1、2013年全國初中數學聯賽（四川決賽）解答一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1、若反比例函數的圖像與直線的一個交點的橫坐標為，則（ ）A、 B、 C、1 D、3解：由條件知，于是，即故答案選D2、方程的所有實數解之和是（ ）A、 B、0 C、2012 D、2013 解：若是方程的實數解，則也是該方程的實數解所以，該方程的所有實數解之和是0故答案選B3、已知正方形的邊長為1，、分別為、上的點，且滿足則面積的最小值是（ ）A、 B、 C、 D、解：設，則，=，當時等號成立。所以，面積的最小值是故答案選D4、已知實數滿足，則的值為（ ）A、 B、 C、1 D、2 解：若，則，沒有符合條件的實數

2、；若，則，則，于是，等號成立，即所以故答案選C5、在四邊形中，則的長為（ ）A、 B、1 C、 D、解：如圖，延長至，使得，則，于是，故四點共圓，且圓心為 所以，故答案選B6、對于平面直角坐標系中的任意兩點，我們稱叫做兩點的直角距離，記作若是一定點，是直線上的動點，我們把的最小值叫做點到直線的直角距離則到直線的直角距離是（ ）A、3 B、 C、4 D、解：由條件知，設到直線的直角距離是，則為的最小值又 ，等號當且僅當處取得所以的最小值為3.即故答案選A二、填空題（本大題滿分28分,每小題7分）1、若是整數，且滿足不等式組，則 解：解不等式組得因此符合條件的整數故答案填22、在等邊中，、分別是邊

3、、上的點，且滿足，與相交于點，則的大小是 解：由條件知(),故,于是所以.故答案填3、實數滿足，則的最大值是 解：法一：視原方程為關于的一元二次方程，其判別式，即，故當，且時等號成立所以的最大值是6故答案填6法二：因為，從而當，且時等號成立所以的最大值是6故答案填64、已知取值為1或者為記，則能取到的最小正整數是 解：令，約定則或者在中，設有個取1，個取則又因為，所以為偶數又由為正整數，則，此時另一方面，在中，其余全取1有所以，能取到的最小正整數是3故答案填3三、解答題（本題共三小題，第1題20分，第2、3題各25分）1、拋物線與軸交于兩點，其中，且（1）求實數的值；（2）設拋物線上的一點，在

4、該拋物線的對稱軸上找一點，使得的值最小，并求出的坐標 解：（1）由條件知，于是，解得經驗證滿足條件所以所求實數的值是 5分（2）由（1）知拋物線的方程為，則對稱軸的方程為， 10分顯然關于對稱軸的對稱點為，所以當的值最小時，為直線與對稱軸的交點又，即設直線的方程為，由條件知，解得，即直線的方程為 15分令，得，即 所以，使得的值最小的點的坐標為 20分2、如圖，已知是正方形的邊上一點，點關于的對稱點為，求的值 解：延長交于，連交于，則(HL) 5分于是,，從而為的中點 10分又 15分 將以D為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，得到，則,于是.設正方形邊長為1，則由知 20分解得所以 25分3、在一個圓周上按順時針方向放有個不同的正整數，如果對于這10個正整數中的任意一個數，都能找到一個正整數，使得，或者約定求正整數的最小值解：由條件知，這個數應該包含這10個正整數所以，即 5分當時，則這10個數互不相等，取值于110不妨設顯然中也包含2下面按照從110這10個數從小到大的方式來表示：（1）當中不包含3，則不妨設若，則；或者，矛盾若，則；或者，矛盾若，則，矛盾 （2）當中包含3，則不妨設若，則；或者，矛盾若，則或者，矛盾