ為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(m,0)，Q(0，n)，則有2，得R(2m,3n)，由QOR60°，得cosQOR， 得27n24m2，即tan2OPQ.故選C.答案：C12(2010·東北三校一模)設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)定義一種向量

6、積：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知m(2，)，n(，0)，點(diǎn)P(x，y)在ysinx的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)Q在yf(x)的圖象上運(yùn)動，滿足mn(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則yf(x)的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為()A2， B2,4C.，4 D.，解析：設(shè)Q(x0，y0)，(x0，y0)，(x，y)，mn，(x0，y0)(2，)(x，y)(，0)(2x，y)(，0)(2x，y)，代入ysinx中得，2y0sin(x0)，所以yf(x)的表達(dá)式為ysin(x)，所以最大值為，周期為4，選C.答案：C二、填空題(每小題4分，共16分)13如圖3，已知3e1，3e2，C、D是AB的三

7、等分點(diǎn)，則_，_.圖3解析：()2e1e2，()e12e2.答案：2e1e2e12e214已知三個向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k_.解析：由A、B、C三點(diǎn)共線，可得，即(4k，7)(6，k5)，于是得方程組利用代入法解得或答案：2或1115(2009·石家莊二檢)已知A、B是直線l同側(cè)的兩個定點(diǎn)，且到l的距離分別為a、b，點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，則|3|的最小值是_圖4解析：以直線l為x軸，點(diǎn)B在l上的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，則B(0，b)，A(n，a)(n>0)，設(shè)P(x,0)，則3(nx，a)3(x，b)(n4

8、x，a3b)，|3|2(n4x)2(a3b)2，當(dāng)n4x0時，|3|mina3b.答案：a3b16(2010·東北三校二模)已知直線axbyc0被曲線M：所截得的弦AB的長為2，O為原點(diǎn)，那么·的值等于_解析：依題意，知曲線M是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，所以AOB60°，所以·|cos60°2×2×2.答案：2三、解答題(本大題共6個小題，共計(jì)74分，寫出必要的文字說明、計(jì)算步驟，只寫最后結(jié)果不得分)17(12分)(2009·江西高考)在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A

9、，(1)c2b.(1)求C；(2)若·1，求a，b，c.解：(1)由(1)c2b，得，則有cotC，得cotC1，即C.(2)由·1，得abcosC1；而C，即得ab1，則有解得18(12分)已知向量a(3，4)，求：(1)與a平行的單位向量b；(2)與a垂直的單位向量c；(3)將a繞原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的向量e的坐標(biāo)解：(1)設(shè)ba，則|b|1，b(，)或b(，)(2)由ac，a(3，4)，可設(shè)c(4,3)，求得c(，)或c(，)(3)設(shè)e(x，y)，則x2y225.又a·e3x4y|a|·|e|cos45°，即3x4y，由

10、上面關(guān)系求得e(，)或e(，)而向量e由a繞原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到，故e(，)19(12分)在ABC中，已知內(nèi)角A，邊BC2.設(shè)內(nèi)角Bx，周長為y.(1)求函數(shù)yf(x)的解析式和定義域；(2)求y的最大值解：(1)ABC的內(nèi)角和ABC，由A，B>0，C>0得0<B<.應(yīng)用正弦定理，知ACsinBsinx4sinx，ABsinC4sin(x)因?yàn)閥ABBCAC，所以y4sinx4sin(x)2(0<x<)(2)因?yàn)閥4(sinxcosxsinx)24sin(x)2(<x<)，所以當(dāng)x，即x時，y取得最大值6.20(12分)(200

11、9·重慶二次調(diào)研)有一道解三角形的題目，因紙張破損致使有一個條件不清，具體如下：在ABC中，已知a，B45°，_，求角A.經(jīng)推斷，破損處的條件為三角形一邊的長度，且答案提示角A60°，試將條件補(bǔ)充完整，并說明理由解：將角A60°看作已知條件，由得b；由得c.若已知條件為b，則由得sinA，角A60°或120°，不合題意，舍去若已知條件為c，則由b2a2c22accosB2得b，cosA，角A60°，符合題意綜上所述，破損處的已知條件應(yīng)為c.21(12分)(2009·杭州質(zhì)檢)點(diǎn)O是梯形ABCD對角線的交點(diǎn)，|AD|

12、4，|BC|6，|AB|2.設(shè)與同向的單位向量為a0，與同向的單位向量為b0.圖5(1)用a0和b0表示，和；(2)若點(diǎn)P在梯形ABCD所在的平面上運(yùn)動，且|2，求|的最大值和最小值解：(1)由題意知6a0，2b0，6a02b0；，4a0，則2b06a04a02b02a0；ADBC，|OA|OC|AD|BC|23，則(6a02b0)a0b0.(2)由題意知點(diǎn)P是在以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓周上運(yùn)動，所以由幾何意義即得|的最大值和最小值分別應(yīng)該為8和4.22(14分)已知向量a(x,1)，b(1，sinx)，函數(shù)f(x)a·b.(1)若x0，試求函數(shù)f(x)的值域；(2)(理)若為常數(shù)，且(0，)，設(shè)g(x)f()，x0，請討論g(x)的單調(diào)性，并判斷g(x)的符號解：(1)f(x)a·bxsinx，f(x)1cosx，x0，f(x)0.f(x)在0，上單調(diào)遞增于是f(0)f(x)f()，即0f(x)，f(x)的值域?yàn)?，(2)g(x)sinsinsinxsin，g(x)cosxcos.x0，(0，)，(0，)而yco