1、西鄉一中2008年高考數學復習培訓資料 熊有剛高中數學復習專題講座數列的通項公式與求和的常用方法高考要求 數列是函數概念的繼續和延伸，數列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數n的函數，是函數思想在數列中的應用 數列以通項為綱，數列的問題，最終歸結為對數列通項的研究，而數列的前n項和Sn可視為數列Sn的通項 通項及求和是數列中最基本也是最重要的問題之一，與數列極限及數學歸納法有著密切的聯系，是高考對數列問題考查中的熱點，本點的動態函數觀點解決有關問題，為其提供行之有效的方法 重難點歸納 1 數列中數的有序性是數列定義的靈魂，要注意辨析數列中的項與數集中元素的異同 因此在研究數列問題時既要注意函

2、數方法的普遍性，又要注意數列方法的特殊性 2 數列an前n 項和Sn與通項an的關系式 an=3 求通項常用方法作新數列法 作等差數列與等比數列 累差疊加法 最基本形式是 an=(anan1 ) + (an1+an2) + (a2a1) + a1 歸納、猜想法 遞推數列： 4 數列前n項和常用求法重要公式：1+2+n=n(n+1) ， 12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差數列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn 裂項求和 將數列的通項分成兩個式子的代數和，即an=f(n+1)f(n)，然

3、后累加時抵消中間的許多項 應掌握以下常見的裂項 錯項相消法并項求和法數列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法 典型題例示范講解 例1已知數列an是公差為d的等差數列，數列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數列，若函數f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求數列an和bn的通項公式；(2)設數列cn的前n項和為Sn，對一切nN*，都有=an+1成立，求 命題意圖 本題主要考查等差、等比數列的通項公式及前n項和公式、數列的極限，以及運算能力和綜合分析問題的能力 知識依托 本題利用函數思想把題設條件轉化為方程問題非常明

4、顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數列前n項和，實質上是該數列前n項和與數列an的關系，借助通項與前n項和的關系求解cn是該條件轉化的突破口 錯解分析 本題兩問環環相扣，(1)問是基礎，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計算不準易出錯；(2)問中對條件的正確認識和轉化是關鍵 技巧與方法 本題(1)問運用函數思想轉化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構造新數列dn運用和與通項的關系求出dn，絲絲入扣解 (1)a1=f(d1)=(d2)2，a3=f(d+1)=d2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1

5、)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=b·qn1=4·(2)n1(2)令=dn，則d1+d2+dn=an+1,(nN*),dn=an+1an=2,=2,即cn=2·bn=8·(2)n1；Sn=1(2)n 例2、設an是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項 (1)寫出數列an的前3項 (2)求數列an的通項公式(寫出推證過程)(3)令bn=(nN*)，求 (b1+b2+b3+bnn) 解析 (1)由題意，當n=1時，有，S1=a1，解得a1=2 當n=2時，有，S2=a1+a2

6、，將a1=2代入，整理得(a22)2=16，由a20，解得a2=6 當n=3時，有，S3=a1+a2+a3，將a1=2，a2=6代入，整理得(a32)2=64，由a30，解得a3=10 故該數列的前3項為2，6，10 (2）解法一 由(1）猜想數列an 有通項公式an=4n2 下面用數學歸納法證明an的通項公式是an=4n2，(nN*） 當n=1時，因為4×12=2，又在(1)中已求出a1=2，所以上述結論成立 假設當n=k時，結論成立，即有ak=4k2，由題意，有，將ak=4k2 代入上式，解得2k=，得Sk=2k2，由題意，有，Sk+1=Sk+ak+1，將Sk=2k2代入得()2

7、=2(ak+1+2k2)，整理得ak+124ak+1+416k2=0，由ak+10，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)2，即當n=k+1時，上述結論成立 根據，上述結論對所有的自然數nN*成立 解法二 由題意知，(nN*) 整理得，Sn=(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2，an+1=Sn+1Sn=(an+1+2)2(an+2)2 整理得(an+1+an）(an+1an4)=0，由題意知an+1+an0，an+1an=4，即數列an為等差數列，其中a1=2，公差d=4 an=a1+(n1)d=2+4(n1)，即通項公式為an=4n2 解法三 由已知得,(

8、nN*)，所以有，由式得，整理得Sn+12·+2Sn=0，解得，由于數列an為正項數列，而，因而，即Sn是以為首項，以為公差的等差數列 所以= +(n1) =n,Sn=2n2，故an=即an=4n2(nN*) (3)令cn=bn1，則cn=例3、數列的前項和為，（）求數列的通項；（）求數列的前項和解：（），又，數列是首項為，公比為的等比數列，當時，（），當時，；當時，得：又也滿足上式，例4、設是公比大于1的等比數列，為數列的前項和已知，且構成等差數列（1）求數列的等差數列（2）令求數列的前項和解：（1）由已知得解得設數列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數列的通項為（2）

9、由于由（1）得 又是等差數列 故西鄉一中2008年高考復習數學培訓試題（三）1. 已知數列的前項和, 其中是首項為1，公差為2的等差數列。（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.2、在數列中，解：（）證明數列是等比數列；（）求數列的前項和；（）證明：由題設，得，又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列（）解：由（）可知，于是數列的通項公式為所以數列的前項和3、設數列滿足，（）求數列的通項；（）設，求數列的前項和解：(I)驗證時也滿足上式，(II) ， ， 4、數列中，（是常數，），且 成公比不為的等比數列（I）求的值；（II）求的通項公式 解：（I），因為，成等比數列，所以，解得或當

10、時，不符合題意舍去，故（II）當時，由于，所以又，故當時，上式也成立，所以高中數學復習專題講座數列的通項公式與求和的常用方法高考要求 數列是函數概念的繼續和延伸，數列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數n的函數，是函數思想在數列中的應用 數列以通項為綱，數列的問題，最終歸結為對數列通項的研究，而數列的前n項和Sn可視為數列Sn的通項 通項及求和是數列中最基本也是最重要的問題之一，與數列極限及數學歸納法有著密切的聯系，是高考對數列問題考查中的熱點，本點的動態函數觀點解決有關問題，為其提供行之有效的方法 重難點歸納 1 數列中數的有序性是數列定義的靈魂，要注意辨析數列中的項與數集中元素的異同 因

11、此在研究數列問題時既要注意函數方法的普遍性，又要注意數列方法的特殊性 2 數列an前n 項和Sn與通項an的關系式 an=3 求通項常用方法作新數列法 作等差數列與等比數列 累差疊加法 最基本形式是 an=(anan1 ) + (an1+an2) + (a2a1) + a1 歸納、猜想法 遞推數列： 4 數列前n項和常用求法重要公式：1+2+n=n(n+1) ， 12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差數列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn 裂項求和 將數列的通項分成兩個式子的代數和，即a

12、n=f(n+1)f(n)，然后累加時抵消中間的許多項 應掌握以下常見的裂項 錯項相消法并項求和法數列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法 典型題例示范講解 例1、已知數列an是公差為d的等差數列，數列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數列，若函數f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求數列an和bn的通項公式；(2)設數列cn的前n項和為Sn，對一切nN*，都有=an+1成立，求 例2、設an是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項 (1)寫出數列an的前3項 (2)求數列an的通項公式(寫出推證過程)(3)令bn=(nN*)，求 (b1+b2+b3+bnn) 例3、數列的前項和為，（）求數列的通項；（）求數列的前項和例4、設是公比大于1的等比數列，為數列的前項和已知，且構成等差數列（1）求數列的等差數列（2