1、第六章 定積分的應用第一節 定積分的元素法教學目的：理解和掌握用定積分去解決實際問題的思想方法即定積分的元素法教學重點：元素法的思想教學難點：元素法的正確運用教學內容：一、 再論曲邊梯形面積計算設在區間上連續，且，求以曲線為曲邊，底為的曲邊梯形的面積。1化整為零用任意一組分點 將區間分成 個小區間，其長度為并記 相應地，曲邊梯形被劃分成個窄曲邊梯形，第個窄曲邊梯形的面積記為。于是 2以不變高代替變高，以矩形代替曲邊梯形，給出“零”的近似值 3積零為整，給出“整”的近似值 4取極限，使近似值向精確值轉化 上述做法蘊含有如下兩個實質性的問題：（1）若將分成部分區間，則相應地分成部分量，而這表明：所

2、求量對于區間具有可加性。(2)用近似，誤差應是的高階無窮小。只有這樣，和式的極限方才是精確值。故關鍵是確定 通過對求曲邊梯形面積問題的回顧、分析、提煉， 我們可以給出用定積分計算某個量的條件與步驟。二、元素法1能用定積分計算的量，應滿足下列三個條件(1) 與變量的變化區間有關；(2) 對于區間具有可加性；(3) 部分量可近似地表示成。2寫出計算的定積分表達式步驟(1) 根據問題，選取一個變量為積分變量，并確定它的變化區間；(2) 設想將區間分成若干小區間，取其中的任一小區間，求出它所對應的部分量的近似值 ( 為上一連續函數)則稱為量的元素，且記作。(3) 以的元素作被積表達式，以為積分區間，得

3、這個方法叫做元素法，其實質是找出的元素的微分表達式因此，也稱此法為微元法。小結：元素法的提出、思想、步驟（注意微元法的本質）作業：作業卡第二節 平面圖形的面積教學目的：學會用元素法計算平面圖形的面積教學重點：直角坐標系下平面圖形的面積計算教學難點：面積元素的選取教學內容：一、直角坐標的情形由曲線 及直線 與 ( ) 與 軸所圍成的曲邊梯形面積。 其中：為面積元素。由曲線 與 及直線 ，( )且所圍成的圖形面積。 其中： 為面積元素。例1 計算拋物線與直線所圍成的圖形面積。解：1、先畫所圍的圖形簡圖解方程 , 得交點： 和 。2. 選擇積分變量并定區間選取為積分變量，則3. 給出面積元素在上，

4、在上， 4. 列定積分表達式另解：若選取為積分變量，則 顯然，解法二較簡潔，這表明積分變量的選取有個合理性的問題。例2 求橢圓所圍成的面積 。解：據橢圓圖形的對稱性，整個橢圓面積應為位于第一象限內面積的4倍。取為積分變量，則 ， 故 ( * )作變量替換 則 ， ( * * )二、極坐標情形 設平面圖形是由曲線 及射線，所圍成的曲邊扇形。取極角為積分變量，則 ,在平面圖形中任意截取一典型的面積元素，它是極角變化區間為的窄曲邊扇形。的面積可近似地用半徑為， 中心角為的窄圓邊扇形的面積來代替，即從而得到了曲邊梯形的面積元素 從而 例3 計算心臟線所圍成的圖形面積。解： 由于心臟線關于極軸對稱， 小

5、結: 求在直角坐標系下、極坐標系下平面圖形的面積.作業: 作業卡 P67P68 第三節 體積教學目的：掌握用定積分的元素法計算體積教學重點：體積的計算教學難點：體積元素的選取教學內容：一、旋轉體的體積旋轉體是由一個平面圖形繞該平面內一條定直線旋轉一周而生成的立體，該定直線稱為旋轉軸。計算由曲線直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉一周而生成的立體的體積。取為積分變量，則，對于區間上的任一區間，它所對應的窄曲邊梯形繞軸旋轉而生成的薄片似的立體的體積近似等于以為底半徑，為高的圓柱體體積。即：體積元素為所求的旋轉體的體積為例1 求由曲線及直線，和軸所圍成的三角形繞軸旋轉而生成的立體的體積。解：取為積分

