1、第二章 數(shù)列極限習(xí)題§1數(shù)列極限概念1、設(shè)=，n=1，2，a=0。（1）對下列分別求出極限定義中相應(yīng)的N： =0.1，=0.01，=0.001；（2）對，可找到相應(yīng)的N，這是否證明了趨于0？應(yīng)該怎樣做才對；（3）對給定的是否只能找到一個N？2、按N定義證明：（1）=1；（2）；（3）； （4）sin=0；（5）=0（a>0）。3、根據(jù)例2，例4和例5的結(jié)果求出下列極限，并指出哪些是無窮小數(shù)列：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。4、證明：若= a，則對任一正整數(shù)k，有= a。5、試用定義證明：（1）數(shù)列不以1為極限；（2）數(shù)列發(fā)散。6、證明定理2.1，并應(yīng)用

2、它證明數(shù)列的極限是1。7、證明：若= a，則|= |a|。當(dāng)且僅當(dāng)a為何值時反之也成立？8、按N定義證明：（1）=0； （2）=0； （3）=1，其中 n為偶數(shù)，=，n為奇數(shù)。§2收斂數(shù)列的性質(zhì)1、求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2、設(shè)= a，= b，且a<b。證明：存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時有<。3、設(shè)為無窮小數(shù)列，為有界數(shù)列，證明：為無窮小數(shù)列。4、求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。5、設(shè)與中一個是收斂數(shù)列，另一個是發(fā)散數(shù)列。證明±是發(fā)散數(shù)列，又問和（0）是否必為發(fā)散數(shù)列？6、證明以下數(shù)列發(fā)散：（1

3、）；（2）；（3）。7、判斷以下結(jié)論是否成立（若成立，說明理由；若不成立，舉出反例）：（1）若和都收斂，則收斂；（2）若，和都收斂，且有相同極限，則收斂8、求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）。9、設(shè)為m個正數(shù)，證明： =max。10、設(shè)= a 。證明：（1）= a ；（2）若a>0，>0，則=1。§3數(shù)列極限存在的條件1、利用= e求下列極限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）。2、試問下面的解題方法是否正確：求。解：設(shè)=及= a。由于= 2，兩邊取極限（n）得a = 2 a，所以a = 0。3、證明下列數(shù)列極限存在并求其值：（1）設(shè)=，=，n=1，2，；

4、（2）設(shè)=（c>0），=，n=1，2，；（3）=（c>0），n=1，2，。4、利用為遞增數(shù)列的結(jié)論，證明為遞增數(shù)列。5、應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則，證明以下數(shù)列收斂：（1）=；（2）=。6、證明：若單調(diào)數(shù)列含有一個收斂子列，則收斂：7、證明：若>0，且=l>1，則=0。8、證明：若為遞增（遞減）有界數(shù)列，則 =sup（inf）。又問逆命題成立否？9、利用不等式->（n+1）（b-a），b>a>0證明：為遞減數(shù)列，并由此推出為有界數(shù)列。10、證明：|e-|<。提示：利用上題可知e<；又易證<+。11、給定兩正數(shù)與（>），作出其等差中項=與等

5、比中項，一般地令，n=1，2，。證明：與皆存在且相等。12、設(shè)為有界數(shù)列，記 =sup，=inf，。證明：（1）對任何正整數(shù)n，；（2）為遞減有界數(shù)列，為遞增有界數(shù)列，且對任何正整數(shù)n，m有；（3）設(shè)和分別是和的極限，則；（4）收斂的充要條件是=。總練習(xí)題1、求下列數(shù)列的極限：（1）；（2）；（3）。2、證明：（1）=0（|q|<1）；（2）=0（a1）；（3）=0。3、設(shè)= a，證明：（1）= a（又問由此等式能否反過來推出= a）；（2）若>0（n=1，2，），則= a。4、應(yīng)用上題的結(jié)論證明下列各題：（1）=0；（2）=1（a>0）； （3）=1； （4）=0；（5）=

6、 e； （6）=1；（7）若= a（>0），則= a； （8）若（-）= d，則= d。5、證明：若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且（-）=0，則與都存在且相等。6、設(shè)數(shù)列滿足：存在正數(shù)M，對一切n有 M。證明：數(shù)列與都收斂。7、設(shè)a>0，>0，=，n=1，2，。證明：數(shù)列收斂，且其極限為。8、設(shè)>>0，記 =，=，n=2，3，。證明：數(shù)列與的極限都存在且等于。9、按柯西收斂準(zhǔn)則敘述數(shù)列發(fā)散的充要條件，并用它證明下列數(shù)列是發(fā)散的：（1）=；（2）=；（3）=。10、設(shè)= a，= b。記 = max，= min，n=1，2，。證明：（1）= max a ，b ；（2）=

7、min a ，b 。提示：參考第一章總練習(xí)題1。習(xí)題答案§1數(shù)列極限概念3、（1）0，無窮小數(shù)列；（2）1；（3）0，無窮小數(shù)列；（4）0，無窮小數(shù)列；（5）0，無窮小數(shù)列；（6）1；（7）1。§2收斂數(shù)列的性質(zhì)1、（1）；（2）0；（3）；（4）；（5）10；（6）2。4、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。8、（1）0（提示：先證明<）；（2）1（提示：）；（3）0（提示：先證明0<）；（4）（提示：記，則）。§3數(shù)列極限存在的條件1、（1）；（2）e；（3）e；（4）；1。3、（1）2；（2）；（3）0。總練習(xí)題1、（1）

8、3；（2）0；（3）0。典型習(xí)題解答1、（§1第2（1）題）按N定義證明：=1證明：由于|-1|=<，所以對于任給的，取N=+1，則當(dāng)n>N時，|<，所以=1。2、（§1第4題）證明：若= a，則對任一正整數(shù)k，有= a。證明：若= a，則由定義知：任給，存在N，當(dāng)n>N時，|- a|<。于是當(dāng)n>N時，n+k>n>N，所以|-a|<，故= a。3、（§2第1（4）題）。解：=。4、（§2第2題）設(shè)= a，= b，且a<b。證明：存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時有<。證明：取=（b-a）> 0，根據(jù)兩個已知極限分別存在的、，當(dāng)n>時，|- a|<，從而< a +=（a + b）；當(dāng)n>時，|- b|<，從而> b -=（a + b）。取N = max，當(dāng)n>N時，必有<（a + b）<。因此當(dāng)n>N時有<。5、（§2第4（4）題）。解：當(dāng)n>2時，<1-<1，且=1。故由迫斂性定理知，=1。6、（§3第3（1）題）證