6、變量，則二、平行截面面積為已知的立體的體積( 截面法 )由旋轉體體積的計算過程可以發現：如果知道該立體上垂直于一定軸的各個截面的面積，那么這個立體的體積也可以用定積分來計算。取定軸為軸， 且設該立體在過點，且垂直于軸的兩個平面之內， 以表示過點且垂直于軸的截面面積。取為積分變量，它的變化區間為。立體中相應于上任一小區間的一薄片的體積近似于底面積為，高為的扁圓柱體的體積。即：體積元素為 于是，該立體的體積為 例2 計算橢圓 所圍成的圖形繞軸旋轉而成的立體體積。解：這個旋轉體可看作是由上半個橢圓及軸所圍成的圖形繞軸旋轉所生成的立體。在處，用垂直于軸的平面去截立體所得截面積為例3 計算擺線的一拱以及

7、所圍成的平面圖形繞軸旋轉而生成的立體的體積。解：請自行計算定積分 小結: 旋轉體體積 平行截面已知的立體的體積作業: 作業卡 P69 第四節 平面曲線的弧長教學目的：掌握用定積分元素法計算平面曲線的弧長，教學重點：平面曲線弧長的計算教學難點：弧長元素的選取教學內容：一、直角坐標情形設函數在區間上具有一階連續的導數，計算曲線的長度。取為積分變量，則,在上任取一小區間，那么這一小區間所對應的曲線弧段的長度可以用它的弧微分來近似。于是，弧長元素為弧長為例1 計算曲線的弧長。解：二、參數方程的情形若曲線由參數方程給出，計算它的弧長時，只需要將弧微分寫成的形式，從而有例2 計算半徑為的圓周長度。解： 圓

8、的參數方程為 三、極坐標情形若曲線由極坐標方程給出，要導出它的弧長計算公式，只需要將極坐標方程化成參數方程，再利用參數方程下的弧長計算公式即可。曲線的參數方程為此時變成了參數，且弧長元素為從而有例3 計算心臟線的弧長。 解： 小結: 平面曲線弧長的概念弧微分的概念求弧長的公式 直角坐標系下 參數方程 極坐標系下作業: 作業卡 P70第五節 功、水壓力和引力教學目的：理解和掌握用定積分的元素法，解決物理上的實際問題 功，水壓力和引力教學重點：如何將物理問題抽象成數學問題教學難點：元素法的正確運用教學內容：一、變力沿直線所作的功例1 半徑為的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重為 1 ，現將這

9、球從水中取出，需作多少功?解：建立如圖所示的坐標系將高為的球缺取出水面，所需的力為：其中：是球的重力，表示將球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。由球缺公式 有 從而 十分明顯，表示取出水面的球缺的重力。即：僅有重力作功，而浮力并未作功，且這是一個變力。從水中將球取出所作的功等于變力從改變至時所作的功。取為積分變量，則，對于上的任一小區間，變力從到這段距離內所作的功。這就是功元素，并且功為另解： 建立如圖所示的坐標系取為積分變量， 則 。在 上任取一個小區間，則此小區間對應于球體上的一塊小薄片，此薄片的體積為由于球的比重為 1 ， 故此薄片質量約為將此薄片取出水面所作的功應等于克服

10、薄片重力所作的功，而將此薄片取出水面需移動距離為 。故功元素為 二、水壓力在水深為處的壓強為，這里是水的比重。如果有一面積為的平板水平地放置在水深處，那未，平板一側所受的水壓力為 若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之處的壓強不相等。此時，平板一側所受的水壓力就必須使用定積分來計算。例2邊長為和的矩形薄板，與水面成角斜沉于水中，長邊平行于水面而位于水深處。設，水的比重為，試求薄板所受的水壓力。解：由于薄板與水面成角斜放置于水中，則它位于水中最深的位置是取為積分變量， 則 (注意： 表示水深)在中任取一小區間，與此小區間相對應的薄板上一個小窄條形的面積是 它所承受的水壓力約為 于是，壓力元素為 這一結果的實際意義十分明顯，正好是薄板水平放置在深度為的水中時所受到的壓力，而是將薄板斜放置所產生的壓力，它相當于將薄板水平放置在深度為處所受的水壓力。三、引力由物理學知道：質量為、，相距為的兩質點間的引力大小為為引力系數。引力的方向沿著兩質點的連線方向。如果要計算一根細棒對一個質點的引力，由于細棒上各點與該質點的距離是變化的，且各點對該質點的引力方向也是變化的，便不能簡單地用上述公式來作計算了。例3 設有一半徑為， 中心角為的圓弧形細棒， 其線密度為常數， 在圓心處有一質量為的質點， 試求這細棒對質點的引力。解決這類問題，一般來說，應選擇一個適當的坐標系。解：建立如圖所示